多种超高阶次缔合勒让德函数计算方法的比较

扩展高阶和超高阶重力场模型的构制与应用的数值稳定性取决于超高阶次缔合勒让德函数的计算方法.文中详细介绍了现有的多种缔合勒让德函数的递推计算方法:标准前向列推法、标准前向行推法、跨阶次递推法和Belikov列推法.从计算速度、计算精度和计算溢出问题3个角度分析比较了阶次高至2 160阶的各种方法的优劣.通过数值试验证明,Belikov列推法和跨阶次递推法是计算超高阶次缔合勒让德函数较优的方法,而其他几种方法不能用于超高阶次缔合勒让德函数的计算.文中结论为超高阶次球谐综合与球谐分析的数值计算提供了可靠的依据.     

采用Belikov列推和跨阶次递推方法计算超高阶缔合勒让德函数

超高阶球谐重力场模型的精确构制与快速计算取决于缔合勒让德函数的计算方法。在前人研究的基础上,文中对适合超高阶缔合勒让德函数计算的Belikov列推和跨阶次递推方法进行介绍,为验证精度,通过两种途径对计算结果进行检验,并比较其计算速度。结果表明,采用两种算法得到的每个勒让德函数的绝对精度均优于10-12,在低阶,跨阶次递推方法的计算用时大约是Belikov列推法的2倍,随着阶数的升高,跨阶次递推算法表现出明显的速度优势。     

超高阶次勒让德函数递推计算中的压缩因子和Horner求和技术

摘要：超高阶次（如2000阶次）缔合勒让德函数值的递推计算,在接近两极时达到极大的数量级（超过10的数千次方）,这导致现有递推方法在计算缔合勒让德函数值及其导数值时失效。我们通过插入压缩因子技术,提出一个修改的递推算法,并结合使用Horner求和技术计算球谐级数的部分和。试验表明,该算法至少可以计算到3600完全阶次的球谐级数式,优于现有结果。     

超高阶次勒让德函数递推计算中的压缩因子和Horner求和技术

超过2 000阶次的缔合勒让德函数值的递推计算,在接近两极时达到极大的数量级（超过10的数千次方）,这导致现有递推方法在计算缔合勒让德函数值及其导数值时失效。通过插入压缩因子技术,提出一个修改的递推算法,并结合使用Horner求和技术计算球谐级数的部分和。试验表明,该算法至少可以计算到3 600完全阶次的球谐级数式,优于现有结果。     

超高阶重力场模型的研究与实现

超高阶重力场模型的提出使大地水准面差距的计算结果越来越精确。本文主要介绍了采用重力场模型计算大地水准面差距的算法,采用标准向前列递推法求解缔合勒让德函数值,增大勒让德函数前三项,避免产生超高阶递推过程的不稳定现象。结果表明:增大勒让德函数前三项能稳定递推至2 700阶,验证了大地水准面差距验证算法、软件的正确性与可行性。     

超高阶全球地形球谐系数模型的构建方法与实现

针对10 800阶地形球谐系数模型构建的计算精度、计算稳定性及超大规模运算量等问题,本文首先通过比较分析矩形离散积分方法、Gauss-Legendre积分方法和Driscoll/Healy积分方法,验证了Driscoll/Healy积分方法具有更高的计算精度。然后,给出了改进的Belikov公式,将完全正常化缔和勒让德函数在全球范围内以优于10^-12精度高效、稳定递推至10 800阶;提出了联合FFT和基于OpenMP的多核并行方法求解超高阶球谐系数的优化策略,显著提高了球谐系数模型构建的计算效率。最后,利用Earth2014＿TBI与全球海底地形模型STO＿IEU2020格网数据建立了全球10 800阶地形球谐系数模型sph.10 800＿IEU,总体精度与Earth2014＿TBI2014.shc相当,在试验海域的相对精度略优于模型Earth2014＿TBI2014.shc。     

完全正常化缔合勒让德函数及其导数与积分的递推关系

在地球重力场问题中,常用到完全正常化缔合勒让德函数及其导数、积分的递推关系。当前流行的地球扰动位模型均采用完全正常化的缔合勒让德函数,用此类模型可以高效方便计算各种扰动重力场元。随着本世纪多个新一代卫星重力探测计划成功实施,高阶或超高阶地球重力场模型的研究备受学界的关注。有关完全正常化缔合勒让德函数的递推关系对于高阶重力场模型具有特别意义。本文在前人研究的基础上,用初等微积分导出了若干新的递推关系式。同时还推导了正常化缔合勒让德函数及其导数、积分的检核式,这些检核式涉及地球位的球谐级数的数学性质。     

广义球谐函数定积分计算方法的改进

运用球谐函数定积分的基本递推公式，推导了在重力场球谐综合与球谐分析中出现的广义球谐函数定积分的计算公式；给出了其适用于超高阶次的改良型递推公式。数值试验表明，该改良公式具有较高的计算精度和计算速度，解决了超高阶次广义球谐函数定积分计算的溢出问题，拓展了这类定积分的计算公式。他们的数值实现为利用位模型计算高分辨率扰动重力场元格网平均值、重力场球谐综合分析等奠定了基础。     

广义球谐函数定积分计算方法的改进

运用球谐函数定积分的基本递推公式,推导了在重力场球谐综合与球谐分析中出现的广义球谐函数定积分的计算公式;给出了其适用于超高阶次的改良型递推公式.数值试验表明,该改良公式具有较高的计算精度和计算速度,解决了超高阶次广义球谐函数定积分计算的溢出问题,拓展了这类定积分的计算公式.他们的数值实现为利用位模型计算高分辨率扰动重力场元格网平均值、重力场球谐综合分析等奠定了基础.     

球谐函数级数式的改化形式

首先将级数式中缔合勒让德函数的计算转化为一般勒让德函数的导数计算，并给出相应的递推公式；其次将球谐函数级数式转化为仅含带谐项的级数式，并给出相应系数的计算公式。经实例计算，用机时间节省约90％。这对于应用部门快速计算重力场的有关数据将十分有利。     

A unified approach to the Clenshaw summation and the recursive computation of very high degree and order normalised associated Legendre functions

 Spherical harmonic expansions form partial sums of fully normalised associated Legendre functions (ALFs). However, when evaluated increasingly close to the poles, the ultra-high degree and order (e.g. 2700) ALFs range over thousands of orders of magnitude. This causes existing recursion techniques for computing values of individual ALFs and their derivatives to fail. A common solution in geodesy is to evaluate these expansions using Clenshaw's method, which does not compute individual ALFs or their derivatives. Straightforward numerical principles govern the stability of this technique. Elementary algebra is employed to illustrate how these principles are implemented in Clenshaw's method. It is also demonstrated how existing recursion algorithms for computing ALFs and their first derivatives are easily modified to incorporate these same numerical principles. These modified recursions yield scaled ALFs and first derivatives, which can then be combined using Horner's scheme to compute partial sums, complete to degree and order 2700, for all latitudes (except at the poles for first derivatives). This exceeds any previously published result. Numerical tests suggest that this new approach is at least as precise and efficient as Clenshaw's method. However, the principal strength of the new techniques lies in their simplicity of formulation and implementation, since this quality should simplify the task of extending the approach to other uses, such as spherical harmonic analysis. Received: 30 June 2000 / Accepted: 12 June 2001     

一类球谐函数与三角函数乘积积分的计算

本文根据球谐函数的跨次递推公式和三角函数的性质,详细推导了在重力梯度调和分析中出现的一类球谐函数积分的跨次递推公式和递推初始值的计算公式。数值试验表明,球谐函数跨次递推算法具有快速、稳定的优点。该类积分的跨次递推实现,为卫星重力梯度调和分析奠定了算法基础。     

完全规格化缔合勒让德函数及其导数的递推算法与适用范围比较

完全规格化缔合勒让德函数及其导数常用标准向前列递推算法和标准向前行递推算法进行计算。基于第一、第二相对数值精度标准对两种算法的适用范围进行分析比较,计算结果表明,标准向前列递推算法的适用范围大于标准向前行递推算法,说明前者优于后者;结果同时还表明,完全规格化缔合勒让德函数与其导数同一种算法的适用范围也相同,并指出了二者适用范围相同的原因。     

缔合Legendre函数二阶导数的快速稳定递推算法

根据初等代数的基本原理,推导了一种缔合Legendre函数二阶导数的快速稳定递推算法。数值测试结果表明,在阶次高达3 600时,该方法与其他几种现有方法的计算精度相当,但计算效率比其他方法提高了一倍以上,并且该方法没有奇异性,适用于快速精确地计算任意纬度的缔合Legendre函数二阶导数值     

联合EGM2008模型重力异常和GOCE观测数据构建超高阶地球重力场模型SGG-UGM-1

本文研究了联合卫星观测数据和重力异常数据确定超高阶重力场模型的理论方法,并使用EGM2008模型重力异常和GOCE（gravity field and ocean circulation explorer）观测数据构建了重力场模型SGG-UGM-1。重点研究了由球面格网重力异常快速构建超高阶重力场模型的块对角最小二乘方法,将OpenMP技术引入到块对角最小二乘中以提高计算效率,并基于模拟数据验证了方法及算法和软件模块的正确性。采用本文制定的联合解算策略,利用GOCE重力卫星观测数据构建的220阶次法方程和EGM2008模型重力异常构建的2159阶次块对角法方程,联合求解了2159阶次的重力场模型SGG-UGM-1。将SGG-UGM-1与EGM2008、EIGEN-6C2、EIGEN-6C4等超高阶模型在频谱域内进行了比较分析,结果表明SGG-UGM-1相对参考模型的系数误差较小,且在220阶次内的系数精度相比EGM2008模型有了提高。采用中国与美国的GPS/水准数据和毛乌素测区的航空重力观测数据对这些模型进行了外符合精度的检验。检核结果表明,在中国区域,SGG-UGM-1模型大地水准面的精度在EIGEN-6C2和EIGEN-6C4两个模型之间,优于GOSG-EGM模型和EGM2008模型,与美国区域几个模型的精度相当。利用毛乌素测区的航空重力数据对几个模型进行了检核,结果表明SGG-UGM-1模型计算的重力扰动精度与EGM2008、EIGEN-6C4模型相当,优于GOSG-EGM模型和EIGEN-6C2模型。     

Numerical computation of spherical harmonics of arbitrary degree and order by extending exponent of floating point numbers

By extending the exponent of floating point numbers with an additional integer as the power index of a large radix, we compute fully normalized associated Legendre functions (ALF) by recursion without underflow problem. The new method enables us to evaluate ALFs of extremely high degree as 2³² =  4,294,967,296, which corresponds to around 1 cm resolution on the Earth’s surface. By limiting the application of exponent extension to a few working variables in the recursion, choosing a suitable large power of 2 as the radix, and embedding the contents of the basic arithmetic procedure of floating point numbers with the exponent extension directly in the program computing the recurrence formulas, we achieve the evaluation of ALFs in the double-precision environment at the cost of around 10% increase in computational time per single ALF. This formulation realizes meaningful execution of the spherical harmonic synthesis and/or analysis of arbitrary degree and order.     

New relations among associated Legendre functions and spherical harmonics

Several new relations among associated Legendre functions (ALFs) are derived, most of which relate a product of an ALF with trigonometric functions to a weighted summation over ALFs, where the weights only depend on the degree and order of the ALF. These relations are, for example, useful in applications such as the computation of geopotential coefficients and computation of ellipsoidal corrections in geoid modelling. The main relations are presented in both their unnormalised and fully normalised (4π-normalised) form. Several approaches to compute the weights involved are discussed, and it is shown that the relations can also be applied in the case of first- and second-order derivatives of ALFs, which may be of use in analysis of satellite gradiometry data. Finally, the derived relations are combined to provide new identities among ALFs, which contain no dependency on the colatitudinal coordinate other than that in the ALFs themselves.     

球冠谐分析中非整阶Legendre函数的性质及其计算

局部重力场的谱方法是当前重力学的研究方向,该方法的核心问题是如何构造合适的谱函数以及如何对谱函数实施快速、有效的计算。当所研究的区域近似一个球冠时,迂冠谐函数是该区域对应的谱函数,它由非整阶勒让德（Ｌｅｇｅｎｄｒｅ）函数和三角函数组成,显然非整阶勒让德函数的构造和计算是研究球冠谐函数的关键。本文研究了非高小阶勒让德函数的性质和实用计算方法,包括如何对非整阶勒让德函数实施规格化处理。