利用TSVD参数估值变化特性确定算法截断参数

TSVD是大地测量病态问题解算的常用有效方法。影响TSVD解算效果的关键因素是截断参数,现有截断参数确定方法可提供有效的截断参数,但仍难以给出最优截断参数。以均方误差最小为准则确定截断参数是一种理论依据较充分的截断参数确定方法,但均方误差计算所需的模型参数真值在实际应用中无法获得,导致该方法难以给出理论最优截断参数。鉴于此,本文研究了基于均方误差影响下(方差与偏差联合影响)参数估值变化特性的TSVD截断参数确定方法。通过TSVD依次截掉小奇异值,获得奇异值截掉前后的方差与参数估值变化,利用两者变化分析确定偏差影响,避免依赖参数真值计算偏差,从而确定出均方误差最小理论下的截断参数。数值与应用试验结果表明,本文方法确定的截断参数可有效改善TSVD解算效果,是一种行之有效的截断参数确定方法。     

TSVD正则化解法的单位权方差无偏估计

截断奇异值(truncated singular value decomposition,TSVD)法通过截掉病态观测方程系数矩阵的小奇异值来改善模型的病态性,提高参数估值的稳定性和精度。然而,截除小奇异值后,改变了观测方程的结构,不仅参数估值有偏,残差估值也是有偏的;因此,其单位权方差不能用传统的估计公式计算。针对此,导出了TSVD正则化解的单位权方差无偏公式,并以第一类Fredholm积分方程和病态测边网为算例验证了公式的正确性。     

等式约束病态模型的截断奇异值解及其统计性质

利用平差模型间合理的先验信息能够显著提高解的稳定性和精度。本文基于病态模型引入等式约束条件,并采用截断奇异值法重构了系数阵以削弱其病态性;建立了修正等式约束模型,导出了病态模型的约束截断奇异值解及其偏差、方差以及均方误差公式;分析了截掉奇异值所引起解的偏差引入量与方差下降量的关系,得到了确定截断参数的条件。数值算例和病态测边网算例分析结果表明,最小二乘解严重偏离真值,500次模拟实验的平均RMSE为6.693 5,正则化解和截断奇异值解精度较最小二乘解有所提高,平均RMSE分别为0.365 8和0.365 2;本文提出的约束截断奇异值解的精度最高,与约束正则化解精度相当,其平均RMSE仅为0.057 3。     

基于信噪比检验的双截断奇异值估计

将复共线性对参数估计危害的度量结果与截断奇异值估计相结合，提出了基于信噪比检验的双截断奇异值估计。利用信噪比检验，根据每个参数最小二乘估计信噪比估值的大小将待估参数分为受复共线性危害较大和较小的两部分，并对这两部分参数的截断奇异值估计进行不同强度的截断。对受复共线性危害较大的部分参数，使其截断参数相对较小，对受复共线性危害较小的部分参数，使其截断参数较大。这种精细化的处理在有效降低参数估计方差的同时减少了偏差的引入。将基于信噪比检验的双截断奇异值估计应用于GEO卫星定轨仿真算例中，实验结果表明，新方法的解算精度较高。     

病态加权总体最小二乘模型的截断奇异值解法

利用截断奇异值解法处理了病态加权总体最小二乘模型,详细推导了参数的截断奇异值解及其偏差、方差以及均方误差公式,该算法无需迭代求解,易于实现。将截断奇异值解的均方误差与最小二乘解的方差进行比较,发现当奇异值由大到小依次变化时,截掉奇异值所造成的解的均方误差下降量的符号由负逐渐变正,由此导出了确定截断参数的公式。数值算例和病态测边网算例分析结果表明,受模型病态性的影响,最小二乘解和总体最小二乘解的精度较差;截断奇异值解能够有效地削弱模型的病态性同时又顾及了系数阵的误差,其解的精度最高。     

TSVD解算中选择截断参数的新方法

截断奇异值方法(TSVD)是解决病态问题的一个有效途径,其关键问题是选择适当的截断参数.首先对TSVD方法克服病态性的原理进行了分析,提出适当的截断参数应当使TSVD解达到两个目标:一是能够消除被小奇异值放大的噪声对真解的污染,二是尽量提高解的分辨率以保持解的准确性.然后提出了基于信噪差异指标的选择截断参数的新方法,该方法以TSVD解在不同截断方式下的信噪差异为指标,对TSVD克服病态性的实际效果进行评估,据此选择截断参数.最后通过对航空重力测量数据向下延拓问题的模拟计算,说明该方法的有效性.     

附有奇异值修正限制的改进的岭估计方法

最小二乘估计具有无偏性,而岭估计是一种有偏估计,它通过引入偏差降低方差来降低均方误差。在模型出现病态时,岭估计优于最小二乘估计。对岭估计的方差与偏差进行分析发现,岭估计通过修正病态矩阵的奇异值降低均方误差,但对部分较大奇异值的修正不能有效降低均方误差。通过比较修正奇异值的方差下降量与偏差引入量的大小关系确定需要修正的小奇异值,进而改进岭估计方法,实现选择性地修正小奇异值,提出附有奇异值修正限制的改进的岭估计方法,可有效改善岭估计的解算效果和可靠性,实验验证了新方法的可行性和有效性。     

正则化的奇异值分解参数构造法

Tikhonov正则化法引入正则化参数和稳定泛函来改善矩阵的病态性。稳定泛函表示为参数的二范约束时,正则化矩阵为单位阵的正则化法即为岭估计法。通过对岭估计的方差与偏差进行分析可知,岭估计改善矩阵病态性的同时也过度地引入了偏差,降低了解的可靠性,对较大奇异值的修正不能有效地减小估计的方差,却引入了偏差,而对较小奇异值的修正可有效地减小估计的方差。因此,选择较小奇异值特征向量构造正则化矩阵,调节各奇异值的修正,可有效减小参数估计的方差,减少偏差的引入,得到更为可靠的参数估计。通过试验证明了该方法的有效性。     

基于信噪比检验的部分奇异值双参数修正估计

从分析LS估计和岭估计的奇异值展开式出发,研究了病态性问题的解算方法。岭估计中岭参数对较大奇异值的修正不能有效降低估计的方差,却增大了估计的偏差,这是导致岭估计有时效果不好的重要原因。首先借鉴TSVD思想,保留展式中较大奇异值所对应的项,然后修正展式中较小奇异值所对应的项。在修正前,利用信噪比检验,将各个参数按受到复共线性危害的大小分为两类,据此作出不同强度的双参数修正,提出了基于信噪比检验的部分奇异值双参数修正估计。实验结果表明,新方法的解算精度较高。     

一种改进的病态问题截断奇异值方法

截断奇异值分解方法是通过删除较小的奇异值及对应的特征向量获得病态模型的稳定解.文中首先将线性病态模型表示成近似的秩亏模型,证明秩亏模型的最小范数最小二乘解与截断奇异值解的等价性;然后,根据模型参数间的先验信息,以参数的线性函数的二次范数最小为目标,在残差范数最小条件下给出改进的最小范数最小二乘解,其实质是截断奇异值解的修正.截断参数的选取采用L曲线法.计算实例表明,修正的截断奇异值算法稳定有效,比正则化解和截断奇异值解具有更小的均方误差.     

均方误差意义下的正则化参数二次优化方法

Tikhonov正则化法是大地测量中应用最为广泛的病态问题解算方法之一。影响正则化法解算效果的重要因素是正则化参数,然而,最优正则化参数的确定一直是正则化解算的难题,如L曲线法确定的正则化参数具有稳定性好、可靠性高的优点,但存在过度平滑问题,导致正则化法对模型参数估值精度改善较小。本文从均方误差角度分析了正则化参数对模型参数估计质量的影响。基于奇异值分解技术,提出了由模型参数投影值分块计算均方误差的方法,避免了均方误差迭代计算,并基于均方误差最小准则给出了正则化参数优化方法,实现了对L曲线正则化参数的优化。数值模拟试验与PolInSAR植被高反演试验结果表明,正则化参数优化方法有效改善了正则化法解算效果,提高了模型参数估计精度。     

向下延拓航空重力数据的Tikhonov双参数正则化法

为了避免正则化参数对向下延拓过程可靠成分的修正影响,提出了Tikhonov双参数正则化法。引进截断参数,将法矩阵的奇异值分为相对较大的奇异值（可靠部分）和相对较小的奇异值（不可靠部分）;引进正则化参数,只对法矩阵的小奇异值进行修正,以抑制高频误差对向下延拓解的影响。采用改进的广义交互确认法（GCV）确定截断参数和正则化参数。基于EGM2008重力场模型仿真了一组航空重力数据,验证了该方法对航空重力数据向下延拓过程的有效性。     

Solving multicollinearity in dam regression model using TSVD

Targeting the multicollinearity problem in dam statistical model and error perturbations resulting from the monitoring process,we built a regularized regression model using Truncated Singular Value Decomposition(TSVD).An earth-rock dam in China is presented and discussed as an example.The analysis consists of three steps:multicollinearity detection,regularization pa-rameter selection,and crack opening modeling and forecasting.Generalized Cross-Validation(GCV) function and L-curve criterion are both adopted in the regularization parameter selection.Partial Least-Squares Regression(PLSR) and stepwise regression are also included for comparison.The result indicates the TSVD can promisingly solve the multicollinearity problem of dam regression models.However,no general rules are available to make a decision when TSVD is superior to stepwise regression and PLSR due to the regularization parameter-choice problem.Both fitting accuracy and coefficients’ reasonability should be considered when evaluating the model reliability.     

短基线集形变模型反演的正则化解算方法

针对短基线集形变模型反演中法方程系数矩阵呈病态的问题,提出一种正则化稳健解算方法。该方法基于Tikhonov正则化理论,将形变速率求解问题转化为极小化问题,根据L-曲线法选取正则化参数,考虑最小二乘残差各个分量间的关系选取正则化矩阵,实现短基线集形变模型反演的稳健解算。分别采用LS法、岭估计法和Tikhonov正则化法对覆盖北京地区的29景ENVISAT ASAR数据进行处理,反演出研究区沉降速率图。通过对代表不同沉降情况的21个点的均方误差值和时间相干值、整个研究区的均方误差图等的对比分析,表明本文提出的短基线集形变模型反演的正则化稳健解算方法可获取更可靠的形变监测结果。     

一种改进的不适定问题奇异值分解法

综合截断奇异值法和奇异值修正法的特点,提出了一种改进的不适定问题奇异值分解法,先用截断参数将奇异值分为相对较大的奇异值和相对较小的奇异值;再用修正参数对相对较小的奇异值进行修正,以抑制其对观测噪声的放大作用。通过位场延拓中航空重力测量数据向下延拓的仿真实验,验证了改进的奇异值分解法要优于截断奇异值法、奇异值修正法和Tikhonov正则化法。