ALFs标准按列/行递推公式的适用性（英文）

完全规格化的缔合勒让德函数（fnALFs）是一组正交的基函数。通常利用所谓的递推公式进行计算。本文基于分离奇异因子方法和扩充数域方法,给出了标准向前按列/行递推公式的适用性和普适性。分离奇异因子方法,在一定程度上,提升标准向前按行递推公式的普适性,其普适性可达到几百阶,但该方法对标准向前按列递推公式无效。扩充数域方法就是将双精度数域运算扩展到4精度数域。由于4精度数在运算过程中能够保留更多的有效数字,且能够表达更大和更小的数,因此扩充数域方法可显著提升标准向前按列/行递推公式的普适性和适用性,其普适性可达到几千阶。但是4精度运算需要占据更多存储空间,因此运算速度很慢,在实际应用中并不可取。本文首次将X-数方法引入到标准向前按行递推公式,基于X-数方法,利用标准向前按列/行递推公式都可将fnALFs递推至42亿阶。     

缔合勒让德函数的列式递推公式

围绕完全规格化缔合勒让德函数(fully normalized associated legendre functions, fnALFs)的计算精度和稳定性问题,以及常用的列式递推公式的适用性问题,基于勒让德函数的原理性公式给出4种类型的列式递推公式。研究表明,Belikov的列式递推公式间接算法的普适性仅约3 100阶,而完全规格化后直接算法的普适性约为15 000阶。在所有的列式递推公式中,Belikov公式最优。列式递推公式中的系数越小,溢出现象出现得越慢,递推阶次越高,递推公式越优良。     

勒让德方程的解北大核心CSCD

勒让德方程两个线性无关的解,分别称为第一类和第二类勒让德函数。在微分方程取本征值情况下,第一类勒让德函数中断为多项式,因此自变量可取任意值(无穷大除外);第二类勒让德函数仍然为无穷级数,当自变量等于±1时发散,绝对值大于1时收敛。由于勒让德方程属于超比方程类型,给出此类型方程不同特殊函数的任意阶导数表达式。在此基础上直接给出第一类勒让德函数的超比表达式,及其与其他特殊函数的理论关系;鉴于求解第二类勒让德函数的复杂性,利用级数展开方法,直接给出第二类勒让德函数的超比表达式。