非均匀网格下的高阶精度中央差分格式:理论推导和理想试验

传统的高阶精度有限差分格式通常是在均匀网格的基础上推导得到的,在非均匀网格的情况下它会出现精度退化的问题。基于泰勒展开方法构造了一种适用于非均匀网格的2阶、4阶和6阶精度中央有限差分方案,利用Burgers方程和一维平流方程对新方案的性能进行测试,着重分析新方案对其误差大小及分布形态的改进效果。数值模拟结果表明:在非均匀网格下,提高差分方案的精度可明显减小数值解误差(降低了70%~88%),特别是当差分精度从2阶提高到4阶的时候。同时,高阶精度方案在梯度变化较大或者网格距较粗区域的模拟结果更有优势,4阶和6阶精度方案在以上区域的误差远小于2阶精度方案。方案可用于提高数值天气预报模式中非均匀分层模式的垂直差分计算精度。      

高阶精度有限差分方案下的非跳点网格试验:基于浅水波方程

非跳点网格在模式动力—物理过程的耦合方面具有独特的优势,但是由于二阶精度差分方案下非跳点网格频散误差较大而很少被使用于数值天气预报模式。随着近年来数值模式计算精度的不断提高,非跳点网格在频散关系方面的计算误差是否会发生变化还有待研究。本文在高阶精度差分格式下通过浅水波方程对跳点网格和非跳点网格的频散关系进行理论分析和数值试验,主要得到以下结论:（1）在低波数区跳点网格的频散关系基本不随计算精度的提高而变化,但是非跳点网格下的频散关系则随着计算精度的提高而更加接近真实解。在四阶精度下,非跳点网格的频散关系已经非常接近跳点网格。（2）差分精度提高以后,在高波数区非跳点网格仍然存在频率极大值,而且极值中心随着计算精度的提高而逐渐向更高波数区移动。跳点网格在计算精度提高以后高波数区的频率仍然随波数单调增加,且更接近真实解。（3）在高阶精度非跳点网格模拟试验的基础上,结合高阶扩散项对高频短波进行滤除,可以得到与二阶精度跳点网格相接近的模拟结果。总之,在高阶精度有限差分方案下利用非跳点网格构造模式动力框架是一种比较可行的做法。     

用有限区域风速场准确求解流函数和速度势场的方法

流函数和速度势是气象业务和研究中常用于表述风速的一组变量。用有限区域风速场, 使用有限差分方法求解得到的流函数和速度势场重建初始风速场, 由于受区域边界的限制往往有明显的偏差。虽然有许多求解方法的研究, 但是, 至今仍尚未见到一种真正准确的求解计算方案。首先, 介绍用Arakawa A网格和D网格分布的有限区域风速场求解流函数和速度势场的一般有限差分计算方法, 探讨用它们的解重建风速场产生误差的原因。然后, 针对这些原因, 对给定的有限区域, 通过线性外推初始风速场, 扩展求解计算区域, 使用协调、一致的有限差分格式方案, 准确计算求解区域的边界有旋风速、散度风速和速度势的定解边界条件, 以及恰当选择流函数、速度势、涡度和散度等变量的分布网格, 设计了用上述两种网格分布的风速场准确求解流函数、速度势场的方案, 并对其正确性加以证明, 它们可以推广应用于其他Arakawa网格。用实际资料试验同样显示, 方案避免了重建风速场误差的出现, 与初始风速场相比, 全场风速最大偏差精度达到10-12m/s或以上, 在计算机精度造成的计算误差影响范围内。本文的研究很好解决了长期以来用有限区域风速场、 使用有限差分方法无法准确求解流函数和速度势场的问题。     

数值天气预报中的差分方法——非线性差分格式的误差估计

在数值天气预报的差分方法中应考虑:一是根据物理定律构造合适的格式,二要估计初始条件观测误差,计算舍入误差或侧向边界条件计算误差对预报值的影响,三要克服非线性不稳定现象。一般把格式的守恒性当作克服不稳定性的一种重要手段,但只有定性的说明,可见[1]-[4]。1965年作者提出了加权平均守恒法,也提供了严格估计误差的一种方法,本文以最简单的全球预报正压模式为例来说明它。     

应用于双向套网格模式的一种变格距差分解法

本文提出了一种用于双向套网格模式的变格距差分计算方案。该方案在不同格距的网格区采用不同精度的差分格式，它自然地连接粗细网格，避免了一般套网格方案在粗细网格相重合点上进行的重复计算。用解析法和数值试验证明了:它与其它一些变格距差分格式相比，对短波的穿透能力有明显改进，虚假的反射也较小。应用该方案建立了正压原始方程双向套网格模式，并采用空间分解和时间分解计算方法。这不仅使二维问题转化为二个一维问题，而且二维套网格也可简化为一维均匀网格和一维套网格两部分，从而使计算和程序简化。用理想场为初值所做的一系列数值试验表明，该模式中的波可以自由进出粗细网格区，计算稳定。最后，还用该模式做了台风路径预报试验，给出了一些试验结果。     

再论不等距差分格式的计算紊乱问题

不等距差分格式中存在的计算紊乱问题在文章[1]中已有较好的研究,那里比较了三种构造不等距差分格式的方法,给出了“超高频”条件的表达式,并指明:当出现“超高频”条件时,波不能穿透“界面”,由细网格一侧传到粗网格一侧,而在细网格一侧产生完全的伪反射.但该文没有分析所有可能的情况,本文再用物理分析和数值试验的方法对该文未曾分析的情况进行了详细研究,主要结果有:1.在特殊情况下,即在频率等于临界值时,理论和数值试验结果都表明,不仅在细网格一侧有伪反射,而且在粗网格一侧还有放大的透射波.2.当区域中布多种网格时,不     

一类三维的高分辨中心差分格式

在交错网格的情况下，构造了一类不需解Riemann问题的求解三维双曲守恒律的二阶显式差分格式，证明了该格式在CFL（Courant-Friedrichs-Lewy）条件限制下为MmB（Maximum and minimum Bounds）格式，进行了并行计算数值试验，得到的试验结果令人满意。在交错网格的情况下构造的这类差分格式，不需要求解Riemann问题，不需要进行特征分解，可用于求解弱双曲方程组，计算快、编程简便。     

正压原始方程的差分格式

本文把[1—3]中的数值方法应用于正压原始方程组,并给出了差分格式的严格的误差估计。特别分析了边界误差的影响,并构造了一些新的算法。     

WENO格式与虚拟单元浸入边界法在笛卡尔网格中的应用

高精度有限差分WENO格式在结构网格上处理具有复杂几何外形绕流问题时较困难,而虚拟单元浸入边界法却是一种较新颖且对网格的要求较低的方法,适用于复杂几何外形边界的处理.为此,在笛卡尔网格上采用WENO格式以求解Euler守恒律方程,试图将两者有效结合起来,希望能在笛卡尔网格上处理具有复杂几何外形的物体绕流问题.最后,几个经典数值算例的结果验证了该方法的有效性.     

初论双三次数值模式

讨论在数学Rn空间里,存在孔斯双三次曲面拟合的可能数值模式(以下称双三次数值模式)。双三次数值模式特点是,在诊断上对天气系统中的由各个物理定律表述的(离散点)大气物理量场,可通过数学三次样条函数做双三次曲面拟合,则模式大气(包括天气系统)的各个物理量场均达到二阶可导,即是大气运动方程中的各个物理量场都存在各自的一、二阶空间微商,从而可以对模式大气与天气系统做时间积分。与有限差分模式和谱模式存在所谓的空间截断误差和波数截断误差相比较,双三次数值模式存在所谓的空间拟合误差,恰是现行有限差分模式空间截断误差的高阶小量。而双三次数值模式具有谱模式准确计算空间微商的优点,且双三次数值模式的数学构架能够较好地适应大气运动动力框架,是可与有限差分模式和谱模式相比较的另一数值分析新算法的气象数值模式。     

正压涡度方程中考虑粘性项与平滑过程的一些意见

本文首先讨论了如何依据空间步长来选取平滑系数。其次考虑在涡度方程中加上粘性项后对微分方程解的影响,讨论如何选取适当的粘性系数。第三讨论涡度方程加粘性项后对差分格式计算稳定性的影响,证明了在常用时间中心差分格式中应把粘性项取在第(n-1)时间层,这样计算才是稳定的。反之,如把粘性项取在第n时间层,则差分格式计算不稳定。并且时间向前差的格式在加上粘性项后也可以稳定,但要求的粘性系数过大。最后讨论了用涡度方程作数值预告时加上平滑过程与加上粘性项之间的关系,从计算上看,二者并不等价。但可以把平滑过程与扩散方程类比,以确定适当的平滑系数。     

Three-Step Difference Scheme for Solving Nonlinear Time-Evolution Partial Differential Equations

In this paper, a special three-step difference scheme is applied to the solution of nonlinear time-evolution equations, whose coefficients are determined according to accuracy constraints, necessary conditions of square conservation, and historical observation information under the linear supposition. As in the linear case, the schemes also have obvious superiority in overall performance in the nonlinear case compared with traditional finite difference schemes, e.g., the leapfrog（LF） scheme and the complete square conservation difference（CSCD） scheme that do not use historical observations in determining their coefficients, and the retrospective time integration（RTI） scheme that does not consider compatibility and square conservation. Ideal numerical experiments using the one-dimensional nonlinear advection equation with an exact solution show that this three-step scheme minimizes its root mean square error（RMSE） during the first 2500 integration steps when no shock waves occur in the exact solution, while the RTI scheme outperforms the LF scheme and CSCD scheme only in the first 1000 steps and then becomes the worst in terms of RMSE up to the 2500th step. It is concluded that reasonable consideration of accuracy, square conservation, and historical observations is also critical for good performance of a finite difference scheme for solving nonlinear equations.     

A monotonic limiter and flux-corrected transport approach for high-order time integration schemes

A monotonic transport algorithm for a high-order time integration scheme is described in this paper. The algorithm is a modified version of an existing high-order time integration scheme, and is tested using a simple one-dimensional pulse and two-dimensional deformational flows. It is found that the new formulation can remove the error, caused by new maxima/minima and excessive smoothing, which occurs in scalar transport using the original extrapolation scheme. The results show that there may be potential for the high-order time integration scheme to be applied in numerical weather prediction models.     

不同地表通量计算方案的比较与改进

利用2006年南京地区边界层外场观测资料对摩擦速度(u*)和摩擦温度(θ*)的几种计算方案进行了比较.u*计算方案的比较结果表明:在不稳定条件下,Pleim方案计算结果同实测值相比,二者在量值及变化趋势上都有较好的一致性;而在稳定条件下,计算结果较差,为此本文给出了一个新的计算方案,结果表明,改进方案有效的提高了u*计算精度,平均相对误差由56%降低到21%.θ*计算方案的比较结果表明:基于动力粗糙度和热力粗糙度相等的Lee方案计算误差较大,而引入阻尼项的Wesely方案计算结果较前者有明显改进.     

REMOTE SENSING OF RAINFALL PARAMETERS BY LASER SCINTILLATION CORRELATION--EXPERIMENT AND ANALYSIS

Remote sensing of rainfall parameters—rainfall rate and size distribution—by raindrop-induced laserbcam scintillation is a new kind of precipitation measurement technique. This paper presented the primaryfield experiment results based on the theory and numerical simulations by Wu and Lü (1984, 1985) and Lü andWu (1984).Rainfall rate and size distribution were deduced from observations of laser beam scintillation andcompared with those of the filter-paper sampling method. Qualitative analysis of the experiment error wasalso given here. All the work showed that the theory is applicable, and under proper experiment conditions,remote sensing of rainfall parameters by laser scintillation correlation is an advanced and accurate technique.     

GRAPES-3DVar高阶递归滤波方案及其初步试验

背景误差协方差矩阵B及其逆的求解是三维变分同化研究的核心问题之一.在GRAPES区域三维变分同化系统(GRAPES-3Dvar)中背景误差协方差矩阵的水平变换部分,假定各向同性并进行递归滤波运算.原有方案中采用一阶递归滤波器,但收敛不够迅速,每次循环同化时需滤波10次才能使目标函数收敛.根据Purser等2003年的研...     

AN EXPLICIT COMPLETE SQUARE CONSERVATIVE SCHEME WITH ADJUSTABLE TIME INTERVALS*

In this paper,a kind of explicit difference scheme to solve nonlinear evolution equations,perfectly keeping the square conservation by adjusting the time step interval,is constructed,from the comprehensive maintenance of the advantages of the implicit complete square conservative scheme and the explicit instantaneous square conservative scheme.The new schemes are based on the thought of adding a small dissipation,but it is different from the small dissipation method.The dissipative term used in the new schemes is not a simple artificial dissipative term,but a so-called(time) harmonious dissipative term that can compensate for the truncation errors from the dissociation of the time differential term.Therefore,the new schemes may have a high time precision and may acquire a satisfactory effect in numerical tests.