等式约束病态模型的截断奇异值解及其统计性质

利用平差模型间合理的先验信息能够显著提高解的稳定性和精度。本文基于病态模型引入等式约束条件,并采用截断奇异值法重构了系数阵以削弱其病态性;建立了修正等式约束模型,导出了病态模型的约束截断奇异值解及其偏差、方差以及均方误差公式;分析了截掉奇异值所引起解的偏差引入量与方差下降量的关系,得到了确定截断参数的条件。数值算例和病态测边网算例分析结果表明,最小二乘解严重偏离真值,500次模拟实验的平均RMSE为6.693 5,正则化解和截断奇异值解精度较最小二乘解有所提高,平均RMSE分别为0.365 8和0.365 2;本文提出的约束截断奇异值解的精度最高,与约束正则化解精度相当,其平均RMSE仅为0.057 3。     

概率积分法预计参数解算的总体最小二乘岭估计法

将总体最小二乘平差方法应用于矿山开采沉陷概率积分法预计参数的解算,建立了概率积分法总体最小二乘平差模型,给出了非线性总体最小二乘平差的迭代算法。并以淮南矿区谢桥矿某工作面为例,考虑观测方程系数阵病态性的影响,分别采用最小二乘岭估计法和总体最小二乘岭估计法解算预计参数,计算表明,采用总体最小二乘岭估计法在解算预计参数时精度更高,且拟合参数的估值受到模型参数初值的影响。     

等式约束对病态问题的影响及约束正则化方法

有效利用参数间已知的等式约束信息能够提高最小二乘解的精度,消除秩亏,但是等式约束能否消除或减弱平差模型的病态性尚不明了,由此提出了一种通过消除部分参数将等式约束病态问题转化为无约束问题的方法。然后分析了等式约束对病态问题的影响,用简单实例证明了加入约束后,系统可能呈现良态或病态,它的性态由原设计阵和等式约束共同决定,并提出了求解等式约束病态问题的诊断-正则化两步方法。最后用一个数值实例验证了该方法的可行性。     

病态加权总体最小二乘模型的截断奇异值解法

利用截断奇异值解法处理了病态加权总体最小二乘模型,详细推导了参数的截断奇异值解及其偏差、方差以及均方误差公式,该算法无需迭代求解,易于实现。将截断奇异值解的均方误差与最小二乘解的方差进行比较,发现当奇异值由大到小依次变化时,截掉奇异值所造成的解的均方误差下降量的符号由负逐渐变正,由此导出了确定截断参数的公式。数值算例和病态测边网算例分析结果表明,受模型病态性的影响,最小二乘解和总体最小二乘解的精度较差;截断奇异值解能够有效地削弱模型的病态性同时又顾及了系数阵的误差,其解的精度最高。     

病态乘性误差模型的加权最小二乘正则化迭代解法及精度评定

针对乘性误差模型的病态问题,引入Tikhonov正则化方法,导出了病态乘性误差模型的加权最小二乘正则化解.顾及加权最小二乘正则化法在求解病态乘性误差模型时,参数估值与观测值之间存在复杂的非线性关系,本文利用一种无需求导、通过加权的方式便能够计算非线性函数的均值和均方误差阵的比例对称采样的无迹变换(scaled unscented transformation,SUT)法,对病态乘性误差模型进行精度评定.模拟算例和真实算例结果表明,本文提出的加权最小二乘正则化迭代解法可以有效减弱模型的病态性,基于SUT法的精度评定方法能够得到比已有方法更为合理的精度信息,具有较强的适用性.     

点云数据拟合的partial EIV稳健加权总体最小二乘方法

针对点云数据拟合模型的系数矩阵存在随机元素与非随机元素的情况,利用基于partial EIV模型的加权总体最小二乘方法进行求解;同时考虑到获取的点云数据存在异常点的情况,采用以3倍标准差为阈值剔除异常点。通过实际算例表明,顾及异常点的partial EIV稳健加权总体最小二乘方法与传统的方法相比,能够获得更为精确的参数解,拟合精度更好。     

多变量稳健总体最小二乘平差方法

分析指出了在总体最小二乘解下，含有多列独立变量的(以下简称为多变量)变量含误差(errors-invariables，EIV)模型，其各列变量的改正数受对应的参数估值与观测向量先验精度的联合影响，参数估值与观测向量先验精度的乘积越大，则该列变量的改正数越大。因此，现有稳健总体最小二乘方法采用同一个单位权中误差对多变量EIV模型进行降权处理时，会优先对模型中的某一列变量进行降权处理，从而造成平差结果不合理甚至错误，称之为虚假稳健估计现象。鉴于此，提出了多变量稳健总体最小二乘平差方法，并导出了相应的参数估计与精度评定公式。该方法对含有粗差的多变量EIV模型的各列独立变量分别进行降权处理，从而避免虚假稳健估计现象的发生。仿真算例结果表明，当观测值含有粗差时，该方法能够有效避免虚假稳健估计现象的发生，并能够定位出粗差所对应的误差方程；相较于总体最小二乘和稳健最小二乘方法，该方法的参数估计结果更接近真值。     

多元总体最小二乘问题的牛顿解法

为提高多元总体最小二乘问题参数估值的解算效率,推导了基于牛顿法的多元加权总体最小二乘算法;分析比较了基于牛顿法的多元加权总体最小二乘解和基于拉格朗日乘数法多元加权总体最小二乘解之间的关系,根据协因数传播律给出了多元总体最小二乘平差的16种协因数阵的近似计算公式。新算法能够解决观测矩阵和系数矩阵元素具有相关性的问题,并且可以把观测矩阵和系数矩阵的随机元素和常数元素纳入到一个协因数阵中进行处理。算例结果表明,本文提出的多元总体最小二乘问题的牛顿解法可行且收敛速度更快。     

病态加权总体最小二乘的广义岭估计解法

针对加权情形下的变量误差(EIV)模型,采用广义岭估计法处理总体最小二乘平差的病态性问题. 结合最优化准则和协方差传播率推导了未知参数的改正数求解公式;根据参数估计值的均方误差最小化原理,通过求偏导数列出广义岭估计中岭参数的迭代解式,并讨论了广义岭参数的含义和作用,给出了确定岭参数的L-曲线法. 通过算例比较分析了加权最小二乘估计、总体最小二乘估计、加权最小二乘岭估计、总体最小二乘岭估计、加权最小二乘的广义岭估计和总体最小二乘广义岭估计,叙述了加权总体最小二乘的广义岭估计的优缺点.      

结构总体最小二乘估计理论的拓展及其应用研究EI北大核心CSCD

具有随机系数矩阵的高斯-马尔可夫(GM)模型被称为变量误差(EIV)模型,在均方误差意义下,总体最小二乘(TLS)估计得到的EIV模型参数估值优于最小二乘(TLS)估计,这种状况已引起测绘领域的极大关注,并成为多年来的热点问题之一。     

Partial EIV模型的非负最小二乘方差分量估计

Partial Errors-in-Variables(Partial EIV)模型是EIV模型的扩展形式,权阵构造简单,当系数矩阵中存在非随机元素和随机元素时,Partial EIV模型的适用性更强。针对Partial EIV模型中随机模型不准确的情况,将系数矩阵和观测向量分别作为一类数据,本文在该模型的基础上,使用最小二乘方差分量估计方法,推导相关计算公式及迭代算法,分别估计出相应的方差分量估值。并对出现的负方差使用非负最小二乘理论,增加约束条件,对随机模型进行修正,得到更加合理的参数估值。试实验结果表明,本文的方法与其他方差分量估计方法等价。     

一种Partial EIV半参数模型的系统误差处理方法

在使用总体最小二乘求解参数时,若观测值中包含系统误差,此时得到的参数估值则会受到系统误差的影响,从而得到不可靠的解,因此必须削弱系统误差对参数估计的影响,以获得相对可靠的解。本文提出在partial errors-in-variables （Partial EIV）模型的基础上给观测值增加非参数部分（系统误差）,从而构建Partial EIV半参数模型;基于补偿最小二乘准则进行公式推导,并分别通过选取适当的正则化矩阵及通过L曲线法确定平滑因子。通过算例结果分析表明,与传统方法相比,本文的方法在一定程度上能够削弱系统误差的影响,得到更为可靠的参数解,从而验证了该方法的有效性和可行性。     

附加等式约束的病态模型谱修正迭代法

受法矩阵小奇异值的影响,病态模型的最小二乘估值极不可靠,常用的正则化法如Tikhonov正则化法、截断奇异值法等均为有偏估计,谱修正迭代法通过在法方程两端加上改正项纠正了方程的病态性,反复迭代得到了病态方程的稳定数值解,因其未改变方程的等式结构,因此是一种无偏估计。本文在一般谱修正迭代法的基础上引入等式约束,利用Lagrange乘数法导出了等式约束病态模型的谱修正迭代解,并通过数值算例验证了公式的有效性和可行性。     

加权整体最小二乘EIV模型与算法——与"加权整体最小二乘EIO模型与算法"一文的讨论

加权整体最小二乘方法是一种能同时顾及EIV（errors-in-variables）模型中系数矩阵和观测向量误差的参数估计方法。根据不同的应用场景，EIV模型则表现出不同的结构特征。"加权整体最小二乘EIO模型与算法"一文采用EIO模型处理EIV模型中的结构化问题^*。为了将其与现有方法进行对比，本文罗列出4种处理EIV模型结构特征的方法，并归纳了8种参数估计公式。同时从精度评定的角度讨论了整体最小二乘解的一阶及更高阶精度近似评定方法。需要强调的是，针对EIV模型及其参数估计理论可以从函数模型、随机模型和参数估计方法3个方面展开研究，但各方法殊途同归。     

附加一次和二次等式约束的Partial-EIV模型及相应算法

研究了附加一次和二次等式约束的Partial-EIV模型,推导了加权整体最小二乘估计准则下相应的计算公式,并讨论了仅附加一次等式约束的Partial-EIV模型和仅附加二次等式约束的Partial-EIV模型。通过正交线性回归和平面坐标转换两个算例进行实验,将新算法与已有的附加等式约束的EIV模型的方法进行了对比,发现文中方法计算效率更高,且适用于结构化EIV模型的求解。     

通用EIV平差模型及其加权整体最小二乘估计

以平差基本理论为基础,提出了EIV(errors-in-variables)平差模型的通用形式,涵盖了间接平差、条件平差、附有参数的条件平差及附有限制条件的间接平差等基本EIV模型形式。基于整体最小二乘估计准则,研究了通用EIV模型的加权整体最小二乘算法,并推导了估计结果的近似精度公式。通用EIV模型及其整体最小二乘算法是对EIV模型估计理论的进一步完善,统一的整体最小二乘算法有利于软件的编程实现,有助于推动EIV模型估计理论的应用。     

病态总体最小二乘问题的虚拟观测解法

提出基于虚拟观测的病态总体最小二乘问题岭估计解法,该方法将先验信息作为一项独立的虚拟观测量,作为约束条件与病态观测方程联立求解未知参数,推导了求解的具体公式和迭代算法,给出了虚拟观测法中确定准则子参数的岭迹法。算例比较分析了病态总体最小二乘虚拟观测法、总体最小二乘岭估计的L曲线法、普通总体最小二乘法和最小二乘法的结果,发现虚拟观测法在解决病态总体最小二乘问题时是非常有效的。     

EIV模型参数估计的新方法

提出了一种EIV(errors-in-variables)模型参数估计的新方法,即根据非线性最小二乘平差理论,并用构造结构矩阵的方法来顾及系数矩阵的重复元素和常数项,推导了其迭代算法和精度评定公式。新方法统一了总体最小二乘、加权总体最小二乘以及结构总体最小二乘三种算法,并给出了详细的解算步骤。新方法的推导过程及其迭代格式较为简单,易于程序实现。最后通过两个实例验证了本文方法的有效性和可行性。     

改进的约束总体最小二乘法

针对传统的约束最小二乘模型和总体最小二乘模型的局限性,该文提出了一种改进的约束总体最小二乘法。假设约束总体最小二乘问题中约束方程系数矩阵也存在误差,然后构造函数模型的广义拉格朗日函数,采用最小二乘法迭代求解非线性的法方程,最终获得了改进的约束总体最小二乘法的牛顿-高斯迭代公式和平差模型精度的无偏估计。该算法采用了更接近实际的平差模型,能够获得更加接近真值的估计参数,同时平差模型的精度更加接近模拟数据加入的噪声水平。实验结果表明,本文算法可有效解决对参数进行约束时的数据处理问题。     

火山形变Mogi模型反演的病态总体最小二乘解算方法

相对最小二乘方法,总体最小二乘顾及了观测方程系数矩阵含有误差的情况,然而,当系统出现病态时,总体最小二乘受病态的影响将更加明显。因此,针对病态总体最小二乘问题解算方法的研究越来越多受到关注。文中基于总体最小二乘进行火山形变Mogi模型反演,针对反演过程中出现的病态性问题,采用虚拟观测解法、谱修正迭代解法、共轭梯度解法,通过模拟算例验证文中方法在抑制病态性方面的有效性。与一般总体最小二乘、正则化总体最小二乘等方法相比存在优势。