测量中不适定问题的统一解的推导

病态问题和秩亏问题是测量中常见的不适定问题,从正则化矩阵和正则化参数入手对存在于测量中的控制网平差、大地测量反演、GPS快速定位、拟合推估系统误差处理等不适定问题进行处理,成为当前的研究热点。同时,经过统一解的建立,对秩亏问题病态性问题实行新的解法,改进了生产实践中的测量精度,具有一定的学术价值和商业价值。     

大地测量中不适定问题的正则化解法研究

大地测量中的不适定问题包括病态问题和秩亏问题.系统研究不适定问题的处理理论和方法,是大地测量数据处理中的一项重要课题,已经发展成为一个重要的学科方向.本文基于TIKHONOV正则化方法和欧吉坤研究员提出的选权拟合的研究思路,充分考虑大地测量实际,抓住正则化矩阵的选取和正则化参数的确定这条主线,对大地测量中的不适定问题进行了深入研究,建立起了一套较系统的不适定问题处理理论及方法的框架,进一步发展了TIKHONOV正则化方法.主要研究内容包括:     

短基线集InSAR形变模型的不适定问题解算方法研究

SBAS InSAR技术广泛应用于大尺度长时间序列的矿区、城市、地震等不同类型地表形变监测。但在利用该技术进行监测地表形变中发现,其形变模型的解算存在着病态和秩亏两类不适定问题,严重影响着形变信息反演的精度和可靠性。本文以SBAS InSAR技术为基础,针对其形变模型最小二乘解算中的病态问题,提出了基于Liu估计的有偏迭代估计法和Tikhonov正则化方法;针对秩亏时奇异值分解反演形变量和形变速率不稳定的问题,改进了Landweber迭代法,并将其应用到秩亏的SBAS InSAR形变模型解算中,反演出更准确的形变信息。     

基于改进高斯-牛顿法的位场向下延拓

本文针对位场向下延拓的不适定问题,在分析最优化算法中高斯-牛顿法基本原理及滤波函数滤波特性的基础之上,提出基于正则参数指数递增计算方法和残差最小步长准则的改进高斯-牛顿法。基于理论重力模型和航磁实测数据的对比实验表明,改进后得到的自适应迭代法具有相对较高的位场向下延拓精度和很好的收敛性。     

地球物理反问题中两种正则化方法的比较

通过对最小二乘法的改造引入了两种正则化方法及其解的表达式，从理论上阐述了Tikhonov与TS—VD两种正则化方法效果的差异，特别就病态方程组在三种情况——系数阵良定秩、系数阵劣定秩右端项劣衰减、系数阵劣定秩右端项良衰减下正则化方法的应用效果作了比较．并给出了数值例子。     

吉洪诺夫正则化总体最小二乘的圆曲线拟合

针对利用离散的观测坐标拟合圆曲线,在观测点分布较为集中时,会引起法方程病态问题,使用高斯-马尔可夫模型,以圆的参数方程为数学模型,引入更多的参数,结合Tikhonov正则化进行总体最小二乘,并对公元前500年古希腊科林斯赛马场跑道的一组考古数据(观测点集中分布在跑道起点处,该跑道近似为圆形),采用Tikhonov正则化总体最小二乘求解曲线参数.实验结果表明,该文提出的基于高斯-马尔可夫模型的Tikhonov正则化总体最小二乘方法可以有效解决圆曲线拟合中的不适定问题.     

平差不适定问题解性质与正则参数的确定方法

对于测量平差不适定问题的求解问题,大都可归结Tikhonov正则准则下的极值问题,而正则参数求解又至关重要。本文在讨论其解性质的基础上,归纳与总结了不适定问题正则参数的几种确定方法,通过两个算例对几种方法进行了综合分析与比较,指出了其方法的适用性及特点。     

秩亏网平差的几个理论问题

本文从秩亏高斯—马尔柯夫模型出发,讨论了秩亏网平差中的几个理论问题,如参数估值的有偏和无偏,秩亏网平差与S—变换的关系,伪逆在秩亏网平差中的作用等问题。     

测距定位方程的多解性及其非线性最小二乘迭代算法

距离观测在测量中具有重要的地位,其观测方程为非线性函数模型。由于非线性问题的复杂性,测距方程的解可能不是唯一的,尤其当方程呈现病态性时,方程的解将会变得更加复杂,同时短距离测距方程的非线性强度相对较大,会对迭代算法产生影响。本文针对这一问题,利用直接解法、高斯-牛顿法和封闭牛顿法对病态的测距方程进行求解,试验验证了解析法、高斯-牛顿法与封闭牛顿迭代法的局部收敛性质。结果表明封闭牛顿法的局部收敛性最好。探讨了非线性定位问题中的病态多解问题,解析法和高斯-牛顿法会得到两个解,封闭牛顿法会得到3个解,并且其中两个解与前两种算法相同,而且这些解均为局部最优解。     

度量LS及正则解质量的信噪差异指标

不适定问题最小二乘(LS)解的质量有时很差,其主要原因之一是设计阵的病态性.正则化方法是克服该缺陷的有效方法,但要以损失一些解的精确性作为代价.不适定问题在LS解质量并不差的情况下,则没有必要采取正则化方法.于是就产生一个决策问题:即何时有必要采取正则化方法.这里提出的信噪差异指标就是一种决策指标.该指标可用于度量LS解和正则解的质量,以及正则化参数的恰当选取.数值试验验证了其有效性.     

Unbiased estimation formula of unit weight standard deviation in regularization solution

Regularization method is an effective method for solving ill-posed equation. In this paper the unbiased estimation formula of unit weight standard deviation in the regularization solution is derived and the formula is verified with numerical case of 1 000 sample data by use of the typical ill-posed equation, i. e. the Fredholm integration equation of the first kind.     

Unbiased estimation formula of unit weight standard deviation in regularization solution

Regularization method is an effective method for solving ill-posed equation. In this paper the unbiased estimation formula of unit weight standard deviation in the regularization solution is derived and the formula is verified with numerical case of 1000 sample data by use of the typical ill-posed equation, i.e. the Fredholm integration equation of the first kind.     

非线性参数估计的自适应松弛正则化算法

非线性方程参数估计存在的弊端在于非线性观测方程存在不适定问题时，以线性化平差估计和高斯牛顿为代表的经典数值算法会产生较强的不稳定特征。因此，针对传统非线性最小二乘求解不稳定且可靠性低的特点，基于稳定泛函极小准则最优化思想，提出了一种自适应松弛正则化数值算法。该算法采用正则化参数几何递增计算方法和残差最小步长准则，实现了正则参数和迭代步长计算的完全自适应，提高了非线性迭代收敛效率。以病态仿真数据和水下实测数据为例，验证了该方法的数值收敛解优于线性平差估计解，收敛效率优于迭代Tikhonov正则化方法。     

A closed-form of Newton method for solving over-determined pseudo-distance equations

The Newton method has been widely used for solving nonlinear least-squares problem. In geodetic adjustment, one would prefer to use the Gauss–Newton method because of the parallel with linear least-squares problem. However, it is proved in theory as well as in practice that the Gauss–Newton method has slow convergence rate and low success rate. In this paper, the over-determined pseudo-distance equations are solved by nonlinear methods. At first, the convergence of decent methods is discussed after introducing the conditional equation of nonlinear least squares. Then, a compacted form of the Hessian matrix from the second partial derivates of the pseudo-distance equations is given, and a closed-form of Newton method is presented using the compacted Hessian matrix to save the computation and storage required by Newton method. At last, some numerical examples to investigate the convergence and success rate of the proposed method are designed and performed. The performance of the closed-form of Newton method is compared with the Gauss–Newton method as well as the regularization method. The results show that the closed-form of Newton method has good performances even for dealing with ill-posed problems while a great amount of computation is saved.     

病态总体最小二乘问题的广义正则化

总体最小二乘(TLS)算法可以视为一个降正则化的过程,对比最小二乘算法,病态总体最小二乘方法的解受系数阵数据误差和观测值误差的影响将更为严重。本文探讨用广义正则化的方法降低病态性对总体最小二乘数值求解的影响,以提高求解结果的稳定性。通过多组算例结果表明,本文采用的广义正则化方法在处理病态总体最小二乘问题上具有明显的优势。     

Bursa模型用于局部区域坐标变换的病态问题及其解法

GPS应用经常涉及坐标变换。用局部区域的GPS网数据求解的3维坐标变换模型的转换参数时,求得的转换参数特别是平移参数的精度较差。这是由于GPS网的范围太小,引起平移参数与旋转参数间存在强相关性,导致解算模型病态。正则化解法是求解病态方程的有效工具,本文探讨用正则化方法解算小范围GPS网3维坐标变换的转换参数,以提高转换参数的解算精度,扩大参数的使用范围;给出只对平移参数进行正则化的计算模型。500次模拟计算结果表明:正则化解参数转换外围点坐标的精度在统计上明显优于最小二乘解;且随外推距离增大,精度几乎成线性降低。     

均方误差意义下的正则化参数二次优化方法

Tikhonov正则化法是大地测量中应用最为广泛的病态问题解算方法之一。影响正则化法解算效果的重要因素是正则化参数,然而,最优正则化参数的确定一直是正则化解算的难题,如L曲线法确定的正则化参数具有稳定性好、可靠性高的优点,但存在过度平滑问题,导致正则化法对模型参数估值精度改善较小。本文从均方误差角度分析了正则化参数对模型参数估计质量的影响。基于奇异值分解技术,提出了由模型参数投影值分块计算均方误差的方法,避免了均方误差迭代计算,并基于均方误差最小准则给出了正则化参数优化方法,实现了对L曲线正则化参数的优化。数值模拟试验与PolInSAR植被高反演试验结果表明,正则化参数优化方法有效改善了正则化法解算效果,提高了模型参数估计精度。     

一种解算病态问题的方法--两步解法

提出了一种解算病态问题的方法———两步解法。在两步计算中,均采用L曲线法来确定正则化参数α。通过算例,比较了该方法和LS估计、岭估计及截断奇异值方法的效果。结果表明,该方法要明显优于LS估计、岭估计及截断奇异值法。     

Implication of adaptive smoothness constraint and Helmert variance component estimation in seismic slip inversion

When ill-posed problems are inverted, the regularization process is equivalent to adding constraint equations or prior information from a Bayesian perspective. The veracity of the constraints (or the regularization matrix R) significantly affects the solution, and a smoothness constraint is usually added in seismic slip inversions. In this paper, an adaptive smoothness constraint (ASC) based on the classic Laplacian smoothness constraint (LSC) is proposed. The ASC not only improves the smoothness constraint, but also helps constrain the slip direction. A series of experiments are conducted in which different magnitudes of noise are imposed and different densities of observation are assumed, and the results indicated that the ASC was superior to the LSC. Using the proposed ASC, the Helmert variance component estimation method is highlighted as the best for selecting the regularization parameter compared with other methods, such as generalized cross-validation or the mean squared error criterion method. The ASC may also benefit other ill-posed problems in which a smoothness constraint is required.