计算Legendre函数导数的非奇异方法

引力场关于经度和纬度方向的梯度在两极附近会产生奇异性现象,这将会给诸如重力场和静态洋流探索(GOCE,Gravityfield and stesdy-state Oceam Circulation Explorer)数据处理等引力场的研究工作带来诸多不便和困难.这里首先分析了该奇异性产生的原因,即目前采用的球坐标系自身在两极处是奇异的;然后利用Legendre函数的性质推导了一组不含任何奇异性的计算引力场梯度的计算公式;最后与常用的迭代方法进行了实例计算比较,结果表明所导出的公式不仅计算精度大大提高,而且计算用时也不会增加.     

引力场梯度张量的非奇异公式推导

传统的引力场梯度计算公式在两极附近存在奇异性,需要换用其他的非奇异计算公式。从奇异性产生的原因入手,并结合勒让德函数的有关性质,推导了一组新的计算公式。实际计算验证了该公式的正确性和有效性。     

球冠谐分析中非整阶Legendre函数的性质及其计算

局部重力场的谱方法是当前重力学的研究方向,该方法的核心问题是如何构造合适的谱函数以及如何对谱函数实施快速、有效的计算。当所研究的区域近似一个球冠时,迂冠谐函数是该区域对应的谱函数,它由非整阶勒让德（Ｌｅｇｅｎｄｒｅ）函数和三角函数组成,显然非整阶勒让德函数的构造和计算是研究球冠谐函数的关键。本文研究了非高小阶勒让德函数的性质和实用计算方法,包括如何对非整阶勒让德函数实施规格化处理。     

缔合Legendre函数二阶导数的快速稳定递推算法

根据初等代数的基本原理,推导了一种缔合Legendre函数二阶导数的快速稳定递推算法。数值测试结果表明,在阶次高达3 600时,该方法与其他几种现有方法的计算精度相当,但计算效率比其他方法提高了一倍以上,并且该方法没有奇异性,适用于快速精确地计算任意纬度的缔合Legendre函数二阶导数值     

关于勒让德函数的一组特殊定积分递推公式

根据勒让德函数理论的基本递推公式和基本性质 ,详细推导了在重力梯度调和分析中出现的一组特殊定积分的递推公式 ;并且指出 ,这组递推公式对于物理大地测量的调和分析理论也具有一定的价值。     

关于勒让德函数的一组特殊定积分递推公式

根据勒让德函数理论的基本递推公式和基本性质,详细推导了在重力梯度调和分析中出现的一组特殊定积分的递推公式;并且指出,这组递推公式对于物理大地测量的调和分析理论也具有一定的价值.     

勒让德函数数值积分方法的改进

在分析已有的关于缔合勒让德函数数值积分的基础上,在数值积分上下限不确定(不是通常的±1)的情况下提出一种新的递推方法,计算结果表明新的方法既可以减少数值计算的递推过程,快速地得到计算结果,又可以节省计算机的内存。该方法可以广泛应用于需要进行勒让德函数数值积分的各个方面。     

多种超高阶次缔合勒让德函数计算方法的比较

扩展高阶和超高阶重力场模型的构制与应用的数值稳定性取决于超高阶次缔合勒让德函数的计算方法.文中详细介绍了现有的多种缔合勒让德函数的递推计算方法:标准前向列推法、标准前向行推法、跨阶次递推法和Belikov列推法.从计算速度、计算精度和计算溢出问题3个角度分析比较了阶次高至2 160阶的各种方法的优劣.通过数值试验证明,Belikov列推法和跨阶次递推法是计算超高阶次缔合勒让德函数较优的方法,而其他几种方法不能用于超高阶次缔合勒让德函数的计算.文中结论为超高阶次球谐综合与球谐分析的数值计算提供了可靠的依据.     

多种超高阶次缔合勒让德函数计算方法的比较

扩展高阶和超高阶重力场模型的构制与应用的数值稳定性取决于超高阶次缔合勒让德函数的计算方法。文中详细介绍了现有的多种缔合勒让德函数的递推计算方法:标准前向列推法、标准前向行推法、跨阶次递推法和Belikov列推法。从计算速度、计算精度和计算溢出问题3个角度分析比较了阶次高至2 160阶的各种方法的优劣。通过数值试验证明,Belikov列推法和跨阶次递推法是计算超高阶次缔合勒让德函数较优的方法,而其他几种方法不能用于超高阶次缔合勒让德函数的计算。文中结论为超高阶次球谐综合与球谐分析的数值计算提供了可靠的依据。     

根据地球重力场模型计算网格剩余垂线偏差

本文介绍一种根据重力场模型计算网格剩余垂线偏差的方法，导出了一组计算完全正规化连带勒让德函数积分的实用公式，经卫星测高数据处理的实际应用，证明这种方法是有效的。     

Non-Singular Expressions for the Gravity Gradients in the Local North-Oriented and Orbital Reference Frames

The conventional expansions of the gravity gradients in the local north-oriented reference frame have a complicated form, depending on the first- and second-order derivatives of the associated Legendre functions of the colatitude and containing factors which tend to infinity when approaching the poles. In the present paper, the general term of each of these series is transformed to a product of a geopotential coefficient and a sum of several adjacent Legendre functions of the colatitude multiplied by a function of the longitude. These transformations are performed on the basis of relations between the Legendre functions and their derivatives published by Ilk (1983). The second-order geopotential derivatives corresponding to the local orbital reference frame are presented as linear functions of the north-oriented gravity gradients. The new expansions for the latter are substituted into these functions. As a result, the orbital derivatives are also presented as series depending on the geopotential coefficients multiplied by sums of the Legendre functions whose coefficients depend on the longitude and the satellite track azimuth at an observation point. The derived expansions of the observables can be applied for constructing a geopotential model from the GOCE mission data by the time-wise and space-wise approaches. The numerical experiments demonstrate the correctness of the analytical formulas.An erratum to this article can be found at     

伴随勒让德函数的一个注记

证明了伴随勒让德函数Ｐｎｋ （ｘ） 的导函数Ｐ′ｎｋ （ｘ） 相应于次ｋ 在〔－ １ ， １〕上关于权函数ρ（ｘ） ＝ １ － ｘ２ 具有部分正交性。     

完全正常化缔合勒让德函数及其导数与积分的递推关系

在地球重力场问题中,常用到完全正常化缔合勒让德函数及其导数、积分的递推关系。当前流行的地球扰动位模型均采用完全正常化的缔合勒让德函数,用此类模型可以高效方便计算各种扰动重力场元。随着本世纪多个新一代卫星重力探测计划成功实施,高阶或超高阶地球重力场模型的研究备受学界的关注。有关完全正常化缔合勒让德函数的递推关系对于高阶重力场模型具有特别意义。本文在前人研究的基础上,用初等微积分导出了若干新的递推关系式。同时还推导了正常化缔合勒让德函数及其导数、积分的检核式,这些检核式涉及地球位的球谐级数的数学性质。     

利用先验重力场模型对GOCE卫星重力梯度观测值进行校准分析

GOCE卫星任务搭载了高灵敏度的重力梯度仪,其观测值用于恢复高精度高分辨率的地球重力场。本文利用EIGEN-5C、EGM2008、GOTIM3、GGM03S高精度全球重力场模型,确定了GOCE引力梯度张量的对角分量观测值(Vxx、Vyy、Vzz)的校准参数,分析了比例因子的稳定性,并讨论了相同模型不同阶次、同阶次不同模型以及是否估计漂移参数对比例因子、偏差参数及校准观测值的影响。研究表明比例因子的稳定性在10-4的量级,利用250阶的EIGEN-5C模型和EGM2008模型校准得到观测值的差异小于10-4 E,远远小于观测误差,以1d为周期估计校准参数时,是否估计漂移对校准结果的影响达到0.4E。同时,校准前后观测值差异的频谱说明校准过程主要影响Vxx、Vyy、Vzz观测值的低频部分,即来自先验重力场模型的中低(150)阶次,考虑到GOCE引力梯度的观测频带,校准后的观测值可用于恢复中高频的重力场信号。     

Optimal multi-step collocation: application to the space-wise approach for GOCE data analysis

Collocation is widely used in physical geodesy. Its application requires to solve systems with a dimension equal to the number of observations, causing numerical problems when many observations are available. To overcome this drawback, tailored step-wise techniques are usually applied. An example of these step-wise techniques is the space-wise approach to the GOCE mission data processing. The original idea of this approach was to implement a two-step procedure, which consists of first predicting gridded values at satellite altitude by collocation and then deriving the geo-potential spherical harmonic coefficients by numerical integration. The idea was generalized to a multi-step iterative procedure by introducing a time-wise Wiener filter to reduce the highly correlated observation noise. Recent studies have shown how to optimize the original two-step procedure, while the theoretical optimization of the full multi-step procedure is investigated in this work. An iterative operator is derived so that the final estimated spherical harmonic coefficients are optimal with respect to the Wiener–Kolmogorov principle, as if they were estimated by a direct collocation. The logical scheme used to derive this optimal operator can be applied not only in the case of the space-wise approach but, in general, for any case of step-wise collocation. Several numerical tests based on simulated realistic GOCE data are performed. The results show that adding a pre-processing time-wise filter to the two-step procedure of data gridding and spherical harmonic analysis is useful, in the sense that the accuracy of the estimated geo-potential coefficients is improved. This happens because, in its practical implementation, the gridding is made by collocation over local patches of data, while the observation noise has a time-correlation so long that it cannot be treated inside the patch size. Therefore, the multi-step operator, which is in theory equivalent to the two-step operator and to the direct collocation, is in practice superior thanks to the time-wise filter that reduces the noise correlation before the gridding. The criteria for the choice of this filter are investigated numerically.     

超高阶重力场模型的研究与实现

超高阶重力场模型的提出使大地水准面差距的计算结果越来越精确。本文主要介绍了采用重力场模型计算大地水准面差距的算法,采用标准向前列递推法求解缔合勒让德函数值,增大勒让德函数前三项,避免产生超高阶递推过程的不稳定现象。结果表明:增大勒让德函数前三项能稳定递推至2 700阶,验证了大地水准面差距验证算法、软件的正确性与可行性。