基于三次插值函数算法的时间积分方案与二阶时空余差数值模式——以原始大气运动方程与理想全球模拟个例为例

从大气运动原始方程和欧拉算符出发,用泰勒级数展开,给出二阶时空微商余项预报方程。进而讨论用三次插值函数——双三次曲面拟合求上游点的准拉格朗日时间积分方案与相应的二阶时空余差数值模式——“双三次模式”。则双三次模式是通过实现各个大气物理量场的二阶可导,从而可对预报方程做空间非线性(“三次”)时间离散积分,成为“双三次曲面拟合——时间步积分——双三次曲面拟合——……”一种新算法数值模式。讨论双三次数值模式的数学基础:三次插值函数及其数值分析极性定律用于数值模式。指出:双三次模式和谱模式都具有数学“收敛性”;而Coons双三次曲面具有对变量场拟合二阶可导“最优性”;和Hermite双三次曲面片具有对网格变量场二阶可导运算“等价性”。又指出:有限差分模式的中央差近似斜率和曲率,分别是三次样条斜率和曲率作“三点平滑”。双三次模式适合采用原始大气运动方程,适合采用准拉格朗日时间积分方案,并给出一个理想全球模拟个例。因大气运动本质上是非线性的,理论上可按变量场双三次曲面曲率判断,以采用符合物理诠释的局域或单点平滑,以保持模式时间积分稳定性。且未来容易实现全球多重/时变套网格双三次数值模式。      

数值预报模式中双三次曲面地形与水平气压梯度力计算

利用C3连续双三次曲面拟合了全球数值模式地形曲面;讨论构建了有复杂地形数值模式引入地形追随高度坐标((z)坐标)后,同时引入包含定常斜率、曲率和挠率的双三次曲面地形,又进一步讨论了双三次曲面地形模式大气的水平气压梯度力计算问题.结果表明,对(z)坐标模式大气的压、温、湿场,通过做经、纬向三次样条拟合,求得地形斜率“静力平衡”气压差,从而插值(反演)任一水平面(海平面)上的气压场,同时可以求得时变的参考大气,则计算水平气压梯度(力)的精度,完全依赖于插值(反演)对应的水平面(海平面)气压场的计算精度.并指出,理论上可按三次样条的曲率判断,做变量场(地形)的局域或单点平滑.     

初论双三次数值模式

讨论在数学Rn空间里,存在孔斯双三次曲面拟合的可能数值模式(以下称双三次数值模式)。双三次数值模式特点是,在诊断上对天气系统中的由各个物理定律表述的(离散点)大气物理量场,可通过数学三次样条函数做双三次曲面拟合,则模式大气(包括天气系统)的各个物理量场均达到二阶可导,即是大气运动方程中的各个物理量场都存在各自的一、二阶空间微商,从而可以对模式大气与天气系统做时间积分。与有限差分模式和谱模式存在所谓的空间截断误差和波数截断误差相比较,双三次数值模式存在所谓的空间拟合误差,恰是现行有限差分模式空间截断误差的高阶小量。而双三次数值模式具有谱模式准确计算空间微商的优点,且双三次数值模式的数学构架能够较好地适应大气运动动力框架,是可与有限差分模式和谱模式相比较的另一数值分析新算法的气象数值模式。     

“准拉格朗日法”和“欧拉法”的数学一致性与三次插值函数算法时间积分方案

从预报方程组通式和欧拉算符出发,用泰勒级数展开,推导出时空间微商余项为二阶、四阶完全预报方程组。可以证明,同阶时空间微商余项的准拉格朗日法和向前差分欧拉法时间积分方案,具有相同的物理意义和数学一致性,相比之下,传统中央差欧拉法时间积分方案是"简单格式"与"增大不可预测计算误差"并存。进而讨论用"三次插值函数"实现二阶时空间微商余项准拉格朗日法、或同阶向前差分欧拉法(可"二选一"),它们应该分别替代"双线性插值"准拉格朗日法和传统时空间中央差欧拉法,因前二者时空间微商余项及计算精度高于后二者。所以,三次插值函数算法可将准拉格朗日法和欧拉法时间积分方案、以及CFL判据统一起来。由于三次插值函数具有对原函数"变量场"的数学定律"收敛性"和二阶可导"最优性",且一次"三次插值函数"运算,即具对网格变量场二阶可导拟合"等价性":不仅拟合变量场斜率、还拟合其曲率和挠率。并因周期"三次插值函数",可作全球变量场"三次插值函数"二阶可导拟合,实现全球"三次"数值模式,并且可按变量场曲率判断,作变量场局域或单点平滑,保持"三次"模式时间积分的稳定性。     

三次样条函数(格式)准拉格朗日积分方案Ⅰ——准均匀经纬网格样条格式准拉格朗日平流方案与理想场试验

研究经纬网格三次样条函数(样条格式)变换准拉格朗日平流方案,推导给出样条格式准拉格朗日预报方程通式,设计一种准均匀经纬网格,对气压、气温、风及广义牛顿力(加速度)场做"经纬网格-准均匀经纬网格"双三次曲面拟合,实现各个变量场在球面上的二阶可导,从而显式迭代插值求得上游点路径与预报变量值,上游点气块被限定在具备样条格式的斜率、曲率和挠率之变量场上运动。为验证样条格式求经纬网格上游点的可行性,采用了国际上通行、有效的一套理想场试验方案:平衡流试验、过极地气流试验和Rossby-Haurwitz波试验,用以检验经纬网格样条格式准拉格朗日平流方案的可行性、一致性、精确性及程序正确性。理想场试验表明,样条格式求上游点预报误差来源于三次样条函数"2阶空间余差"数学误差和上游点路径达不到精确轨迹的截断误差,其累积(积分)误差使得波动振幅变平,而波动位相传播无误差,且误差具有收敛性、球面对称性和单调有界性,同时证明,三次样条函数变换能够解决极区经纬网格点过密和极点奇异的经典问题。     

全球(Z)双三次数值模式的设计与个例模拟(I): 模式动力框架设计

引入双三次数值模式:双三次数值模式是通过作三次样条与双三次曲面拟合,实现各个大气要素量场的二阶可导,从而可对各个预报方程作时间积分。双三次数值模式适合采用大气运动原始方程组和采用水平方向准拉格朗日/垂直方向欧拉时间积分方案。且本文的全球(Z)双三次数值模式与个例模拟实际采用Navier-Stokes"浅薄大气"原始方程组,建立球面Z坐标系上的非静力、全可压、干/湿绝热大气运动动力框架。其离散化气压、气温预报方程与个例模拟揭示出大气运动中凝结降水,其天气学原因不仅是湿空气作Z坐标垂直上升运动,而且是湿空气被"减压/减温",即湿空气作P坐标"垂直上升运动",后者可由大气平流运动(如Rossby波)引起。     

全球（Z）双三次数值模式的设计与个例模拟（Ⅰ）：模式动力框架设计

引入双三次数值模式：双三次数值模式是通过作三次样条与双三次曲面拟合,实现各个大气要素量场的二阶可导,从而可对各个预报方程作时间积分。双三次数值模式适合采用大气运动原始方程组和采用水平方向准拉格朗日／垂直方向欧拉时间积分方案。且本文的全球（Z）双三次数值模式与个例模拟实际采用Navier—Stokes“浅薄大气”原始方程组,建立球面Z坐标系上的非静力、全可压、干／湿绝热大气运动动力框架。其离散化气压、气温预报方程与个例模拟揭示出大气运动中凝结降水,其天气学原因不仅是湿空气作Z坐标垂直上升运动。而且是湿空气被“减压／减温”,即湿空气作P坐标“垂直上升运动”,后者可由大气平流运动（如Rossby波）引起。     

全球(Z)双三次数值模式的设计与个例模拟(Ⅱ): 个例模拟结果分析

引入双三次数值模式:通过"双三次曲面拟合—时间步长积分—双三次曲面拟合—……",实现成为一种新算法的数值模式。在球面Z坐标系上,给出全球经纬网格双三次数值模式的一个设计。全球(Z)双三次数值模式采用非静力、全可压、干/湿绝热大气运动动力框架,并采用显式水平方向准拉格朗日/垂直方向欧拉时间积分方案,用NCEP再分析资料做初值场,初步模拟出从极地到热带的基本大气环流。模拟试验表明:因大气运动本质上是非线性的,当限定模式大气作线性"一次运动"时,个例模拟无须任何平滑;但限定模式大气作"三次运动"时,必须有适当平滑。本文认为,未来双三次数值模式可按场变量双三次曲面曲率,以判断采用符合物理诠释的局域(或单点)平滑;又若大气非线性运动不稳定区恰是天气系统发源地,则全球多重/时变套网格双三次数值模式是今后研究的方向。     

双三次数值模式与理想Lamb波、龙卷扰动对比模拟分析

通过"双三次曲面拟合—时间步长积分—双三次曲面拟合……",实现成为一种双三次曲面拟合新算法数值模式。它对模式大气作非线性(空间二阶可导)描述,是用数值分析(三次样条/双三次曲面)与计算方法近似求解大气运动非线性偏微分方程组。用Z坐标系高分辨率双三次数值模式,采用原始大气运动方程组和采用欧拉时间积分方案,设置理想扰动,对大气声波Lamb波做数值模拟;采用大气不可压假定,除去声波,对大气重力波龙卷扰动做数值模拟。对比模拟发现:理想Lamb波以声速在水平方向传播,扰动能量频散快,仅能在原地持续数秒钟;理想龙卷扰动则在原地可持续约1 min,且波动内圈(外圈)自下至上始终处于风场辐合(辐散)状态,具冷心结构和气压驻波特征,可因水汽进入扰动与借助凝结潜热释放而得到发展。     

三次样条函数(格式)准拉格朗日积分方案Ⅱ——样条格式非静力全可压动力框架与密度流试验

采用样条格式二阶时空离散预报方程与显式-准拉格朗日积分方案,建立非静力全可压数值模式动力框架,对气压、气温(位温)、风及广义牛顿力(加速度)场做三次样条函数拟合,实现各个变量场二阶可导,并且按牛顿运动定律,显式迭代插值求上游点"三次运动"路径(三维位移)与预报变量值,同时求得一个时间步长三维位移的平均散度场,并以此绝热变率预报压、温场。其中,通过对静力方程做三次样条拟合,可从非静力气压场分离出(满足静力方程)时变的静压场,从而无须引入大气参考廓线,并因此准确(二阶精度)计算出垂直气压梯度力与位移。密度流试验表明,上述非静力全可压动力框架能够模拟出高度非线性的密度流,初步验证样条格式做"三次"数值模式动力框架的一致性和精确性,同时分析了与密度流试验benchmark参考解相比较存在差别的原因。     

复杂地形下地面观测资料同化I. 模式地形与观测站地形高度差异对地面资料同化的影响研究

中国地形复杂，模式地形与实际观测地形存在一定高度差异，因此设计合理的复杂地形下地面观测资料的同化方案有利于使我国目前仅用作探测手段的地面观测资料（常规地面观测站和地面自动站）在中尺度数值模式中得到充分利用。作者在MM5_3DVAR同化系统中利用近地层相似理论将地面观测资料进行直接三维变分同化分析，并对地面资料同化方案设计中是否需要考虑模式与实际观测站地形高度差异进行探讨研究。研究结果表明：通过近地层相似理论将地面观测资料同化到数值模式能起到一定的作用，并且地面观测资料（温度、 湿度、 风场、 地面气压）中各物理量同化到数值模式都能影响24小时降水数值结果，但各物理量起的作用大小不一样，其中影响最大的是温度，其次为湿度；地面观测资料同化方案设计有必要考虑模式地形与实际观测站地形高度差异，适当考虑这种高度差异能取得较好的结果。     

Numerical Simulation Experiment of Land Surface Physical Processes and Local Climate Effect in Forest Underlying Surface

Based on the basic principles of atmospheric boundary layer and plant canopy micrometeorology, a forest underlying surface land surface physical process model and a two-dimensional atmospheric boundary layer numerical model are developed and numerical simulation experiments of biosphere and physiological processes of vegetation and soil volumetric water content have been done on land surface processes with local climate effect. The numerical simulation results are in good agreement with realistic observations, which can be used to obtain reasonable simulations for diurnal variations of canopy temperature, air temperature in canopy, ground surface temperature, and temporal and spatial distributions of potential temperature and vertical wind velocity as well as relative humidity and turbulence exchange coefficient over non-homogeneous underlying surfaces. It indicates that the model developed can be used to study the interaction between land surface process and atmospheric boundary layer over various underlying surfaces and can be extended to local climate studies. This work will settle a solid foundation for coupling climate models with the biosphere.     

森林下垫面陆面物理过程及局地气候效应的数值模拟试验

文中基于大气边界层和植被冠层微气象学基本原理 ,建立了一个森林植被效应的陆面物理过程和二维大气边界层数值模式。并应用该模式进行了植被和土壤含水量等生物和生理过程在陆面过程和局地气候效应方面的数值模拟试验。所得数值模拟试验结果与实际情况相吻合。结果表明 ,应用该模式可获得植被温度、植被冠层内空气温度、地表温度日变化特征 ;森林下垫面大气边界层风速、位温、比湿、湍流交换系数的时空分布和日变化特征。该模式还可应用于不同下垫面 ,模拟陆面物理过程与大气边界层相互作用机制及其局地气候效应的研究 ,这将为气候模式与生物圈的耦合研究奠定一个良好的基础。     

下垫面强迫对京津冀大暴雨作用的数值研究

使用MM4对1992年7月23日发生在京津冀地区的大暴雨过程进行了数值模拟;利用模拟得到的高时空分辨率资料,通过使用Mass模式所进行的几组试验以及用MM4所做的敏感性试验,说明了在该次大暴雨过程中下垫面的动力及热力强迫作用。指出:下垫面强迫所导致的辐合上升运动是这次暴雨过程的触发机制。     

实时海温对动力延伸（月）预报影响的数值试验研究

对1992年7月10日、19日和1997年7月1日3个个例，进行了实时海温和气候海温的对比数值试验，研究实时海温对月尺度数值预报的影响。个例试验结果表明，实时海温对10天以下的数值预报影响较小，但对月时间尺度的数值预报的影响则十分明显，实时海温对大气的强迫作用同模式大气的初值和预报模式包含的物理过程以及海温异常的强度有关。     

全球海温距平对月预报影响的数值试验

对1992年7月19日个例，进行了有、无海温距平的对比数值试验，研究了海温距平对月预报的影响。个例试验结果表明，海温距平对月预报的影响是重要的。海温距平不仅对全球降水量的影响明显，而且对温度场预报的影响也很明显。大气（温度、降水和高度场）对异常海温强迫开始响应的时间大约是10天。     

复杂地形下地面观测资料同化II. 模式地形与观测站地形高度差异代表性误差

第I部分研究结果(徐枝芳等,2007)表明模式与实际观测站地形高度差异对地面观测资料同化效果有较大影响。此文在MM5_3DVAR同化系统中利用近地层相似理论将地面观测资料进行直接三维变分同化分析,考虑模式与实际观测站地形高度差异对同化效果的影响,提出在地面观测误差中增加地形代表性误差来解决这个问题。研究结果表明:地面资料同化分析时,在其观测误差中加入一项新的误差——地形代表性误差,能较好地解决地面资料同化分析中模式与观测站地形高度差异问题;地面资料参与同化分析,在观测误差中加入与模式和实际观测站地形高度差异大小相关的地形代表性误差时,地面观测值对分析值的影响随着地形高度差异代表性误差的加入而减小,同时又部分地将地面观测信息通过变分分析融进分析场,使得低层分析更接近真实场,且地面资料利用率更高,24小时降水数值预报(模拟)的效果较好。     

地面风诊断模式的数值试验和模拟

本文用一个简化的一层地面风数值诊断模式，在台湾岛及海峡地区对6个个例进行了数值试验。结果表明，假定的地形影响层较厚时，地面流场中台湾岛周围的流线更趋于与地形线平行，地形效应更明显；地表粗糙度增大时，地面风向逆时针偏转，风速减小；考虑非绝热加热后，地面流场中分流现象明显减弱，并在山脊附近形成辐合线，同时岛后辐合减弱甚至消失；而地形高度的动力作用则是分流、绕流和岛后辐合等现象的内在根源。在上述研究基础上，对同样个例进行了数值模拟。结果在一定程度上反映了实际风场。     

复杂地形下地面观测资料同化Ⅲ.两种解决模式地形与观测站地形高度差异方法的对比分析

模式地形与观测站地形高度差异是地面资料同化方案设计中的一大难点.本文通过个例和单点试验对第Ⅰ和第Ⅱ部分(徐枝芳等,2007a,2007b)中涉及的两种解决模式地形与观测站地形高度差异的地面资料同化方法(即增加温度地形代表性误差和温度订正方法)进行对比分析,并将这两种方法应用于WRF_3DVAR,进行3个月的连续数值试验.研究结果表明:随着地形高度差异的增加,采用增加观测误差方法得到的估计值向其它资料同化分析值(背景场值)靠近,在一定的高度差异下则失去了同化分析地面资料的意义;温度订正方法对温度递减率的取值较为敏感,在有探空资料参与同化分析时,温度递减率取值敏感性相对减弱.当采用的订正值较为准确时,采用温度订正方法较增加观测误差方法能更好地处理两种地形高度差异,地面资料信息应用更充分,得到的估计值最有可能接近真实值.当模式地形与观测站地形高度差异较小(小于100 m)时,两种解决模式地形与观测站地形高度差异的方法达到的效果基本一致.单点及个例试验表明,有探空资料等高质量观测参与同化分析时,采用增加观测误差方法得到分析场更接近真实场.三个月连续试验也表明有探空资料参与同化分析时,采用增加观测误差方法比温度订正法改进的郭永润同化方案(Guo et al.,2002)同化地面资料效果好,且加入地面资料同化对所有量级降水预报都有所改善.当地面资料同化方案没处理好时,加入地面资料同化的效果反而不如不加地而资料同化.     

复杂地形下地面观测资料同化III. 两种解决模式地形与观测站地形高度差异方法的对比分析

模式地形与观测站地形高度差异是地面资料同化方案设计中的一大难点。本文通过个例和单点试验对第I和第II部分 (徐枝芳等, 2007a, 2007b) 中涉及的两种解决模式地形与观测站地形高度差异的地面资料同化方法 (即增加温度地形代表性误差和温度订正方法) 进行对比分析, 并将这两种方法应用于WRF_3DVAR, 进行3个月的连续数值试验。研究结果表明: 随着地形高度差异的增加, 采用增加观测误差方法得到的估计值向其它资料同化分析值 (背景场值) 靠近, 在一定的高度差异下则失去了同化分析地面资料的意义; 温度订正方法对温度递减率的取值较为敏感, 在有探空资料参与同化分析时, 温度递减率取值敏感性相对减弱。当采用的订正值较为准确时, 采用温度订正方法较增加观测误差方法能更好地处理两种地形高度差异, 地面资料信息应用更充分, 得到的估计值最有可能接近真实值。当模式地形与观测站地形高度差异较小 (小于100 m) 时, 两种解决模式地形与观测站地形高度差异的方法达到的效果基本一致。单点及个例试验表明, 有探空资料等高质量观测参与同化分析时, 采用增加观测误差方法得到分析场更接近真实场。三个月连续试验也表明有探空资料参与同化分析时, 采用增加观测误差方法比温度订正法改进的郭永润同化方案 (Guo et al., 2002) 同化地面资料效果好, 且加入地面资料同化对所有量级降水预报都有所改善。当地面资料同化方案没处理好时, 加入地面资料同化的效果反而不如不加地面资料同化。