保持Runge-Lenz向量的数值方法

对孤立积分和能够保持Runge-Lenz向量的梯形公式进行详尽讨论．孤立积分就是限制粒子运动区域的不变量，具有n个自由度的自治可积哈密顿系统且只有n个互相对合的独立孤立积分，并且其他孤立积分的存在对粒子的运动是有意义的，Kepler二体系统存在能量积分、角动量积分和Runge-Lenz向量．对于平面运动情况，这三类积分中只有3个独立孤立积分；而对于三维空间情形，该三类积分仅有5个是独立的．就前者而言，Kepler二体平面运动积分构成该系统中的对称群SO（3），经过Levi-Civita变换，它可以转化为二维各向同性谐振子系统中的对称群，而该对称群能够被梯形公式准确保持，另一方面，对于后者梯形公式对这三类积分的严格保持还可以在5个Kepler轨道根数n、e、i、Ω和w上得到体现。     

约束条件和数值积分

自治的哈密顿系统存在约束条件，例如能量积分或广义相对论中的4速度大小为常数，它能否在数值积分过程中始终满足将直接影响数值稳定性．在牛顿力学中哈密顿系统的动能一般为椭圆型，直接运用约束条件对方程进行降阶存在开平方判断正负号的困难，导致应用高精度的经典数值积分器时能量存在耗散．然而相对论力学的度规为双曲型，利用约束条件有可能实行方程降阶．在时空具有一定对称性的情况下，能够找到整个时空的一个全局变换使变换后的度规的主对角线某一元素为零，于是从约束方程中不需开平方能够解出某一动量，顺利实现运动方程的降阶．相对论力学中另一个可以降阶的模型是Mixmaster宇宙模型．数值实验表明将经典算法用于降阶后的运动方程能够严格地满足约束，但不一定能保持辛结构。     

判定轨道混沌的几个指标

评述判定天体轨道混沌性质的几个指标,包括Poincare截面方法、Lyapunov指数、局部Lyapunov指数及其谱分布、快速Lyapunov指标、较小排列指标、0-1指标和频谱分析法等,讨论它们的优缺点和适用范围;强调相对论系统中建立坐标不变指标的重要性,例如,利用投影算符实现“1+3”时空分解而建立的独立于坐标规范的Lyapunov指数来处理弯曲时空是方便的。     

稳定化方法与后稳定化方法的比较

对BaumgaLrte的稳定化和Chin的后稳定化进行了详尽讨论与数值比较．用经典数值方法并结合这两种稳定化方式都能提高数值精度和改善数值稳定性．在最佳稳定参数下稳定化精度一般不等价于后稳定化．两者精度优劣并无常定．考虑到Baumgarte的稳定化使得数值积分的右函数更复杂和增加计算耗费,尤其是存在稳定参数最佳选取的麻烦,故推荐后稳定化投入实算．但值得注意的是用后稳定化与没有经过稳定化处理的经典积分器来比不宜扩大积分步长．     

辛方法的校正公式

1996年Wisdom等提出了对辛方法进行校正的概念和实践，现在继续对辛校正进行详尽讨论和数值比较，尤其对哈密顿函数可分解为一个主要部分和多个次要部分的一般情形，用Lie级数推导任意阶的各种辛算法的一次和二次辛校正公式并对一些算法给出具体的辛校正公式。又以日、木、土三体问题为模型进行数值实验，结果表明一次辛校正能提高精度，改善数值稳定性。计算效率也比较高，因而值得推荐使用，辛方法通常用大步长数值积分，这时二次辛校正并没有显著提高结果的精度，却大大增加了计算时间，不应予以推荐。     

几类辛方法的数值稳定性研究

主要对一阶隐式Euler辛方法M1、二阶隐式Euler中点辛方法M2、一阶显辛Euler方法M3和二阶leapfrog显辛积分器M4共4种辛方法及一些组合算法进行了通常意义下的线性稳定性分析．针对线性哈密顿系统,理论上找到每个数值方法的稳定区,然后用数值方法检验其正确性．对于哈密顿函数为实对称二次型的情况,为了理论推导便利,特推荐采用相似变换将二次型的矩阵对角化来研究辛方法的线性稳定性．当哈密顿分解为一个主要部分和一个小摄动次要部分且二者皆可积时,无论是线性系统还是非线性系统,这种主次分解与哈密顿具有动势能分解相比,明显扩大了辛方法的稳定步长范围．     

一个膺三阶辛积分器

在太阳系动力学中,辛积分器已成为研究哈密顿系统的长期定性演化的最佳工具.对于可积分离的哈密顿系统H=H0+∑i=1N∈iHi(∈≤1),构造了一个膺三阶辛积分器.它大约相当于Wisdom-Holman二阶辛积分器的一次校正或Forest-Ruth四阶辛算法的精度.此外,含力梯度的辛算法也适合处理哈密顿系统H=Ho(q,P)+∈H1(q),其精度好于原辛积分器,但不优越于相应膺高阶辛积分器.     

两个三阶最优化力梯度辛积分器的对称组合

利用已存在的三阶最优化力梯度辛格式以对称组合方法获得两个新的四阶力梯度辛积分器.它们在求解摄动Kepler混沌问题的能量精度和一维定态Schrdinger方程的能量本征值精度方面比Forest-Ruth四阶非力梯度辛积分器要好得多,甚至还要明显优越于已有的四阶最优化力梯度辛积分器.