Sur les solutions particulières du problème généralisé des trois corps solides

Résumé Il est envisagé dans ce travail le problème généralisé du mouvement translatoire-rotatoire des trois corps solides.Il est supposé que chaque particule élémentaire du chacun corps agit sur chaque particule d'autre corps par une force (d'attraction ou de répulsion), dirigée suivant la droite, passante par ces deux particules. Cette force est proportionnele à produit des masses des deux particules et à une certaine fonction du temps, de la distance mutuelle et des ses dérivées première et seconde.On ne suppose pas, que le troisième axiome de la dynamique Newtonienne a lieu, de sorte que notre système des trois corps se trouve sous l'influence des six forces distinctes.Les équations fondamentales du mouvement translatoire-rotatoire des trois corps solides n'admettent pas, en général, des intégrales premières classiques.Nous avons établie auparavant les conditions à laquelles doivent satisfaire les corps pour que le problème posé admettra lesmouvements plans, c'est-à-dire les tels mouvements quand les centres des masses des trois corps restent toujours dans un plan invariable et chaque corps est assujetti à tourner autour d'axe, qui est perpendiculaire à ce plan invariable.Il est établie, que le problème admet ces mouvements plans au cas où chaque des trois corps possède d'une symétrie dynamique et géométrique par rapport d'un plan, passant par le centre des masses. Il est étudie plus loin la question d'existence des tels mouvements plans dans lequels les centres des masses des trois corps forment toujours un triangle équilateral (solution Lagrangienne), ou restent toujours sur une ligne droite (solution Eulerienne). Il est montré, que ces mouvements peuvent exister au cas où chaque des trois corps possède, outre la symétrie par rapport d'un plan, encore d'une symétrie dynamique et géométrique par rapport d'un axe, perpendiculaire à plan de la symétrie.Dans ces solutions chaque corps tourne uniformément autour cet axe avec vitesse angulaire, indépendante des paramètres des mouvements orbitaux des centres des masses.Sont obtenues les conditions à laquelles doivent satisfaire les lois des forces actives et les caractéristiques de structure des corps pour que ces mouvements Lagrangiennes et Euleriennes pourront être exister.On donne les exemples. Il est envisagé, en particulier, le cas où chaque corps est une sphère avec la distribution sphérique de la densité, et les particules élémentaires s'exercent mutuellement par les lois du Newton-Coulont (d'attraction ou de répulsion), avec les coefficients de la proportionnalité dépendant du temps. Alors, les solutions Lagrangiennes peuvent exister au cas seulement où chaque corps agit sur les deux autres par le même loi.Les solutions Euleriennes peuvent exister au cas seulement où les coefficients sont des constantes, ou bien sont les produits de celles constantes par une fonction unique du temps.Les résultats analogues sont établies pour les corps arbitraires, possèdant la symétrie axiale, dont les particules élémentaires s'exercent aussi par les lois du Newton-Coulont.Remarquons maintenant, que les résultats exposés dans ce travail montrent que les solutions célèbres du Lagrange et Euler dans le problème classique des trois points matériels, s'attirant mutuellement selon loi du Newton, existent aussi dans le problème des trois corps solides avec les suppositions les plus générales pour les forces actives. De cette façon il est établie, que ces mouvements classiques, ayant d'une grande importance pour la mécanique céleste contemporaine, possédent d'une stabilité d'un genre singulier remarquable.En effet, les configurations triangulaires et rectilignes des trois corps peuvent se conserver indéfiniment avec les changements différents des lois des forces actives, aussi qu'avec les changements divers des structures des corps solides en mouvement (dans cértaines conditions aussi pour les corps fluides).D'un autre côté, les résultats obtenus ont, comme il semble à l'auteur de ce travail, non seulement l'intérèt purement théorique, mais peuvent avoir aussi les applications dans les problèms concrets du mouvement des corps célestes dans les domaines très éloignés d'espace cosmique.En effet, il parait indubitable, que dans les divers domaines d'univers et dans les divers systèmes cosmiques, peuvent avoir lieu les actions mutuelles très différentes, qui peuvent en outre se changer avec le temps.La loi d'attraction universelle du Newton, qui est probablement assez suffisante pour notre système solaire, est sans doute une approximation grossière et douteuse seulement des lois réelles de la Nature.

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In the present paper, the generalized problem of translatory-rotatory motion of three rigid bodies, whose elementary particles act upon each other according to arbitrary laws of forces along the straight line joining them, is discussed.Author has shown that this problem admits particular solutions, analogous to the classic solutions of Lagrange and Euler, when each body possesses axial symmetry. In these solutions the centres of mass of the three bodies form an equilateral triangle (Lagrangian solutions) or remain always on a straight line (Eulerian solutions). Each body turns uniformly around its axis of symmetry, which remains always perpendicular to the plane of motion of centres of mass.

     

Cas special du probleme restreint des plusieurs corps

Résumé Nous considerons ici un cas particulier du problème restreint des n+1 corps. Les n points matériels actifs des masses unitaires sont situés dans les sommets d'un polygone équilatéral, qui tourne uniformément autour son centre. Ces n corps agissent sur un point matériel passif par une loi quelconque. On trouve les points de libration correspondants et on recherche le problème de la stabilité de ces points au sense de Liapounov.

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In this paper we consider the some special case of restricted multi-body problem.

     

Sur la stabilité des points d'équilibre triangulaires dans le problème restreint elliptique

Résumé La stabilité du mouvement d'un petit corps au voisinage des points triangulaires dans le problème restreint elliptique est discutée. Les courbes de stabilité dans le plan (,e) sont obtenues jusqu'au quatrième ordre ene par la méthode du prolongement analytique. Les coefficients des séries obtenues sont donnés de façon exacte. Ensuite, les exposants caractéristiques du système des équations aux variations sont obtenus par un procédé d'intégration matricielle.     

Theorie analytique programmee de la libration physique de la lune

Résumé La rotation de la Lune autour de son centre de gravité est traitée par une méthode analytique, en tenant compte de son mouvement orbital. On développe une théorie Hamiltonienne en utilisant les variables d'Andoyer et l'on démontre que les écarts, purement périodiques, à trois relations de résonances similaires aux lois de Cassini, sont les variables canoniques du problème. Le potentiel est exprimé dans ces nouvelles coordonnées et l'Hamiltonien est développé jusqu'au deuxième degré en les petites variables. Un système d'équations donne le vrai centre de libration qu'on trouve proche du centre défini par les lois de Cassini. Un second système, résolu par un processus d'iterations, donne les séries de la libration, analytiques par rapport aux constantes du potentiel de la Lune et trigonométriques en les arguments de Delaunay. La question de convergence est brièvement abordée, mais sans démonstration.

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The rotation of the Moon about its center of mass, taking into account the orbital motion, is treated analytically. A Hamiltonian theory is developed in terms of the Andoyer variables. The periodic parts of departures from three resonances, equivalent to Cassini's laws, are found to be the canonical variables of the problem. The potential is expressed as a function of these new coordinates and the whole Hamiltonian is developed to the second degree in these small variables. One system of equations gives the real center of libration which is found to be near the center defined by Cassini's laws. A second system solved by iterations, gives the libration as analytical series in the constants of the Moon's potential, and trigonometric series in Delaunay arguments. The question of convergence is briefly exposed without any demonstration.

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Ce travail a été soutenu par une bourse du Centre National d'Etudes Spatiales.     

Sur les mouvements réguliers des satellites

Résumé Il est envisagé dans ce travail le problème du mouvement translatoire-rotatoire d'un corps solide invariable dans le champ centrale de la gravitation Newtonienne. Il est établie auparavaat la forme générale du développement de la fonction des forces du problème et il est marqué ses propriétés remarquables. Nous abordons ensuite l'étude des mouvements, nommés reguliers, dans lesquels le centre des masses du corps décrit une orbite circulaire Keplerienne, tandis que le corps lui-même conserve une orientation invariable par rapport à cette orbite.Il est démontré, que ces mouvements peut admettre seulement le corps possedant la symétrie axiale dynamique. Nous distinguons les trois types différents des mouvements réguliers, dont nous nommons par flotte, flèche et rais.Il existenr encore quelques cas intermédiaires.     

Cas spécials du problème des deux corps solides

Resume Il est envisagé dans ce travail deux cas spécials du problème du mouvement translatoire-rotatoire des deux corps solides. Dans le premier cas les particules élémentaires des deux corps quelconques s' agissent par la force, proportionnele au premier degré de la distance mutuelle. Dans le second cas les particules élémentaires des deux sphéres, possedant la structure sphérique, s'agissent par la force, proportionnele a quelque degré de la distance. Dans l'un et l'autre cas le mouvement translatoire ne dépend du mouvement rotatoire et les équations differentielles correspondantes s'intégrent par les quadratures.

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Special cases in the problem of two rigid bodies

In the present paper two special cases in the problem of two rigid bodies is examined. In the first case two arbitrary bodies interact with forcee, proportional to first degree of distance. In the second case two spheres interact with force, proportional to some degree of distance. In the both cases the translatory motion not depend from the rotatory motion and the differential equations integrate by quadratures.

     

Deuxieme cas special du problème restraint des plusieurs corps (second special case of the restrictedn-body problem)

Resumé Nous envisagons ici le problème du mouvement d'une masse passive sous l'action den masses actives, qui restent toujours sur une droite qui tourne uniformement autour du leurs baricentre.Décédé le 20.10.1986.     

Problème restreint des trois corps appliqué à un gyrostat

Résumé On étudie le mouvement d'un corpsS ₃ supposé non ponctuel, attiré par deux corps sphériques homogènes dont les masses sont prépondérantes vis à vis de la masse deS ₃. Le corpsS ₃ est muni de rotors et on recherche les cas d'équilibres apparents de ce corps lorsque son centre d'inertie occupe l'une des positions de LagrangeL ₁, ...,L ₅ du cas ponctuel. Des conditions suffisantes de stabilité de certaines solutions particulières sont obtenues.

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This paper is concerned with an extension of the classical restricted problem of three bodies when the smallest body is not considered to be a point mass. We assume that the smallest body consists of a solid hub and symetric rotors rotating at constant relative angular velocities. The mass center of the gyrostat satellite is presumed to occupy one of five librations pointsL ₁, ...,L ₅ of the classical restricted problem of three bodies. Assuming that the gyrostatic moment can have arbitrary constant values, we find the set of positions of relative equilibrium of the gyrostat satellite. We then proceed to define the domains of stability and instability.

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Un sujet proche du problème traité ici a été étudié par V. V. Rumyantsev (1974b).     

Proprietes Geometriques des Equations d'Euler-Poisson du Corps Solide a Point Fixe

Introduction et résumé Le problème de la réduction à l'ordre deux des équations d'Euler-Poisson par les 3 intégrales premières classiques a été étudié par Leimanis en 1971. Dans cet article on se propose de reprendre ce problème d'un point de vue géométrique. On étudie systématiquement les propriétés géométriques des équations d'Euler-Poisson du mouvement du corps solide pesant à point fixe dans deux cas. Dans le premier cas, le corps solide est muni d'un moment gyrostatique constant par rapport à lui-même. On montre ici que la réduction des équations d'Euler-Poisson nous ramène aux trois équations d'Euler initiales avec une structure présymplectique, ceci grâce à la présence d'une forme invariante de volume. D'autres conséquences géométriques sont signalées.Dans le deuxième cas, on supprime le moment gyrostatique. On remarque alors une propriété supplémentaire par rapport au cas précédent: la présence d'une transformation infinitésimale dûe à l'homogénéité des équations. La réduction des équations peut s'effectuer d'une infinité de manières alors qu'elle était unique dans le premier cas. Ceci est illustré par le cas intégrable de la toupie symétrique où l'on met en évidence, de façon originale, les deux quadratures nécessaires.

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Geometrical properties of the Euler Poisson's equations of a heavy rigid body about a fixed point

In this paper, we study the geometrical properties of the Euler Poisson's equations of the motion of a heavy rigid body about a fixed point. Two cases are studied. In the first on the rigid body has a gyrostatic moment, constant with respect to itself. It is shown, from the reduction of Euler Poisson's equations, we that we have a presymplectic structure for the initial Euler's equations, and this fact being due to the existence of an invariant volume. Other geometrical consequences are obtained.Secondly the rigid body is considered without its gyrostatic moment. We have here a new property which is the existence of an infinitesimal transformation, due to the homogeneity of the equations. Here the reduction of the equation can be made by an infinity of ways, when it was unique precedently. This study is illustrated by the integrable case of the symetrical top.

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Paper presented at the 1981 Oberwolfach Conference on Mathematical Methods in Celestial Mechanics.     

Singularite du probleme de Störmer (Singularity of Störmer's problem)

Résumé Dans un précédent travail (Eschbach, 1979, 1980, 1982), j'ai généralisé les changements de variables employés par McGehee (1974) dans l'étude de la collision triple. Le propos de cet article est d'employer les mêmes techniques pour le problème de Störmer: mouvement d'une particule chargée soumise à l'influence d'un dipôle magnétique.

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In previous papers (Eschbach, 1979, 1980, 1982). I generalised the change of variables used by McGehee in the study of the triple collision. The object of this paper is to use the same technique for Störmer's problem, which studies the motion of a charged particle under the influence of a magnetic dipole.

     

Sur l'existence de certaines configurations d'equilibre relatif dans le probleme desN corps

Résumé On sait que les positions d'équilibre relatif dans le problème des trois corps, où les corps se trouvent aux sommets d'un triangle équilatéral, existent lorsque les masses sont quelconques; tandis que pourn=4 (voir [3]) et pourn=5 (voir [4]), les positions d'équilibre relatifs, où les corps se trouvent aux sommets d'un polygone régulier de n cotés, existent seulement si les masses sont égales. L'objet de cet article est de montrer que ce dernier résultat est vrai pour toutn4.

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It is known that in the three body problem, the equilateral configuration of relative equilibrium exists for all values of masses, while in then-body problem, forn=4 (see [3]) andn=5 (see [4]), the position of relative equilibrium where the bodies are at the vertices of a regular polygon withn sides, exists only if the masses are equal.We prove in this paper, that this last result is true for alln4.

     

Etude d'une solution de la theorie litterale du probleme principal du mouvement de la Lune convergence formelle

Résumé Dans l'exposé qui va suivre, nous rappelons d'abord le système d'équations et le mode d'intégration que nous avons utilisés pour construire une théorie littérale du problème principal du mouvement de la Lune. En particulier, puisque, du fait de la présence des petits diviseurs, nous avons à effectuer plusieurs itérations à un ordre donné, pour obtenir tous les termes correspondant à cet ordre, nous allons étudier un système d'équations réduit qui se substitue au système complet, après la première intégration à un ordre donné. Ce système permet d'alléger au maximum les calculs.Nous étudions alors la convergence formelle de la solution littérale obtenue. Cette démonstration est faite par récurrence. Au cours de celle-ci, nous avons utilisé les propriétés du système d'équations réduit (C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10, C11, et C12), système dont nous donnons dans les tableaux I à IV, les coefficients et les arguments. L'étude de l'ordre des termes engendrés par ce système nous permet de conclure que, si l'on connaît tous les termes d'ordren–1 alors on peut déterminer tous les termes d'ordren.Enfin, nous indiquons les résultats que nous avons actuellement obtenus par cette méthode.

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In this paper, we first recall the set of equations and the method of integration for a literal solution of the main problem of the lunar theory. As, owing to small divisors, we have to make many iterations at a given order to obtain all the corresponding terms, we study a restricted set of equations which replaces the complete system after the first integration at a given order. This set helps to make the calculations less bulky.Then we study the formal convergence of the literal solution thus obtained. The demonstration uses a recurrent process in which we made use of the properties of the restricted system of equations (C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10, C11 and C12), the coefficients and arguments of which are given in Tables I to IV.The study of the order of magnitude of the terms formed by this system leads to the conclusion that if then–1 order terms are known, all then-order terms may be determined.In the end, we show the results obtained so far with this method.

     

Sur une reduction des equations du mouvement du probleme des 3 corps

Résumé Dans cet article nous étudions, dans un premier temps, la réduction des équations du mouvement du problème plan des 3 corps en introduisant le groupe des similitudes planes dans la 1-forme de Poincaré. Ceci permet de dégager le cas des trajectoires de moment cinétique nul et d'énergie nulle. Nous envisageons ensuite la réduction du problème dans l'espace en établissant un lien remarquable avec le problème plan.

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In this article we first of all study the reduction of the equations of movement of the planar three body problem through the introduction of the group of similitude in Poincare's 1-form. This brings out the case of trajectories with zero angular momentum and zero energy. We then consider the reduction of the problem in space by establishing a remarkable link with the planar problem.

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Proceedings of the Sixth Conference on Mathematical methods in Celestial Mechanics held at Oberwolfach (West Germany) from 14 to 19 August, 1978.     

On the ejection solutions in a central force field

In this paper we consider the problem concerning the reduction of the two-body motion to that of a single particle in a central field. As a force function we takeU(r)=r ^–, where is some positive real number. Making use of the variational equations we study the ejection solutions of the differential equations of motion.

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Resumé Nous considérons dans cet article le problème concernant la réduction du mouvement de deux corps à celui d'une particule dans un champ de forces central. Comme fonction de forces nous prenonsU(r)=r ^–; où est un réel positif. Nous étudions à l'aide des équations aux variations les solutions d'éjection des équations du mouvement.

     

Transformation invariante du problème des deux corps associée à l'excentricité

Dans un système d'axes fixes le problème gravitationnel des n. corps possède quatre groupes d'invariance (rectifications). Aucun de ces groupes ne peut échanger une solution non bornée et une solution bornée.Dans le cas du problème non circulaire et non rectilinéaire des deux corps, une transformation paramétrique peut-être définie, changeant seulement l'exentricité et l'horaire. Cette transformation est de type homographique et son expression anlytique dépend des valeurs de l'exentricité par rapport à l'unité. Par conséquent, une solution hyperbolique ou parabolique peut-être changée en une solution elliptique. Les applications et l'utilité d'une telle transformation concerne les captures des comètes. Finalement, une hypothétique extension est indiquée pour le problème des n. corps.

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Invariant transformation of the two-body problem associated with eccentricity

In an absolute reference frame the gravitational n-body problem possesses four groups of invariant transformations (rectifications). But no one can change an unbounded solution into a bounded solution.For the non-circular two-body problem, having non-zero angular momentum a parametric transformation may be defined changing only the eccentricity and the time. This transformation is of homographic type, and it is an analytical expression depends on the value of the eccentricity with respect to unity. Therefore an hyperbolic or parabolic solution may be changed into an elliptic solution. The application and usefulness of this transformation is concerned with the capture of comets [5].Finally, an hypothetic extension is indicated to the n-body problem.

     

Sur une generalisation des equations lagrangiennes permettant une extension de la transformation KS

Résumé Cet arricle est composé de deux parties, l'une établie par M. Langlois, l'autre par Mme Losco. La première partie est consacrée à l'étude des équations de Poincaré qui sont les équations de Lagrange du mouvement lorsqu'on introduit des pseudo-paramètres. Une application de ces équations est intéressante à envisager lorsque l'on mélange coordonnées et pseudo-paramètres et que les coordonnées sont ignorables dans le lagrangien. On établit alors un théorème de réduction des équations du mouvement par des relations invariantes. La transformation KS entre dans ce cadre. La seconde partie concerne la construction de matrices généralisant KS. Ce sont des matrices dont les premières lignes définissent des variablesQ , les dernières lignes des pseudo-paramètres et pour lesquelles on peut appliquer le théoreme de réduction établi précédemment.Le mouvement général du corps solide dansR ⁿ permet une construction de telles matrices, de même que KS est associée à une rotation deR ⁿ.

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This paper is composed of two parts, the first one established by M. Langlois, the other one by L. Losco. First a study of Poincaré's equations is made, which are Lagrangian equations where use is made of some quasi-coordinates. One application of these equations is very interesting when some coordinates are ignorable in the Lagrangian. A theorem of reduction is obtained with invariant relations. KS is of this kind. Then matrices are constructed which generalize KS. There are matrices of coordinates and quasi-coordinates, which allow application of the theorem of reduction previously obtained. The general motion, helicoidal motion, of a rigid body inR ⁿ-space allows to obtain such matrices, just as KS corresponds to a rotation inR ⁴.Some results have been briefly published in two notes mentioned at the end.

     

Cosmologie,systemes d'unites et theorie de Weyl

Sommaire Nous considérons ici le problème du changement d'unités en physique au moyen de la théorie des groupes. Nous proposons une définition du changement d'unités fondée sur l'existence de trajectoires de groupe dans la variété. Les applications de cette méthode permettent de comprendre pourquoi les systèmes d'unités gravitationnel et atomique, bien que calqués sur le même modèle, restent cependant indépendants. Le mélange de plusieurs systèmes d'unités, comme par exemple l'interprétation de résultats optiques au moyen de mesures atomiques, conduit à l'échelle cosmologique à des décalages spectraux, et pourrait être à l'origine de certains décalages spectraux anormaux. L'utilisation des espaces de Weyl intégrables apparaît comme naturelle dans cette théorie: les coefficients _j de la forme linéaire fondamentale qui définit ces espaces résultent du groupe d'invariance considéré. Le choix du lagrangien apparaît comme un choix d'unités et permet de comprendre comment une constante, universelle dans un système d'unités, peut devenir fonction du temps par exemple dans un autre système.     

Sur la stabilite de certains mouvements particuliers d'un satellite artificiel de la terre soumis aux efforts aerodynamiques

L'auteur considère le mouvement d'un satellite artificiel de la terre évoluant suffisamment près de celle-ci pour qu'on ait à tenir compte des efforts aérodynamiques et en admettant que l'air est un fluide parfait incompressible en mouvement irrotationnel.Il met le problème en équations et, dans le cas d'un satellite de révolution, démontre l'existence de mouvements particuliers où le centre de gravité du satellite a un mouvement circulaire uniforme le satellite tournant uniformément autour de son axe perpendiculaire au plan du cercle. Il donne des conditions suffisantes de stabilité et d'instabilité de ces mouvements au moyen de la méthode de Liapounoff.

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The author considers the motion of an artificial satellite of the Earth revolving sufficiently near it so that the aerodynamic forces can be taken into account. It is supposed that air is a perfect incompressible fluid in irrotational motion.The problem is posed in the form of equations and proves the existence of particular motions in the case of a satellite of revolution when the centre of gravity of the satellite has uniform circular motion, the satellite revolving uniformly around its axis, perpendicular to the plan of the circle.Sufficient conditions for stability and instability of particular motions are given by the method of Liapunov.

     

The contact transformation groups of the Extended Hamiltonian System

The 1-parameter transformation groups (otherwise known as infinitesimal transformations) admitted by a system of differential equations are fundamental to the study of its properties. In this paper we first of all consider 1-parameter groups of contact transformations. Then, by generalizing Noether's theorem, we show how they are fundamental to what I call the Extended Hamiltonian System. Finally, this is illustrated by the extendedN-Body problem.

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Resume Les groupes de transformations à 1 paramètre (appelés aussi transformations infinitésimales) admis par un systeme d'équations différentielles sont fondamentaux dans l'étude de ses propriétés. Dans cet article, nous considérons d'abord les groupes à 1 paramètre de transformations de contact. Ensuite, par la généralisation du théorème de Noether, nous montrons qu'ils sont fondamentaux dans l'étude de ce que j'appelle le Système Hamiltonien Etendu. Enfin ceci est illustré par le problème étendu desN-Corps.

     

Elimination des noeuds dans le probleme newtonien des quatre corps

Résumé Nous appliquons la méthode des transformations canoniques à variables imposées à la réduction du problème newtonien des quatre corps. L'élimination du centre de gravité étant supposée faite, le problème est ramené à celui des trois corps fictifs. Alors nous menons à bien la réduction dûe aux intégrales des aires explicitement sous forme Hamiltonienne en tenant compte de l'aspect géométrique d'élimination des noeuds préconisé par Jacobi.Nous nous imposons trois fonctions comme nouvelles variables: la troisième intégrale des aires et deux fonctions in variantes; ces deux dernières fonctions resteront nulles lorsque nous prendrons comme troisième axe de coordonnées l'axe défini par le moment cinétique des quatre corps; elles sont choisies en involution avec la troisième intégrale des aires et de crochet un entre elles. Cela nous conduit à déterminer un système de quatorze variables canoniques que nous interprétons géométriquement. Il y a effectivement élimination des moeuds: il s'introduit un pseudo-noeud commun aux deuxième et troisième corps fictifs qui concide avec le noeud du premier corps fictif; ces noeud et pseudo-noeud sont repérés par un paramètre ignorable.

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Elimination of nodes in the Newtonian four-body problem

We apply the method of canonical trasformations with imposed variables to the reduction of the Newtonian four-body problem. After the elimination of the center of gravity, the problem is reduced to that of three fictitious bodies. Then we proceed to the actual reduction using the integrals of angular momentum, in Hamiltonian formulation, and considering the geometrical aspects of the elimination of the nodes advocated by Jacobi.We impose three functions as new variables: the third integral of angular momentum and two invariant functions; these last two functions will remain null when we take as third coordinate axis the axis, defined by the momentum vector of the four bodies; they are chosen in involution with the third integral of momentum and so that their Poisson bracket is equal to one. Then we determine a system of fourteen canonical variables which have a simple geometrical interpretation. It is an actual elimination of the nodes: a pseudonode for the second and third fictitious bodies is introduced which coincides with the node of the first fictitious body; the node and the pseudo-node are referred to by an ignorable parameter.