Elimination des noeuds dans le probleme newtonien des quatre corps

Résumé Nous appliquons la méthode des transformations canoniques à variables imposées à la réduction du problème newtonien des quatre corps. L'élimination du centre de gravité étant supposée faite, le problème est ramené à celui des trois corps fictifs. Alors nous menons à bien la réduction dûe aux intégrales des aires explicitement sous forme Hamiltonienne en tenant compte de l'aspect géométrique d'élimination des noeuds préconisé par Jacobi.Nous nous imposons trois fonctions comme nouvelles variables: la troisième intégrale des aires et deux fonctions in variantes; ces deux dernières fonctions resteront nulles lorsque nous prendrons comme troisième axe de coordonnées l'axe défini par le moment cinétique des quatre corps; elles sont choisies en involution avec la troisième intégrale des aires et de crochet un entre elles. Cela nous conduit à déterminer un système de quatorze variables canoniques que nous interprétons géométriquement. Il y a effectivement élimination des moeuds: il s'introduit un pseudo-noeud commun aux deuxième et troisième corps fictifs qui concide avec le noeud du premier corps fictif; ces noeud et pseudo-noeud sont repérés par un paramètre ignorable.

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Elimination of nodes in the Newtonian four-body problem

We apply the method of canonical trasformations with imposed variables to the reduction of the Newtonian four-body problem. After the elimination of the center of gravity, the problem is reduced to that of three fictitious bodies. Then we proceed to the actual reduction using the integrals of angular momentum, in Hamiltonian formulation, and considering the geometrical aspects of the elimination of the nodes advocated by Jacobi.We impose three functions as new variables: the third integral of angular momentum and two invariant functions; these last two functions will remain null when we take as third coordinate axis the axis, defined by the momentum vector of the four bodies; they are chosen in involution with the third integral of momentum and so that their Poisson bracket is equal to one. Then we determine a system of fourteen canonical variables which have a simple geometrical interpretation. It is an actual elimination of the nodes: a pseudonode for the second and third fictitious bodies is introduced which coincides with the node of the first fictitious body; the node and the pseudo-node are referred to by an ignorable parameter.