Sur une etude de stabilite par analogie avec la collision triple

Résumé Dans cet article on a adapté les méthodes d'étude de la collision triple et de son voisinage au problème de la stabilité d'une position d'équilibre d'un lagrangienL = (x ² +y ²)/2 +U oùU est un polynôme homogène de degrék, le cask=3 étant tout particulièrement développé. On met en évidence des configurations centrales, des solutions par homothétie d'énergie nulle et on étudiera leur voisinage [3, 4].

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In this paper, we apply the methods of study of the triple collision and its neighbourhood to the problem of stability of the equilibrium ofL = (x ² +y ²)/2 +U, whereU is homogeneous. The case ofU of degree 3 is especially studied. We investigate the central configurations and homothetical solutions with zero energy and we study their neighbourhood.

     

Etude de la collision triple

Résumé Ce sont principalement les investigations de Cartan, Madame Losco et Mac Gehee qui ont inspiré le travail qui suit. Un changement de variables simple et spécialement adapté au problème de la collision triple conduit de façon naturelle à une étude directe et intuitive du phénomène.

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This work paper has been mainly inspired by the investigations of Cartan, Madame Losco and McGehee. A simple change of variables that is especially adapted to the problem of triple collision leads in a natural way to a direct and intuitive study of the phenomenon.

     

Nouvelle etude de la collision triple alignee

Résumé Dans l'article relatif à mon cours de Cortina [1] j'ai indiqué qu'il existe une séparation remarquable des variables pour le problème desn corps. Prenant un repèreR lié auxn corps en position et grandeur on peut étudier le mouvement dansR puis compléter par quadratures. J'ai appliqué cette méthode à la collision triple alignée: je montre que dansR la solution par homothétie parabolique est une position d'équilibre atteinte asymtotiquement: deux mises en équations sont proposées, l'une liée à l'énergie cinétique, l'autre à l'énergie potentielle.

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This paper follows my course offered at Cortina [1]. Here I discuss two differential systems of the motion of aligned triple collision, in a new space (Q, P), obtained by a variable homothesis, consequence of the homogeneity of the Newtonian attraction. For the first one the homothesis is connected with the potential energy, for the other one it is connected with the kinetic energy. In this space the singular parabolic solution, by homothesis, is represented by two equilibral points, asymptotically approached during the two phases of contraction and expansion.

     

Modele de champ magnetique fossile dans les nebuleuses planetaires

Résumé Jusqu'à présent, le champ magnétique dans les nébuleuses planétaires n'a été l'objet que de quelques rares études assez sommaires (Terzian, 1982) et son origine reste confuse.Des modèles ont été construits, mais la liaison entre le champ magnétique de l'étoile centrale et celui qui est, semble-t-il, associé à la nébuleuse n'est pas claire (Gurzadyan, 1970). Cependant, nous montrons ici qu'un lien direct peut être établi en considérant le transport des lignes du champ magnétique stellaire par la matière qui a été éjectée de l'étoile centrale.Ainsi, connaissant l'ordre de grandeur du champ magnétique régnant au voisinage de la nébuleuse, on peut en déduire une valeur approximative au voisinage de l'étoile ou inversement.

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A model of fossil magnetic field within planetary nebulae shells

Up to now, only a few studies have been made of the magnetic field in Planetary Nebulae (Terzian, 1982) The existence of such a field is suggested by the typical structure of some nebulae (NGC 650-1, NGC 7293, etc.). However, its origin remains unknown, although some models have been built (Gurzadyan, 1970). The connection between the magnetic field of the central star and the nebular shell is not yet elucidated. The aim of this paper is to point out a possible removal magnetic field line within the ejected shell. Such a field is able to maintain a relative stability of secondary structures in planetary nebulae (Louise, 1981, 1982).

     

Singularite du probleme de Störmer (Singularity of Störmer's problem)

Résumé Dans un précédent travail (Eschbach, 1979, 1980, 1982), j'ai généralisé les changements de variables employés par McGehee (1974) dans l'étude de la collision triple. Le propos de cet article est d'employer les mêmes techniques pour le problème de Störmer: mouvement d'une particule chargée soumise à l'influence d'un dipôle magnétique.

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In previous papers (Eschbach, 1979, 1980, 1982). I generalised the change of variables used by McGehee in the study of the triple collision. The object of this paper is to use the same technique for Störmer's problem, which studies the motion of a charged particle under the influence of a magnetic dipole.

     

Cosmologie,systemes d'unites et theorie de Weyl

Sommaire Nous considérons ici le problème du changement d'unités en physique au moyen de la théorie des groupes. Nous proposons une définition du changement d'unités fondée sur l'existence de trajectoires de groupe dans la variété. Les applications de cette méthode permettent de comprendre pourquoi les systèmes d'unités gravitationnel et atomique, bien que calqués sur le même modèle, restent cependant indépendants. Le mélange de plusieurs systèmes d'unités, comme par exemple l'interprétation de résultats optiques au moyen de mesures atomiques, conduit à l'échelle cosmologique à des décalages spectraux, et pourrait être à l'origine de certains décalages spectraux anormaux. L'utilisation des espaces de Weyl intégrables apparaît comme naturelle dans cette théorie: les coefficients _j de la forme linéaire fondamentale qui définit ces espaces résultent du groupe d'invariance considéré. Le choix du lagrangien apparaît comme un choix d'unités et permet de comprendre comment une constante, universelle dans un système d'unités, peut devenir fonction du temps par exemple dans un autre système.     

Sur la stabilite de certains mouvements particuliers d'un satellite artificiel de la terre soumis aux efforts aerodynamiques

L'auteur considère le mouvement d'un satellite artificiel de la terre évoluant suffisamment près de celle-ci pour qu'on ait à tenir compte des efforts aérodynamiques et en admettant que l'air est un fluide parfait incompressible en mouvement irrotationnel.Il met le problème en équations et, dans le cas d'un satellite de révolution, démontre l'existence de mouvements particuliers où le centre de gravité du satellite a un mouvement circulaire uniforme le satellite tournant uniformément autour de son axe perpendiculaire au plan du cercle. Il donne des conditions suffisantes de stabilité et d'instabilité de ces mouvements au moyen de la méthode de Liapounoff.

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The author considers the motion of an artificial satellite of the Earth revolving sufficiently near it so that the aerodynamic forces can be taken into account. It is supposed that air is a perfect incompressible fluid in irrotational motion.The problem is posed in the form of equations and proves the existence of particular motions in the case of a satellite of revolution when the centre of gravity of the satellite has uniform circular motion, the satellite revolving uniformly around its axis, perpendicular to the plan of the circle.Sufficient conditions for stability and instability of particular motions are given by the method of Liapunov.

     

Theorie analytique programmee de la libration physique de la lune

Résumé La rotation de la Lune autour de son centre de gravité est traitée par une méthode analytique, en tenant compte de son mouvement orbital. On développe une théorie Hamiltonienne en utilisant les variables d'Andoyer et l'on démontre que les écarts, purement périodiques, à trois relations de résonances similaires aux lois de Cassini, sont les variables canoniques du problème. Le potentiel est exprimé dans ces nouvelles coordonnées et l'Hamiltonien est développé jusqu'au deuxième degré en les petites variables. Un système d'équations donne le vrai centre de libration qu'on trouve proche du centre défini par les lois de Cassini. Un second système, résolu par un processus d'iterations, donne les séries de la libration, analytiques par rapport aux constantes du potentiel de la Lune et trigonométriques en les arguments de Delaunay. La question de convergence est brièvement abordée, mais sans démonstration.

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The rotation of the Moon about its center of mass, taking into account the orbital motion, is treated analytically. A Hamiltonian theory is developed in terms of the Andoyer variables. The periodic parts of departures from three resonances, equivalent to Cassini's laws, are found to be the canonical variables of the problem. The potential is expressed as a function of these new coordinates and the whole Hamiltonian is developed to the second degree in these small variables. One system of equations gives the real center of libration which is found to be near the center defined by Cassini's laws. A second system solved by iterations, gives the libration as analytical series in the constants of the Moon's potential, and trigonometric series in Delaunay arguments. The question of convergence is briefly exposed without any demonstration.

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Ce travail a été soutenu par une bourse du Centre National d'Etudes Spatiales.     

Cas spécials du problème des deux corps solides

Resume Il est envisagé dans ce travail deux cas spécials du problème du mouvement translatoire-rotatoire des deux corps solides. Dans le premier cas les particules élémentaires des deux corps quelconques s' agissent par la force, proportionnele au premier degré de la distance mutuelle. Dans le second cas les particules élémentaires des deux sphéres, possedant la structure sphérique, s'agissent par la force, proportionnele a quelque degré de la distance. Dans l'un et l'autre cas le mouvement translatoire ne dépend du mouvement rotatoire et les équations differentielles correspondantes s'intégrent par les quadratures.

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Special cases in the problem of two rigid bodies

In the present paper two special cases in the problem of two rigid bodies is examined. In the first case two arbitrary bodies interact with forcee, proportional to first degree of distance. In the second case two spheres interact with force, proportional to some degree of distance. In the both cases the translatory motion not depend from the rotatory motion and the differential equations integrate by quadratures.

     

Theorie de Weyl et principe de moindre action: Application a l'etude des mouvements

Sommaire Les lois du mouvement dans une variété riemannienneV ₄ peuvent être déduites d'un principe de moindre action. Nous établissons dans cet article l'équivalence des relations ds=0 et dL=-L _k d^k, où ds ²=L ² est une métrique riemannienne et d _k /dt une fonction homogène de degré 1 des variables dx ⁱ/dt qui définit un espace de Weyl. Ce théorème permet de ramener une théorie de jaugen à un principe de moindre action. Il peut être utilisé dans la théorie de la double métrique de Dirac, obtenue en choissant la théorie des grands nombres comme condition de jauge. Une fibration de l'espace physiqueV ₃ basée sur le théorème de Huyghens permet de déduire les propriétés dynamiques des particules des propriétés des photons dansV ₃, et constitue en ce sens une unification des propriétés dynamiques des particules.

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The laws of motion in a RiemannianV ₄ manifold can be deduced from the principle of least action. We state in this work the equivalence between the equations ds=0 and dL=-L _k d^k, where ds ² =L ² is the Riemannian metric and d _k /dt the homogeneous functions of first degree of the dx ⁱ/dt which define a Weylian space. This theorem can then reduce a gauge theory to a principle of least action. It can be used in the double metric theory of Dirac, obtained by means of the Large Number Hypothesis as a gauging condition. A fibration of the physical spaceV ₃ based on Huyghens' theorem allows the deduction of the dynamical properties of particles by means of the properties of photons inV ₃, and constitutes in this way an unification of the dynamical properties of particles.

     

The celestial pole coordinates

The coordinates of the Celestial Ephemeris Pole in the Celestial Reference System (CRS) can advantageously replace the classical precession and nutation parameters in the matrix transformation of vector components from the CRS to the Terrestrial Reference System (TRS). This paper shows that the new matrix transformation using these coordinates in place of the preceding parameters would be conceptually more simple, especially when associated with the use of the non-rotating origin on the instantaneous equator (Guinot 1979, Capitaine et al. 1986) and of a celestial reference frame as realized by positions of extragalactic sources. In such a representation, the artificial separation between precession and nutation is avoided and the practical computation of the matrix transformation only requires the knowledge of the two celestial direction cosines of the pole, instead of the large number of the quantities generally considered. The development of these coordinates is given as function of time so that their use is equivalent (when using the CRS defined by the mean pole and mean equinox of epoch J2000.0, the 1976 IAU System of Astronomical Constants and the 1980 IAU theory of nutation) to the one of the conventional series for the precession (Lieske et al. 1977) and nutation (Seidelmann 1982) parameters. Such a theoretical development should also be used in order to derive more directly the numerical coefficients of the celestial motion of the instantaneous equator from very precise observations such as VLBI.

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Résumé Les coordonnées du Pôle Céleste des Ephémerides dans le Systeme de Référence Céleste (CRS) pourraient remplacer avantageusement les paramètres classiques de precession et de nutation dans la matrice de transformation entre le CRS et le Système de Référence Terrestre (TRS). Cet article montre que la nouvelle matrice de transformation utilisant ces coordonnées à la place des paramètres classiques serait ainsi conceptuellement plus simple, en particulier lorsque l'on utilise l'origine non-tournante sur l'équa-teur instantané (Guinot 1979, Capitaine et al. 1986), ainsi que le repère de référence céleste réalisé par les positions des radiosources extragalactiques. Une telle representation évite la séparation artificielle entre précession et nutation et le calcul de la matrice de transformation correspondante ne nécessite que la connaissance des deux cosinus directeurs du pole dans le repère céleste, au lieu du grand nombre de paramètres considérés généralement. Le dèveloppement de ces coordonnées en fonction du temps est donné de façon à ce que leur usage soit équivalent (lorsque l'on se rapporte au CRS défine par le pôle et l'équinoxe moyens de l'époque J2000.0, au Système de Constantes Astronomiques IAU-1976, ainsi qu'au modèle UAI-1980 de la nutation) à celui des séries conventionnelles de la precession (Lieske et al. 1977) et de la nutation (Seidelmann 1982). Un tel développement théorique devrait également être utilise pour déterminer plus directement les coefficients numériques du déplacement céleste de l'équateur instantané, à partir des observations très précises, comme par exemple, les observations VLBI.

     

La transformation de Lyapunov de l'equation de Hill et son interpretation dynamique

Résumé La transformation de Lyapunov transforme une équation de Hill en une autre qui occupe la même place dans la classification de Yakubovich.Soit (C) une solution périodique d'un système conservatif à deux degrés de liberté. D'après le principe de moindre action de Maupertuis (C) est l'image d'une géodésique ().Nous montrons que les équations aux variations au voisinage de (C) et de () sont réductibles à deux équations de Hill qui se correspondent par une transformation de Lyapunov.

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The Lyapunov transformation of Hill's equation and his dynamic interpretation

The Lyapunov transformation carries Hill's equationÿ+F(t)y=0,F(t+T)=F(t) into another one which belongs to the same class in Yakubovich's classification.Let (C) be a closed trajectory of a Lagrangian conservative system with two degrees of freedom. By the Principle of Least action, we know that (C) is the image of a geodesic () of a certain two-dimensional surface ().We show that the two Hill equations associated with (C) and () are related by a certain Lyapunov transformation.

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Paper presented at the 1981 Oberwolfach Conference on Mathematical Methods in Celestial Mechanics.     

Formulation intrinseque de l'equation de Szebehely (intrinsic formulation of Szebehely's equation)

Resume L'équation de Szébéhély caractérisant les potentiels qui donnent lieu à une famille d'orbites planes donnée est formulée d'une manière intrinsèque, puis généralisée à 3 ou n dimensions en coordonnées curvilignes et en notations tensorielles.

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The equation of Szebehely for potentials generating a given family of planar orbits is given in an intrinsic way, then generalized to 3 or n dimensions in curvilinear coordinates and tensorial notations.

     

Gravitational potential harmonics from the shape of an homogeneous body

The spherical harmonic coefficients of the gravitational potential of an homogeneous body are analytically derived from the harmonics describing its shape. General formulas are given as well as detailed expressions up to the fifth order of the topography harmonics. The volume, surface and inertia tensor of the body are obtained as by-products. The case of a triaxial ellipsoid is given as example and used for numerical checking. Another numerical scheme for verification is provided. The application to Phobos is made and the convergence of the expressions for the harmonics is numerically established.

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Résumé Les harmoniques du champ de gravitation d'un corps homogène de forme donnée sont calculés analytiquement à partir des harmoniques du développement en série du rayon vecteur exprimant la forme de la surface du corps. Outre la formule générale, des expressions détaillées, au cinquième ordre des harmoniques du rayon vecteur, sont données sous une forme bien adaptée à la programmation. Le volume, la surface et le tenseur d'inertie du corps sont calculés analytiquement `a partir des formules générales. Le cas de l'ellipsoide triaxial est pris comme test des formules établies. Un autre test numérique est fourni dans le cas le plus général. Ceci est appliqué à Phobos, et la convergence des expressions fournissant les harmoniques est numériquement démontrée.

     

Comparaison de catalogues de crateres lunaires

Résumé La partie systématique des différences entre les positions des cratères de plusieurs catalogues est développée en harmoniques sphériques. L'application du test en ² détermine l'ordre du développement. La méthode a été appliquée pour comparer le système de référence de Arthur avec les catalogues de Schrutka-Rechtenstamm et Gavrilov. On obtient les surfacesf (l, b) des différences systématiques de ces catalogues. La zone centrale de la face visible de la lune (± 40° en latitude et longitude) est bien déterminée, mais la zone marginale présente des différences systématiques qui peuvent atteindre le kilomètre.

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The systematic part of the differences between positions in crater catalogues is expanded into spherical harmonics. The application of the ² test determines the highest order of the expansion. The method was applied to compare the Arthur System with the Schrutka-Rechtenstamm and Gavrilov catalogues. The surfacesf (l, b) of systematic differences from these catalogues were obtained. The central zone of the near side of the Moon (± 40° in latitude and longitude) is well determined but the marginal zone presents systematic differences that can be as large as one kilometer.

     

Etude d'une solution de la theorie litterale du probleme principal du mouvement de la Lune convergence formelle

Résumé Dans l'exposé qui va suivre, nous rappelons d'abord le système d'équations et le mode d'intégration que nous avons utilisés pour construire une théorie littérale du problème principal du mouvement de la Lune. En particulier, puisque, du fait de la présence des petits diviseurs, nous avons à effectuer plusieurs itérations à un ordre donné, pour obtenir tous les termes correspondant à cet ordre, nous allons étudier un système d'équations réduit qui se substitue au système complet, après la première intégration à un ordre donné. Ce système permet d'alléger au maximum les calculs.Nous étudions alors la convergence formelle de la solution littérale obtenue. Cette démonstration est faite par récurrence. Au cours de celle-ci, nous avons utilisé les propriétés du système d'équations réduit (C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10, C11, et C12), système dont nous donnons dans les tableaux I à IV, les coefficients et les arguments. L'étude de l'ordre des termes engendrés par ce système nous permet de conclure que, si l'on connaît tous les termes d'ordren–1 alors on peut déterminer tous les termes d'ordren.Enfin, nous indiquons les résultats que nous avons actuellement obtenus par cette méthode.

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In this paper, we first recall the set of equations and the method of integration for a literal solution of the main problem of the lunar theory. As, owing to small divisors, we have to make many iterations at a given order to obtain all the corresponding terms, we study a restricted set of equations which replaces the complete system after the first integration at a given order. This set helps to make the calculations less bulky.Then we study the formal convergence of the literal solution thus obtained. The demonstration uses a recurrent process in which we made use of the properties of the restricted system of equations (C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10, C11 and C12), the coefficients and arguments of which are given in Tables I to IV.The study of the order of magnitude of the terms formed by this system leads to the conclusion that if then–1 order terms are known, all then-order terms may be determined.In the end, we show the results obtained so far with this method.

     

Sur les solutions particulières du problème généralisé des trois corps solides

Résumé Il est envisagé dans ce travail le problème généralisé du mouvement translatoire-rotatoire des trois corps solides.Il est supposé que chaque particule élémentaire du chacun corps agit sur chaque particule d'autre corps par une force (d'attraction ou de répulsion), dirigée suivant la droite, passante par ces deux particules. Cette force est proportionnele à produit des masses des deux particules et à une certaine fonction du temps, de la distance mutuelle et des ses dérivées première et seconde.On ne suppose pas, que le troisième axiome de la dynamique Newtonienne a lieu, de sorte que notre système des trois corps se trouve sous l'influence des six forces distinctes.Les équations fondamentales du mouvement translatoire-rotatoire des trois corps solides n'admettent pas, en général, des intégrales premières classiques.Nous avons établie auparavant les conditions à laquelles doivent satisfaire les corps pour que le problème posé admettra lesmouvements plans, c'est-à-dire les tels mouvements quand les centres des masses des trois corps restent toujours dans un plan invariable et chaque corps est assujetti à tourner autour d'axe, qui est perpendiculaire à ce plan invariable.Il est établie, que le problème admet ces mouvements plans au cas où chaque des trois corps possède d'une symétrie dynamique et géométrique par rapport d'un plan, passant par le centre des masses. Il est étudie plus loin la question d'existence des tels mouvements plans dans lequels les centres des masses des trois corps forment toujours un triangle équilateral (solution Lagrangienne), ou restent toujours sur une ligne droite (solution Eulerienne). Il est montré, que ces mouvements peuvent exister au cas où chaque des trois corps possède, outre la symétrie par rapport d'un plan, encore d'une symétrie dynamique et géométrique par rapport d'un axe, perpendiculaire à plan de la symétrie.Dans ces solutions chaque corps tourne uniformément autour cet axe avec vitesse angulaire, indépendante des paramètres des mouvements orbitaux des centres des masses.Sont obtenues les conditions à laquelles doivent satisfaire les lois des forces actives et les caractéristiques de structure des corps pour que ces mouvements Lagrangiennes et Euleriennes pourront être exister.On donne les exemples. Il est envisagé, en particulier, le cas où chaque corps est une sphère avec la distribution sphérique de la densité, et les particules élémentaires s'exercent mutuellement par les lois du Newton-Coulont (d'attraction ou de répulsion), avec les coefficients de la proportionnalité dépendant du temps. Alors, les solutions Lagrangiennes peuvent exister au cas seulement où chaque corps agit sur les deux autres par le même loi.Les solutions Euleriennes peuvent exister au cas seulement où les coefficients sont des constantes, ou bien sont les produits de celles constantes par une fonction unique du temps.Les résultats analogues sont établies pour les corps arbitraires, possèdant la symétrie axiale, dont les particules élémentaires s'exercent aussi par les lois du Newton-Coulont.Remarquons maintenant, que les résultats exposés dans ce travail montrent que les solutions célèbres du Lagrange et Euler dans le problème classique des trois points matériels, s'attirant mutuellement selon loi du Newton, existent aussi dans le problème des trois corps solides avec les suppositions les plus générales pour les forces actives. De cette façon il est établie, que ces mouvements classiques, ayant d'une grande importance pour la mécanique céleste contemporaine, possédent d'une stabilité d'un genre singulier remarquable.En effet, les configurations triangulaires et rectilignes des trois corps peuvent se conserver indéfiniment avec les changements différents des lois des forces actives, aussi qu'avec les changements divers des structures des corps solides en mouvement (dans cértaines conditions aussi pour les corps fluides).D'un autre côté, les résultats obtenus ont, comme il semble à l'auteur de ce travail, non seulement l'intérèt purement théorique, mais peuvent avoir aussi les applications dans les problèms concrets du mouvement des corps célestes dans les domaines très éloignés d'espace cosmique.En effet, il parait indubitable, que dans les divers domaines d'univers et dans les divers systèmes cosmiques, peuvent avoir lieu les actions mutuelles très différentes, qui peuvent en outre se changer avec le temps.La loi d'attraction universelle du Newton, qui est probablement assez suffisante pour notre système solaire, est sans doute une approximation grossière et douteuse seulement des lois réelles de la Nature.

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In the present paper, the generalized problem of translatory-rotatory motion of three rigid bodies, whose elementary particles act upon each other according to arbitrary laws of forces along the straight line joining them, is discussed.Author has shown that this problem admits particular solutions, analogous to the classic solutions of Lagrange and Euler, when each body possesses axial symmetry. In these solutions the centres of mass of the three bodies form an equilateral triangle (Lagrangian solutions) or remain always on a straight line (Eulerian solutions). Each body turns uniformly around its axis of symmetry, which remains always perpendicular to the plane of motion of centres of mass.

     

Sur une generalisation des equations lagrangiennes permettant une extension de la transformation KS

Résumé Cet arricle est composé de deux parties, l'une établie par M. Langlois, l'autre par Mme Losco. La première partie est consacrée à l'étude des équations de Poincaré qui sont les équations de Lagrange du mouvement lorsqu'on introduit des pseudo-paramètres. Une application de ces équations est intéressante à envisager lorsque l'on mélange coordonnées et pseudo-paramètres et que les coordonnées sont ignorables dans le lagrangien. On établit alors un théorème de réduction des équations du mouvement par des relations invariantes. La transformation KS entre dans ce cadre. La seconde partie concerne la construction de matrices généralisant KS. Ce sont des matrices dont les premières lignes définissent des variablesQ , les dernières lignes des pseudo-paramètres et pour lesquelles on peut appliquer le théoreme de réduction établi précédemment.Le mouvement général du corps solide dansR ⁿ permet une construction de telles matrices, de même que KS est associée à une rotation deR ⁿ.

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This paper is composed of two parts, the first one established by M. Langlois, the other one by L. Losco. First a study of Poincaré's equations is made, which are Lagrangian equations where use is made of some quasi-coordinates. One application of these equations is very interesting when some coordinates are ignorable in the Lagrangian. A theorem of reduction is obtained with invariant relations. KS is of this kind. Then matrices are constructed which generalize KS. There are matrices of coordinates and quasi-coordinates, which allow application of the theorem of reduction previously obtained. The general motion, helicoidal motion, of a rigid body inR ⁿ-space allows to obtain such matrices, just as KS corresponds to a rotation inR ⁴.Some results have been briefly published in two notes mentioned at the end.

     

On the high energy proton spectrum measurements

The steepening of the proton spectrum beyond 1000 GeV and the rise in inelastic cross sections between 20 and 600 GeV observed by the PROTON 1-2-3 satellite experiments may be explained by systematic effects of energy dependent albedo (back-scatter) from the calorimeter.

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Résumé L'accroissement avec l'énergie de l'albedo dû au calorimètre peut expliquer l'augmentation de la pente du spectre primaire de protons au-delà de 1000 GeV et la croissance des sections efficaces inélastiques entre 20 et 600 GeV observés lors des expériences en satellite PROTON 1, 2 et 3.

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On sabbatical leave at Goddard Space Flight Center, Greenbelt, Md.     

Proprietes Geometriques des Equations d'Euler-Poisson du Corps Solide a Point Fixe

Introduction et résumé Le problème de la réduction à l'ordre deux des équations d'Euler-Poisson par les 3 intégrales premières classiques a été étudié par Leimanis en 1971. Dans cet article on se propose de reprendre ce problème d'un point de vue géométrique. On étudie systématiquement les propriétés géométriques des équations d'Euler-Poisson du mouvement du corps solide pesant à point fixe dans deux cas. Dans le premier cas, le corps solide est muni d'un moment gyrostatique constant par rapport à lui-même. On montre ici que la réduction des équations d'Euler-Poisson nous ramène aux trois équations d'Euler initiales avec une structure présymplectique, ceci grâce à la présence d'une forme invariante de volume. D'autres conséquences géométriques sont signalées.Dans le deuxième cas, on supprime le moment gyrostatique. On remarque alors une propriété supplémentaire par rapport au cas précédent: la présence d'une transformation infinitésimale dûe à l'homogénéité des équations. La réduction des équations peut s'effectuer d'une infinité de manières alors qu'elle était unique dans le premier cas. Ceci est illustré par le cas intégrable de la toupie symétrique où l'on met en évidence, de façon originale, les deux quadratures nécessaires.

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Geometrical properties of the Euler Poisson's equations of a heavy rigid body about a fixed point

In this paper, we study the geometrical properties of the Euler Poisson's equations of the motion of a heavy rigid body about a fixed point. Two cases are studied. In the first on the rigid body has a gyrostatic moment, constant with respect to itself. It is shown, from the reduction of Euler Poisson's equations, we that we have a presymplectic structure for the initial Euler's equations, and this fact being due to the existence of an invariant volume. Other geometrical consequences are obtained.Secondly the rigid body is considered without its gyrostatic moment. We have here a new property which is the existence of an infinitesimal transformation, due to the homogeneity of the equations. Here the reduction of the equation can be made by an infinity of ways, when it was unique precedently. This study is illustrated by the integrable case of the symetrical top.

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Paper presented at the 1981 Oberwolfach Conference on Mathematical Methods in Celestial Mechanics.