NLS问题的不适定性及正则化解算方法

本文进一步完善定义了NLS问题的两种不适定性,对产生这两种不适定问题的现象进行了分析。借助于正则化理论,通过添加稳定泛函,结合高斯-牛顿法,构造了不适定NLS问题的正则化高斯-牛顿法求解公式;解决了普通高斯-牛顿法在迭代过程中其Jacobian矩阵是秩亏或者严重病态导致的不能收敛的问题;给出了非线性秩亏自由网平差的正则化高斯-牛顿法步骤;以几个经典NLS问题为例进行了数值实验,说明了本文所提方法的适用性。     

度量LS及正则解质量的信噪差异指标

不适定问题最小二乘(LS)解的质量有时很差,其主要原因之一是设计阵的病态性.正则化方法是克服该缺陷的有效方法,但要以损失一些解的精确性作为代价.不适定问题在LS解质量并不差的情况下,则没有必要采取正则化方法.于是就产生一个决策问题:即何时有必要采取正则化方法.这里提出的信噪差异指标就是一种决策指标.该指标可用于度量LS解和正则解的质量,以及正则化参数的恰当选取.数值试验验证了其有效性.     

大地测量中不适定问题的正则化解法研究

大地测量中的不适定问题包括病态问题和秩亏问题.系统研究不适定问题的处理理论和方法,是大地测量数据处理中的一项重要课题,已经发展成为一个重要的学科方向.本文基于TIKHONOV正则化方法和欧吉坤研究员提出的选权拟合的研究思路,充分考虑大地测量实际,抓住正则化矩阵的选取和正则化参数的确定这条主线,对大地测量中的不适定问题进行了深入研究,建立起了一套较系统的不适定问题处理理论及方法的框架,进一步发展了TIKHONOV正则化方法.主要研究内容包括:     

非线性参数估计的自适应松弛正则化算法

非线性方程参数估计存在的弊端在于非线性观测方程存在不适定问题时，以线性化平差估计和高斯牛顿为代表的经典数值算法会产生较强的不稳定特征。因此，针对传统非线性最小二乘求解不稳定且可靠性低的特点，基于稳定泛函极小准则最优化思想，提出了一种自适应松弛正则化数值算法。该算法采用正则化参数几何递增计算方法和残差最小步长准则，实现了正则参数和迭代步长计算的完全自适应，提高了非线性迭代收敛效率。以病态仿真数据和水下实测数据为例，验证了该方法的数值收敛解优于线性平差估计解，收敛效率优于迭代Tikhonov正则化方法。     

测量中不适定问题的统一解的推导

病态问题和秩亏问题是测量中常见的不适定问题,从正则化矩阵和正则化参数入手对存在于测量中的控制网平差、大地测量反演、GPS快速定位、拟合推估系统误差处理等不适定问题进行处理,成为当前的研究热点。同时,经过统一解的建立,对秩亏问题病态性问题实行新的解法,改进了生产实践中的测量精度,具有一定的学术价值和商业价值。     

吉洪诺夫正则化总体最小二乘的圆曲线拟合

针对利用离散的观测坐标拟合圆曲线,在观测点分布较为集中时,会引起法方程病态问题,使用高斯-马尔可夫模型,以圆的参数方程为数学模型,引入更多的参数,结合Tikhonov正则化进行总体最小二乘,并对公元前500年古希腊科林斯赛马场跑道的一组考古数据(观测点集中分布在跑道起点处,该跑道近似为圆形),采用Tikhonov正则化总体最小二乘求解曲线参数.实验结果表明,该文提出的基于高斯-马尔可夫模型的Tikhonov正则化总体最小二乘方法可以有效解决圆曲线拟合中的不适定问题.     

重力与磁力测量数据向下延拓中最优正则化参数确定方法研究

向下延拓是重、磁测量数据处理的关键步骤之一,然而,向下延拓是一个典型的不适定问题,需要采用正则化方法实现有效延拓,因此,正则化参数的确定是重、磁测量数据向下延拓正则化方法研究中最重要内容。本文根据观测面和延拓面测量数据的Poisson积分平面近似关系,结合快速傅里叶变换算法,将其转换到频率域进行计算,提高了计算速度,为了克服计算的不稳定性并进一步提高计算结果的精度,引入Landweber正则化迭代法,在此基础上采用L曲线法研究了最优正则化参数的确定,最后采用模型磁测数据验证了所确定的正则化参数的有效性,并取得了较好的延拓结果。     

航空重力测量数据向下延拓基于信噪比的正则化方法的研究

本文研究了正则化方法在航空重力测量数据向下延拓问题中的应用。首先对这种不适定问题的线性模型,分析了设计阵的复共线性结构与其对参数估计危害之间的关系,利用参数LS估计的信噪比提取了各个参数是否受到复共线性严重危害的信息,从而在一定程度上揭示了设计阵复共线性结构的特征。然后提出了基于信噪比的正则化方法（SNR）,以信噪比为依据构造正则化矩阵,以极小化均方误差为目标选取正则化参数。本文构造正则化矩阵无需利用附加物理或先验信息,这对于在缺乏此类信息的情况下运用正则化方法提供了新的手段。最后进行了数值试验,结果表明,本文提出的新方法（SNR）比普通的正则化方法（OR）在滤噪和保真方面表现更佳。     

正则化滤波在反演地表光谱反照率中的应用

利用有限的卫星观测数据,通过反演地物二向性反射分布函数(BRDF)模型提取复杂地表的真实信息,是一个不适定的地球科学反演问题。为了克服离散不适定性带来的困难,在分析引起模型解不稳定的原因和数据误差传递机制的基础上,使用构建滤波函数的方法实现BRDF模型的正则化约束反演。实验结果表明,正则化滤波算法与MODIS AMBRALS算法精度相当,完全适用于具有充足观测和稀疏观测情况下的地物参数反演。     

航空重力向下延拓病态问题的求解

提出将广义岭估计用于求解航空重力向下延拓病态问题,研究了求解逆Poisson积分问题的3种正则化方法：Tikhonov正则化、岭估计和广义岭估计。利用EGM2008地球位模型设计模拟数值实验,将飞行高度处含白噪声的2.5′×2.5′重力扰动向下延拓至大地水准面上,与参考值作外部检验,全面检验、比较了各向下延拓方法的可靠性、精度和稳定性,数值结果表明基于多个最优正则化参数的广义岭估计在延拓精度、稳定性和抗差性等方面要显著优于基于单个正则化参数的Tikhonov法和岭估计。     

均方误差意义下的正则化参数二次优化方法

Tikhonov正则化法是大地测量中应用最为广泛的病态问题解算方法之一。影响正则化法解算效果的重要因素是正则化参数,然而,最优正则化参数的确定一直是正则化解算的难题,如L曲线法确定的正则化参数具有稳定性好、可靠性高的优点,但存在过度平滑问题,导致正则化法对模型参数估值精度改善较小。本文从均方误差角度分析了正则化参数对模型参数估计质量的影响。基于奇异值分解技术,提出了由模型参数投影值分块计算均方误差的方法,避免了均方误差迭代计算,并基于均方误差最小准则给出了正则化参数优化方法,实现了对L曲线正则化参数的优化。数值模拟试验与PolInSAR植被高反演试验结果表明,正则化参数优化方法有效改善了正则化法解算效果,提高了模型参数估计精度。     

基于改进高斯-牛顿法的位场向下延拓

本文针对位场向下延拓的不适定问题,在分析最优化算法中高斯-牛顿法基本原理及滤波函数滤波特性的基础之上,提出基于正则参数指数递增计算方法和残差最小步长准则的改进高斯-牛顿法。基于理论重力模型和航磁实测数据的对比实验表明,改进后得到的自适应迭代法具有相对较高的位场向下延拓精度和很好的收敛性。     

一种解算病态问题的方法--两步解法

提出了一种解算病态问题的方法———两步解法。在两步计算中,均采用L曲线法来确定正则化参数α。通过算例,比较了该方法和LS估计、岭估计及截断奇异值方法的效果。结果表明,该方法要明显优于LS估计、岭估计及截断奇异值法。     

单频GPS静态定向中整周模糊度的快速解算

针对GPS快速静态定向中法矩阵严重病态的特点,采用了载波和伪距联合解算及Tikhonov正则化方法,改善了法矩阵的病态性,实际算例表明该方法是有效的、可行的.     

选权拟合法解的特性探讨

选权拟合法是解决大地测量中的不适定问题的一种方法,是对吉洪诺夫正则化方法的改造。在推导一般正则化解的偏差计算公式并回顾了选权拟合法的基本原理和公式的基础上,推导了选权拟合法解的一个重要性质:只要被约束的部分参数估值无偏,其余的也无偏;该性质说明利用选权拟合进行参数估计的结果是有条件无偏的。这个不同于一般正则化解的重要特性可以用于设计加快GPS短基线快速定位双差模糊度解算策略。恰当利用选权拟合法,用实测数据算例分析了GPS基线分量的先验信息的偏差大小对模糊度解算的影响。     

Unbiased estimation formula of unit weight standard deviation in regularization solution

Regularization method is an effective method for solving ill-posed equation. In this paper the unbiased estimation formula of unit weight standard deviation in the regularization solution is derived and the formula is verified with numerical case of 1 000 sample data by use of the typical ill-posed equation, i. e. the Fredholm integration equation of the first kind.