The swinging spring — Approximate analyses for low and very high energy,II

The two families of periodic solutions emanating from the lower equilibrium of a planar spring-pendulum system are analyzed both at and near resonance. Hamiltonian perturbation theory is used to obtain approximate formulas for the characteristic and the period of the motion. As the energy is increased to very high levels, a circulatory and an almost rectilinear periodic motion persist. Expressions for the trace of a stability matrix are determined for both these solutions. Comparisons are made throughout with accurate results from numerical integration.

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Résumé Les deux familles de solutions périodiques qui proviennent de l'équilibre inférieur d'un pendule élastique plan sont analysées pour le cas de résonnance et dans le voisinage de résonnance. On emploie la théorie perturbatrice Hamiltonienne pour obtenir des formules d'approximation pour la caractéristique et pour la période du mouvement. Quand l'énergie est augmentée à des niveaux très élevés, un mouvement périodique circulatoire et un mouvement périodique presque rectiligne sont préservés. Des expressions pour la trace d'une matrice de stabilité sont déterminées pour les deux familles de solutions périodiques. Des comparaisons sont faites entre les formules d'approximation et des résultats précis obtenus par l'integration numérique.