From kinematical geodesy to inertial positioning

WhenH. Moritz (1967, 1971) studied “kinematical geodesy” for the purpose of separation of gravitation and inertia, especially within combined accelerometer-gradiometer systems, it was hard to believe that within five years time inertial survey systems would be available, exactly operating according to his theoretical design. Here, we attempt to give a geodetic introduction into the fundamental equation of inertial positioning materialized by inertial survey systems with emphasis on a careful error model, including 36 parameters of type time interval, initial positions, initial gravity, varying acceleration, varying gravity gradients, accelerometer bias, accelerometer random uncertainty, accelerometer non-orthogonality, initial misalignment angles, accelerometer scale factor uncertainty. The notion of “multipoint” boundary value problem and initial value problem of inertial positioning is reviwed. So-called “post-mission” adjustment techniques for inertial surveys are discussed.

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Sommaire QuandH. Moritz (1967, 1971) a étudié la géodésie cinématique dans le but de séparer la gravitation et l’inertie, spécialement en combinant accéléromètres et gradiomètres, il était difficile de croire qu’en cinq ans les systèmes d’arpentage inertiels seraient disponibles et fonctionneraient exactement selon ses prévisions théoriques. Ici, nous allons tenter de donner une introduction géodésique à l’équation fondamentale du positionnement inertiel, matérialisée par un système d’arpentage inertiel en soulignant l’importance d’un modèle d’erreur incluant 36 paramètres du genre intervalle de temps, positions initiales, gravité initiale, accélération variable, gradient de la gravité variable, déviation des accéléromètres, incertitude aléatoire des accéléromètres, non-orthogonalité des accéléromètres, angles initiaux des défauts d’alignement, incertitude du facteur d’échelle des accéléromètres. La notion de problème “multipoint” aux limites et du problème de la valeur initiale du positionnement inertiel y est revue. Les techniques de compensation “après la mission” y sont discutées.

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Presented at the 2nd International Symposium on Inertial Technology for Surveying and Geodesy, Banff, Canada, June 1–5, 1981.     

A comparison of models in inertial surveying

The output of an inertial measuring unit contains the combined effect of vehicle acceleration, accelerations due to the reference system, gravitational attraction, calibration and alignment errors, and measuring noise. The separation of individual effects from the total output is the task of modelling. Differences in the existing models are mainly due to the treatment of system errors and of the anomalous gravity field. The paper discusses the state space formulation as a general approach to represent errors of a dynamic system and describes its application to the modelling of an inertial system. Complications due to the effects of the anomalous gravity field are discussed and possible solutions are indicated. Finally, the models in the existing inertial survey systems are compared and implementation requirements for survey applications are outlined.

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Sommaire Les mesures effectuées par l’unité de mesure inertielle continnent les effets de l’accélération du véhicule et de celle due au système de référence, de l’attraction gravitationnelle, des erreurs de calibrage et d’alignement, et finalement du bruit de fond. La séparation de chacun de ces effets sur les mesures est le sujet de la modélisation. Les différences dans les modèles existant sont principalement dues au traitement du système d’erreurs et des anomalies du champ de gravité. La communication discute de la formulation du vector d’erreurs comme approche générale pour la représentation d’erreurs dans un système dynamique et décrit son application dans la modélisation d’un système inertiel. Les complications dues aux effets des anomalies du champ de gravité sont discutées et des solutions possibles sont indiquées. Enfin, les modèles dans les présents systèmes inertiels d’arpentage sont comparés et les exigences pour les applications en arpentage sont soulignées.

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Presented at the 2nd International Symposium on Inertial Technology for Surveying and Geodesy, Banff, Canada, June 1–5, 1981.     

Regional adjustment of inertial gravity disturbance vector measurements by optimal two-dimensional smoothing

A two-dimensional signal processing algorithm is developed to obtain smoothed estimates of the gravity disturbance vector from vector measurements obtained by an inertial surveying system. The method differs from a conventional least squares regional adjustment of such measurements in that it accommodates a signal model in the smoothing process. Using principles from the physical theory of geodesy, it is shown that for a local region on the surface of the earth, an appropriate signal model is obtained by applying the two-dimensional Laplacian operator to a function representing the surface disturbance potential and equating the result to spatial white noise. The model of the vector measurement is the three orthogonal spatial derivatives of a three dimensional disturbance potential evaluated at the surface contaminated by additive white noise. The problem of simultaneous smoothing of all the gravity disturbance measurements from all survey traverses in the region is solved by representing the surface disturbance potential by a two-dimensional Karhunen-Loeve expansion that makes no specific reference to either the geometry or the ordering of the parameter space, thereby making no assumptions of causality, stationarity or isotropy. The problem of estimating the gravity anomaly and the two vertical deflection components reduces to estimating the Karhunen-Loeve coefficients which are uncorrelated and rapidly converging. Simulation results as well as smoothing of actual gravity disturbance vector measurements obtained by the U.S. Army Engineer Topographic Laboratories (USAETL) with the Rapid Geodetic Survey System (RGSS) at the White Sands Missile Range (WSMR) are presented in the paper. An analysis of these results shows that the optimal two-dimensional smoother obtains a performance benefit relative to conventional regional least squares by a factor of 2 and a benefit relative to single-traverse smoothed results by a factor of 4.

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Sommaire Un algorithme de traitement du signal en deux dimensions est développé pour obtenir une estimation lissée du vecteur de la perturbation de la pesanteur à partir des mesures de vecteur obtenues avec un système d’arpentage inertiel. La méthode diffère d’un compensation régionale conventionnelle par moindres carrés de telles mesures, par le fait qu’elle contient un modèle du signal dans le processus de compensation. En s’appuyant sur les principes de la géodésie physique, il est montré que pour une région locale de la surface de la terre, un modèle approprié du signal est obtenu en appliquant l’opérateur à deux dimensions de Laplace à une fonction représentant le champ perturbateur à la surface de la terre et égalisant le résultat à un bruit blanc spatial. Le modèle du vecteur de mesures est défini par les trois dérivées spatiales de la fonction tridimensionnelle du potentiel perturbateur évaluées à la surface et contaminées par un bruit blanc. Le problème du lissage de toutes les mesures de gravité perturbatrice obtenues à partir des polygonales effectuées est résolu en représentant le potentiel perturbateur à la surface à l’aide d’un développement Karhunen-Loeve à deux dimensions qui ne fait aucunement référence à la géométrie ou à l’ordre des paramètres; ceci prévient toute dépendance spatiale des points adjacents. Le problème de l’estimation de l’anomalie de la gravité et des deux composantes de la déviation de la verticale se réduit à celle des coefficients Karhunen-Loeve qui sont non-corrélés et convergent rapidement. Les résultats de simulation aussi bien que le lissage des données du vecteur de perturbation de la pesanteur foumi par l’U.S. Army Engineer Topographics Labs (USAETL) sont présentés. L’analyse de ces résultats montre que le lissage optimal à deux dimensions améliore les résultats par un facteur 2 comparés aux résultats d’une compensation régionale par moindres carrés, et par un facteur 4 comparés aux résultats lissés d’une simple traverse.

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Presented at the Second International Symposium on Inertial Technology for Surveying and Geodesy, Banff, Canada, June 1–5, 1981.     

La representation du potentiel terrestre par masses ponctuelles

Résumé Un modèle de représentation du potential terrestre par 126 masses ponctuelles de profondeurs situées entre 1000 et 1500 km a été construit à partir de la Standard Earth II du S.A.O. et utilisé avec succès pour la représentation du géo?de, des anomalies de gravité, ainsi qu’en calcul d’orbites par correction différentielle utilisant des observations réelles de satellites artificiels. Les propriétés de décroissance rapide de ces fonctions sont mises en évidence, et leur utilisation envisagée à l’analyse scientifique de mesures altimétriques.     

Campagne Diademe Resultats obtenus en geodesie semi-dynamique a l'aide de mesures Doppler

Conclusions Le traitement des mesures Doppler sur des périodes voisines de 1 jour permet, par correction différentielle utilisant un bon modèle théorique, de retrouver les coordonnées,X, Y des stations du triangle méditerranéen avec des dispersions respectives de50 mètres et15 mètres. Bien que la coordonnéeZ soit moins bien déterminée, dispersion pouvant atteindre200 mètres, on peut retrouver les dimensions du triangle. L'analyse spectrale de la matrice de covariance fait appara?tre comme la plus grande composante de l'ellipso?de d'erreur, la cote du centre de gravité au-dessus du plan équatorial. Ceci peut s'expliquer par un manque de diversité des passages (période courte), un réseau d'observation trop restreint et dans le même hémisphère (mauvaise détermination dui), des imperfections du modèle de perturbations (Harmoniques de résonances, frottement). L'élimination des paramètres internes et la résolution, sur les seuls déplacements significatifs, diminue la dispersion à une dizaine de mètres surX, Y etZ. Ces résultats ne constituent qu'une première étape d'un traitement systématique en cours, qui sera exposé au COSPAR 1969.     

Valeur de la Pesanteur pour le Point Fondamental de Varsovie

Résumé Le système provisoire des mesures gravimétriques en Pologne a été établi pour le point fondamental de Varsovie sur la valeur: g=981,2412cm·sec⁻². De l'analyse des résultats obtenus par le système de rattachements modernes de Varsovie à Potsdam dont les mesures ont été effectuées par A. Kwiatkowski, P. Lejay, Reicheneder, Weiken, l'auteur déduit dans le système de Potsdam comme valeur de pesanteur la plus probable à Varsovie g=981,2400±0,0002 cm·sec⁻². Cette valeur a été vérifiée au moyen de l'analyse des rattachements indirects de Varsovie à Potsdam par les points pendulaires de Kielce, Cracovie, Racibórz (tableau 2), de Ciechanów, Goldap, Susz et Szczytno (tableau 3). Les données prises en considération proviennent de mesures effectuées avec des gravimètres de N?rgaard. La concordance des résultats particuliers a été vérifiée dans les limites d'erreurs moyennes d'observations. Dans la dernière partie de cette étude ont été consignés les résultats des dernières mesures absolues de la pesanteur à Washington et à Teddington qui ont permis de constater entre le système absolu et celui de Potsdam une différence de 15 à 20 mgals. Comité National Polonais de Géodésie     

Le projet gradio et la determination a haute resolution du geopotentiel

Résumé Une des techniques de détermination fine et globale du champ de gravitation terrestre U est la gradiométrie spatiale, dans laquelle on mesure à bord d'un satellite sur orbite basse certaines combinations linéaires des composantes du tenseur ∂² U/∂x_i ∂x_j dans des axes {x _i } liés au satellite. Un tel projet, appelé GRADIO, est actuellement à l'étude en France et pourrait aboutir à partir de 1990. Après avoir rappelé les objectifs scientifiques d'une telle mission, nous en donnons les spécifications—étayées par une série d'études analytiques; nous définissons ensuite le satellite porteur et ses caractères techniques, en insistant sur les points délicats de la faisabilité (facteurs d'échelle des micro-accéléromètres constituant l'appareil, connaissance de l'attitude...) et en présentant des idées de solution en cours d'approfondissement.

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Summary Satellite gradiometry arises as one of the methods for improving our knowledge of the global Earth gravity field at high resolution: by means of micro-accelerometers on board a low orbiting spacecraft, linear combination of the gravity tensor components ∂² U/∂x_i ∂x_j are measured in a satellite-fixed reference frame {x _i }. Based on this technique, a project named GRADIO is presently under study in France and could fly in 1990 at the earliest. After the scientific objectives of that experiment have been reviewed, the measurement specifications are given as coming from various analytical studies. The platform and its characteristics are then defined: the critical realization problems (scale factors of the micro-accelerometers, spacecraft attitude control and restitution) are pointed out together with some ideas for their solution which are under analysis and require further study.

     

Etude comparative des differents resultats obtenus en geodesie spatiale sur le reseau europeen

Conclusions Les différentes méthodes de géodésie spatiale utilisées sur le réseau européen ont prouvé la possibilité d'établir un réseau primaire à grandes milles, entre1500 et2000 kilomètres, avec une précision de3 à5 mètres sur les cordes, et d'environ0″5 sur l'orientation, et peut-être mieux. Le dépouillement complet de l'expérienceRCP 133 pourra confirmer ces chiffres et permettra de vérifier en particulier le facteur d'échelle trouvé. Les méthodes géométriques semblent les plus adaptées à ce travail, mais il serait nécessaire d'atteindre la précision ultime des Lasers:30 cm et d'utiliser les photographies d'écho Laser, l'expérience préliminaire réalisée par l'ONERA étant plus qu'encourageante à ce sujet. Les méthodes semi-dynamiques ont prouvé qu'avec un bon modèle de potentiel, on pourrait retrouver, même à l'échelle d'une portion de continent, la position du centre de gravité de la terre avec une précision d'environ20 mètres. Là encore, on peut espérer mieux: amélioration du modèle, choix de la période de traitement, utilisation d'autres satellites, utilisation de mesures photographiques (pour fixer l'orientation) et Laser. Le réseau constitué par les observations sur Pageos, avec pour échelle la distance San Fernando—Haute Provence, sera déjà une première réalisation de réseaux primaires. Mais il serait probablement souhaitable, à l'occasion du lancement de GEOS-C, d'établir un réseau optimisé et avec le maximum de précision.     

Les mouvements de l'ecorce terrestre et leur observation geodesique

Conclusion Les exemples cités dans cet article et étudiés en Tchécoslovaquie montrent que sur la terre entière, se produisent des mouvements de l'écorce terrestre, horizontaux et verticaux, positifs et négatifs. En même temps on peut constater que ce sont les régions de tectonique jeune qui subissent ces mouvements et qu'ils s'y manifestent beaucoup plus intensivement (système slovaco—carpathien) que sur les masses de continent plus stables de l'écorce terrestre (Bohême et Moravie—Massif de Bohême) et que dans les régions séismiquement actives (bassin de Komarno en Slovaquie du Sud) leur direction peut changer. On peut supposer que ces mouvements provoquent certaines tensions dans les roches de l'écorce terrestre. Si une réserve suffisante d'énergie potentielle s'accumule en forme de tensions élastiques, il suffit d'une impulsion insignifiante (par ex. des dérangements aux lieux, fatigués tectoniquement, une altération du milieu minier par l'exploitation, etc..) pour transformer l'énergie potentielle accumulée en énergie cinétique. Ensuite se produisent des pressions des roches, des secousses et des dérangements différents de la structure des roches et par suite des mouvements secondaires. A. PELNAR conclut également que les secousses dans les mines de Pribram en Bohême peuvent être causées par des mouvements verticaux petits, mais bien impétueux des massifs, montagneux, moyennant quoi une énergie considérable se libère par un, écrasement des établissements miniers. Comme les mouvements mentionnés sont fonction du temps, les changements de tension et les déformations dans les roches et leurs conséquences se présentent comme une fonction du temps. L'importance des études de l'écorce terrestre est immense non seulement au point de vue scientifique (géologie, géodésie, géophysique), mais aussi au point de vue pratique (géologie d'ingénieur, industrie minière). L'étude détaillée des mouvements de l'écorce terrestre, de leurs causes, de l'énergétique, de l'action, de la connection et des conséquences de leurs marques permettra de résoudre un nombre de problèmes, parmi les autres même le problème des pressions et des couches montagneuses et aidera à résoudre maintes discussions à cet égard (voir par ex. la discussion entre le savant tchèque A. PELNAR et le spécialiste G. SPACKELLER sur la question de savoir si les secousses à Ostrava sont causées par les dernières manifestations du plissement varisque ou si elles sont provoquées par l'exploitation des mines ou toute autre cause inconnue. Les mouvements du groupe B joueront aussi un r?le important dans la solution de ces problèmes.     

Contribution au probleme de la compensation des reseaux de triangulation

Résumé Dans cette étude on expose une adaptation de la méthode des directions —pour la compensation d’un réseau de triangulation—aux possibilités de l’ordinateur électronique. On présente les formules par lesquelles on calcule les coefficients des inconnues dans les équations de condition (équations aux angles et équations aux c?tés) et on dresse leur matrice. Ensuite on traite de la formation de la matrice des coefficients des équations normales et son inversion, qui fournit les quantités corrélatives de Lagrange. Enfin, après avoir déterminé les corrections à apporter aux directions observées, on calcule l’erreur moyenne quadratique d’une observation isolée et l’erreur moyenne de chacune des directions compensées.

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Summary In this study, an adaptation to the computers’ possibilities, regarding the method of directions, is disclosed in order to realise the adjustment of triangulation nets. The computing formulae of the coefficients of the unknown quantities in the condition equations and the creation of their matrix are given herebelow. The treatment leading towards the construction of the matrix of normal equations and its inversion, that furnishes Lagrange’s quantities, follows. After the computation of the corrections applied on the observed directions, the mean error of a single observation and the mean error of every adjusted direction are determined. The study is executed in such a way that it can be included in only one programme for automatic computation.