Sur les solutions particulières du problème généralisé des trois corps solides

Résumé Il est envisagé dans ce travail le problème généralisé du mouvement translatoire-rotatoire des trois corps solides.Il est supposé que chaque particule élémentaire du chacun corps agit sur chaque particule d'autre corps par une force (d'attraction ou de répulsion), dirigée suivant la droite, passante par ces deux particules. Cette force est proportionnele à produit des masses des deux particules et à une certaine fonction du temps, de la distance mutuelle et des ses dérivées première et seconde.On ne suppose pas, que le troisième axiome de la dynamique Newtonienne a lieu, de sorte que notre système des trois corps se trouve sous l'influence des six forces distinctes.Les équations fondamentales du mouvement translatoire-rotatoire des trois corps solides n'admettent pas, en général, des intégrales premières classiques.Nous avons établie auparavant les conditions à laquelles doivent satisfaire les corps pour que le problème posé admettra lesmouvements plans, c'est-à-dire les tels mouvements quand les centres des masses des trois corps restent toujours dans un plan invariable et chaque corps est assujetti à tourner autour d'axe, qui est perpendiculaire à ce plan invariable.Il est établie, que le problème admet ces mouvements plans au cas où chaque des trois corps possède d'une symétrie dynamique et géométrique par rapport d'un plan, passant par le centre des masses. Il est étudie plus loin la question d'existence des tels mouvements plans dans lequels les centres des masses des trois corps forment toujours un triangle équilateral (solution Lagrangienne), ou restent toujours sur une ligne droite (solution Eulerienne). Il est montré, que ces mouvements peuvent exister au cas où chaque des trois corps possède, outre la symétrie par rapport d'un plan, encore d'une symétrie dynamique et géométrique par rapport d'un axe, perpendiculaire à plan de la symétrie.Dans ces solutions chaque corps tourne uniformément autour cet axe avec vitesse angulaire, indépendante des paramètres des mouvements orbitaux des centres des masses.Sont obtenues les conditions à laquelles doivent satisfaire les lois des forces actives et les caractéristiques de structure des corps pour que ces mouvements Lagrangiennes et Euleriennes pourront être exister.On donne les exemples. Il est envisagé, en particulier, le cas où chaque corps est une sphère avec la distribution sphérique de la densité, et les particules élémentaires s'exercent mutuellement par les lois du Newton-Coulont (d'attraction ou de répulsion), avec les coefficients de la proportionnalité dépendant du temps. Alors, les solutions Lagrangiennes peuvent exister au cas seulement où chaque corps agit sur les deux autres par le même loi.Les solutions Euleriennes peuvent exister au cas seulement où les coefficients sont des constantes, ou bien sont les produits de celles constantes par une fonction unique du temps.Les résultats analogues sont établies pour les corps arbitraires, possèdant la symétrie axiale, dont les particules élémentaires s'exercent aussi par les lois du Newton-Coulont.Remarquons maintenant, que les résultats exposés dans ce travail montrent que les solutions célèbres du Lagrange et Euler dans le problème classique des trois points matériels, s'attirant mutuellement selon loi du Newton, existent aussi dans le problème des trois corps solides avec les suppositions les plus générales pour les forces actives. De cette façon il est établie, que ces mouvements classiques, ayant d'une grande importance pour la mécanique céleste contemporaine, possédent d'une stabilité d'un genre singulier remarquable.En effet, les configurations triangulaires et rectilignes des trois corps peuvent se conserver indéfiniment avec les changements différents des lois des forces actives, aussi qu'avec les changements divers des structures des corps solides en mouvement (dans cértaines conditions aussi pour les corps fluides).D'un autre côté, les résultats obtenus ont, comme il semble à l'auteur de ce travail, non seulement l'intérèt purement théorique, mais peuvent avoir aussi les applications dans les problèms concrets du mouvement des corps célestes dans les domaines très éloignés d'espace cosmique.En effet, il parait indubitable, que dans les divers domaines d'univers et dans les divers systèmes cosmiques, peuvent avoir lieu les actions mutuelles très différentes, qui peuvent en outre se changer avec le temps.La loi d'attraction universelle du Newton, qui est probablement assez suffisante pour notre système solaire, est sans doute une approximation grossière et douteuse seulement des lois réelles de la Nature.

---

In the present paper, the generalized problem of translatory-rotatory motion of three rigid bodies, whose elementary particles act upon each other according to arbitrary laws of forces along the straight line joining them, is discussed.Author has shown that this problem admits particular solutions, analogous to the classic solutions of Lagrange and Euler, when each body possesses axial symmetry. In these solutions the centres of mass of the three bodies form an equilateral triangle (Lagrangian solutions) or remain always on a straight line (Eulerian solutions). Each body turns uniformly around its axis of symmetry, which remains always perpendicular to the plane of motion of centres of mass.

     

Cas special du probleme restreint des trois corps (special cases of restricted three-body problems)

Resume Nous envisageons ici le problème, posée par l'académicien A. J. Ichlinsky (Académie des Sciences, U.R.S.S.). Deux masses actifs égales tournent par une orbite circulaire kepleriènne. Deux autres masses égales, simétriques par rapport à, le centre de cette orbite, se trouvent sous l'attraction des masses actifs et s'attirent l'un l'autre, mais n'agissent sur les masses actifs. Il est montré, que le mouvement de chaque masses passives est suffisament proche au mouvement d'une masse passive dans le problème de Kopenhague. En particulier problème d'Ichlinsky admet les solutions particulières, voisines aux solutions lagrangiènnes du problème de Kopenhague. Toutes ces solutions particulières sont instables mais admettent les solutions périodiques, voisines aux solutions lagrangiènnes. Le problème posée peut être applicable aux quelques problèmes de la mécanique celeste stellaire.

---

In this paper we consider the some special cases of restricted three-body problems, proposed by academician A. J. Ichlinsky.

     

Cosmologie,systemes d'unites et theorie de Weyl

Sommaire Nous considérons ici le problème du changement d'unités en physique au moyen de la théorie des groupes. Nous proposons une définition du changement d'unités fondée sur l'existence de trajectoires de groupe dans la variété. Les applications de cette méthode permettent de comprendre pourquoi les systèmes d'unités gravitationnel et atomique, bien que calqués sur le même modèle, restent cependant indépendants. Le mélange de plusieurs systèmes d'unités, comme par exemple l'interprétation de résultats optiques au moyen de mesures atomiques, conduit à l'échelle cosmologique à des décalages spectraux, et pourrait être à l'origine de certains décalages spectraux anormaux. L'utilisation des espaces de Weyl intégrables apparaît comme naturelle dans cette théorie: les coefficients _j de la forme linéaire fondamentale qui définit ces espaces résultent du groupe d'invariance considéré. Le choix du lagrangien apparaît comme un choix d'unités et permet de comprendre comment une constante, universelle dans un système d'unités, peut devenir fonction du temps par exemple dans un autre système.     

Etude d'une solution de la theorie litterale du probleme principal du mouvement de la Lune convergence formelle

Résumé Dans l'exposé qui va suivre, nous rappelons d'abord le système d'équations et le mode d'intégration que nous avons utilisés pour construire une théorie littérale du problème principal du mouvement de la Lune. En particulier, puisque, du fait de la présence des petits diviseurs, nous avons à effectuer plusieurs itérations à un ordre donné, pour obtenir tous les termes correspondant à cet ordre, nous allons étudier un système d'équations réduit qui se substitue au système complet, après la première intégration à un ordre donné. Ce système permet d'alléger au maximum les calculs.Nous étudions alors la convergence formelle de la solution littérale obtenue. Cette démonstration est faite par récurrence. Au cours de celle-ci, nous avons utilisé les propriétés du système d'équations réduit (C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10, C11, et C12), système dont nous donnons dans les tableaux I à IV, les coefficients et les arguments. L'étude de l'ordre des termes engendrés par ce système nous permet de conclure que, si l'on connaît tous les termes d'ordren–1 alors on peut déterminer tous les termes d'ordren.Enfin, nous indiquons les résultats que nous avons actuellement obtenus par cette méthode.

---

In this paper, we first recall the set of equations and the method of integration for a literal solution of the main problem of the lunar theory. As, owing to small divisors, we have to make many iterations at a given order to obtain all the corresponding terms, we study a restricted set of equations which replaces the complete system after the first integration at a given order. This set helps to make the calculations less bulky.Then we study the formal convergence of the literal solution thus obtained. The demonstration uses a recurrent process in which we made use of the properties of the restricted system of equations (C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10, C11 and C12), the coefficients and arguments of which are given in Tables I to IV.The study of the order of magnitude of the terms formed by this system leads to the conclusion that if then–1 order terms are known, all then-order terms may be determined.In the end, we show the results obtained so far with this method.

     

Transformation invariante du problème des deux corps associée à l'excentricité

Dans un système d'axes fixes le problème gravitationnel des n. corps possède quatre groupes d'invariance (rectifications). Aucun de ces groupes ne peut échanger une solution non bornée et une solution bornée.Dans le cas du problème non circulaire et non rectilinéaire des deux corps, une transformation paramétrique peut-être définie, changeant seulement l'exentricité et l'horaire. Cette transformation est de type homographique et son expression anlytique dépend des valeurs de l'exentricité par rapport à l'unité. Par conséquent, une solution hyperbolique ou parabolique peut-être changée en une solution elliptique. Les applications et l'utilité d'une telle transformation concerne les captures des comètes. Finalement, une hypothétique extension est indiquée pour le problème des n. corps.

---

Invariant transformation of the two-body problem associated with eccentricity

In an absolute reference frame the gravitational n-body problem possesses four groups of invariant transformations (rectifications). But no one can change an unbounded solution into a bounded solution.For the non-circular two-body problem, having non-zero angular momentum a parametric transformation may be defined changing only the eccentricity and the time. This transformation is of homographic type, and it is an analytical expression depends on the value of the eccentricity with respect to unity. Therefore an hyperbolic or parabolic solution may be changed into an elliptic solution. The application and usefulness of this transformation is concerned with the capture of comets [5].Finally, an hypothetic extension is indicated to the n-body problem.

     

Enveloppe de poussiere circumstellaire des Novae

Résumé Nos études nous ont amené à découvrir que toutes les novae sont entourées par une enveloppe de poussière. Cette enveloppe, qui a un rayon de 5×10¹⁴ à 5×10¹⁵ cm, existe avant l'explosion de la nova. Nous avons mesuré les valeurs, d'une part, de l'absorption visuelle de l'enveloppe poussièreuse circumstellaire de la Nova Delphini qui est de 1,12, 3,29 et 2,24 magnitudes pour les années 1968, 1969 et 1970, tandis qu'elle est de 3 m environ pour la Nova Serpentis 1970, durant le début de l'activité, et celles, d'autre part, du rapport de l'absorption visuelle à l'excès de couleurE _B-V de la Nova Delphini qui est environ de 2,35 2,75 et 3,36 respectivement pour les années 1968, 1969 et 1970. Nous voyons que l'effet du rougissement de l'enveloppe circumstellaire sur les flux des raies est très important; ainsi le flux observé de la raieH doit être multiplié par un facteur de l'ordre de 30, pour éliminer l'effet de rougissement circumstellaire.En outre, nous avons trouvé que les particules constituant l'enveloppe circumstellaire ont un rayon de 0,1 micron, avant l'explosion, et que pour pouvoir interpréter les phénomènes observés, il faut considérer les particules de rayon 0,1 micron comme des noyaux de condensation pour former des particules de grandes dimensions. L'augmentation du rayon de ces particules, durant l'activité de la nova, est due à des collisions entre les particules de poussière (qui existent avant l'explosion), et la matière éjectée par la nova elle-même.

---

Our studies have led us to conclude that all Novae are surrounded by a dusty envelope. This envelope which has a radius of 5×10¹⁴ to 5×10¹⁵ cm, exists before the explosion of the Nova. We have measured visual absorptions of the circumstellar dusty envelope of Nova Delphini of the order of 1.12, 3.29, and 2.24 magnitudes in 1968, 1969, and 1970, respectively, while that of Nova Serpentis was of the order of 3 magnitudes at the start of its activity. Also we have found the ratio of visual absorption to the colour excessE _B-V for Nova Delphini, which was of the order of 2.35, 2.75, and 3.36 for 1968, 1969, and 1970, respectively. Therefore, we see that the effect of the reddening of the circumstellar envelope on the line fluxes is very large; thus the flux ofH needs to be multiplied by a factor of order 30, to eliminate the effect of circumstellar reddening.We also found that the particles of the circumstellar envelope have a radius of 0.1 micron before the explosion and that, in order to interpret the observed phenomena, one must consider the 0.1 micron radius particles as condensation nuclei, for the formation of large particles. The increase in particle radius during the activity of a Nova is due to collisions between dust particles (which exist before the explosion) and gas ejected by the Nova.

     

Homographic motions of a Newtonian system of point masses

A complete classification is established of the possible types of homographic motions of a Newtonian system of point masses interacting through two-body forces which are arbitrary functions of their mutual separations. Several types of motion are included which had not been considered previously, but not all possible rigid body motions; thus it is not possible to build up rigid body dynamics from point dynamics by means of static two-body forces. All general results hold even if many-body forces are considered, which are functions of all separations. In an Appendix, the problem of homographic motions of a relativistic system of interacting point masses is outlined. For a particular form of relativistic interactions, the existence of several types of such motions is established.

---

Zusammenfassung Für ein Newtonsches System von Punktmassen mit Zweikörperkräften, die willkürliche Funktionen der Abstände sind, wird eine vollständige Klassifikation aller möglichen Ähnlichkeitsbewegungen gegeben. Sie schliesst mehrere Typen von Bewegungen ein, die bisher nicht in Betracht gezogen wurden, enthält aber nicht alle möglichen Starrkörperbewegungen; daher ist es nicht möglich, die Starrkörperdynamik von der Punktdynamik mit statischen Zweikörperkräften her aufzubauen. Alle allgemeinen Ergebnisse gelten selbst wenn Vielkörperkräfte in Betracht gezogen werden, die Funktionen aller Abstände sind. In einem Anhang wird das Problem der Ähnlichkeitsbewegungen eines relativistischen Systems von Punktmassen skizziert. Für eine besondere Form der relativistischen Wechselwirkung wird die Existenz mehrerer Typen solcher Bewegungen bewiesen.

---

Sommaire On établit une classification complète des types possibles des mouvements homographiques pour un système Newtonien de masses ponctuelles avec des forces entre paires de particules qui sont des fonctions arbitraires de leur distance mutuelle. Plusieurs types de mouvements sont inclus qui n'ont pas été considérés auparavant, sans toutefois inclure tous les mouvements possibles d'un corps solide; donc il n'est pas possible de construire la dynamique du corps solide en partant de la dynamique des points avec des forces statiques entre pairess de particles. Tous les résultats généraux restent valables même avec des forces généralisées dependant de toutes les distances. Dans un Appendice, on donne une prësentation générale du problème des mouvements homographiques pour un système relativiste de masses ponctuelles. L'existence de plusieurs types de tels mouvements est établie pour une forme particulère des interactions relativistes.

---

---

Research supported in part by the National Science Foundation.     

Lois exponentielles de distance pour les systèmes de satellites

Résumé Une formulation exponentielle de la loi empirique de Titus-Bode a été proposée par Basano et Hugues. Ces auteurs introduisent l'hypothèse de trois planètes manquantes ou trous. Toutes les planètes obéissent à la relation a _n = ⁿ qui donne les demi-grands axes a des planètes pour des valeurs entières de n.Nous proposons une nouvelle méthode qui permet de retrouver la relation de Basano et Hugues pour le système solaire. Nous appliquons cette méthode aux systèmes de satellites de Jupiter, Saturne et Uranus en introduisant des trous pour combler les lacunes dans les séquences de satellites. Nous en tirons trois relations exponentielles de distance, analogues à la relation de Basano et Hugues. Nous constatons que les coefficients sont semblables pour les systèmes solaire, jovien et uranien alors que le coefficient du système de Saturne vaut approximativement la racine carrée des trois autres .Nous expliquons cet espacement exponentiel grâce à un modèle simple d'une nébuleuse gazeuse initiale soumise à de petites perturbations qui engendrent des oscillations dans la distribution de densité. Les minima de la densité perturbée sont donnés par les zéros des fonctions de Bessel décrivant la propagation de la perturbation. Les positions des maxima correspondent aux sites d'accrétion.Tous les trous introduits dans les parties intérieures des systèmes de satellites sont comblés par les anneaux et petits satellites. Dans le système d'Uranus, il reste deux trous vacants qui pourraient être occupés par des petits satellites non encore découverts.

---

Exponential distance laws for satellite systems

A revised Titius-Bode law for the Solar system was proposed by Basano and Hugues, by introducing three missing planets. This law can be written a _n = ⁿ (with = 0.2853 AU and = 1.5226), which gives the distances a _n of the nth planet for successive integers n.We propose a new method to find this Basano-Hugues law for the Solar system. Based upon the comparison of the ratios of successive distances, this method can be applied to the satellite systems of the three giants planets Jupiter, Saturn and Uranus by introducing missing satellites to fill the gaps in satellites sequences. We find three exponential distance relations, similar to that of Basano-Hugues. We note that the coefficients for the Solar, Jovian and Uranian systems are almost equal while the Saturnian system's coefficient is nearly the square root of that of the three others.We explain that exponential spacing by a simple model of an initial gaseous nebula subject to small perturbations generating oscillations in the density distribution. The minima of the perturbed density are given by the zeros of Bessel functions describing the perturbation propagation. The maxima positions correspond to accretion sites.All the empty places in the inside parts of satellite systems are occupied by rings and small satellites. In the Uranian system, there are two empty places which could be filled by new undiscovered small satellites.

     

Comparaison de catalogues de crateres lunaires

Résumé La partie systématique des différences entre les positions des cratères de plusieurs catalogues est développée en harmoniques sphériques. L'application du test en ² détermine l'ordre du développement. La méthode a été appliquée pour comparer le système de référence de Arthur avec les catalogues de Schrutka-Rechtenstamm et Gavrilov. On obtient les surfacesf (l, b) des différences systématiques de ces catalogues. La zone centrale de la face visible de la lune (± 40° en latitude et longitude) est bien déterminée, mais la zone marginale présente des différences systématiques qui peuvent atteindre le kilomètre.

---

The systematic part of the differences between positions in crater catalogues is expanded into spherical harmonics. The application of the ² test determines the highest order of the expansion. The method was applied to compare the Arthur System with the Schrutka-Rechtenstamm and Gavrilov catalogues. The surfacesf (l, b) of systematic differences from these catalogues were obtained. The central zone of the near side of the Moon (± 40° in latitude and longitude) is well determined but the marginal zone presents systematic differences that can be as large as one kilometer.

     

Cas special du probleme restreint des plusieurs corps

Résumé Nous considerons ici un cas particulier du problème restreint des n+1 corps. Les n points matériels actifs des masses unitaires sont situés dans les sommets d'un polygone équilatéral, qui tourne uniformément autour son centre. Ces n corps agissent sur un point matériel passif par une loi quelconque. On trouve les points de libration correspondants et on recherche le problème de la stabilité de ces points au sense de Liapounov.

---

In this paper we consider the some special case of restricted multi-body problem.

     

Morphologie et formation de la lune

La dissymétrie du faciès lunaire en ce qui concerne la répartition des mers et des anomalies gravitiques, ainsi que l'existence des grands cratères rayonnants sur la seule face visible sont mis en rapport avec la genèse de la lune à partir du magma terrestre.Projeté dans le vide interplanétaire, ce magma aurait subi un processus de détente partielle accompagnée de dégazage, donnant ainsi lieu à la formation d'innombrables sphéroïdes plus ou moins visqueux retombant par la suite sur le noyau de la lune en donnant, selon leur taille et leur composition, les mers et les cratères continentaux. Ce point de vue, qui concilie dans une certaine mesure les théories météoritiques et volcaniques du relief lunaire, est justifié par un examen détaillé de ce relief.     

Evolution du spectre de HR Del de 1973 À 1979

Résumé De 1973 à 1979, on observe une diminution de l'intensité des raies d'émission et du continuum de HR Del au cours du temps.En 1978, on note la disparition des raies de haute excitation.La répartition énergétique spectrale dans le continu reste sensiblement la même dans l'intervalle 4000–5000 Å. Le fort excès ultraviolet trouvé de 3600 à 3250 Å est confirmé par les observations dans l'ultraviolet lointain effectuées à l'aide du satellite IUE.Nos observations montrent un important changement dans la structure des raies 4959 et 5007 Å de [Oiii] entre 1973 et 1976, les composantes polaires devenant plus faibles que les composantes équatoriales.

---

From 1973 to 1979, the intensity of emission lines and continuum of HR Del has steadily diminished.High excitation lines have disappeared in 1978.The spectral energy repartition in the continuum remains the same in the spectral range 4000–5000 Å. The strong ultraviolet excess found in the spectral range 3600–3250 Å is confirmed by IUE satellite observations in the ultraviolet.Our observations show an important change in the structure of the [Oiii] lines 4959 and 5007 Å between 1973 and 1976, the polar components becoming weaker than the equatorial ones.

     

Comparative performances of an objective grating concept in U.V. Spectroscopic observations of solar system objects

Prospects for an Earth-orbiting planetary observatory are fairly high for the next decade. Therefore, scientific priorities, subsequent requirements and their instrumental consequences have to be carefully analyzed.Detailed studies of spatio-temporal variations in the composition and chemistry of planetary atmospheres are of prime importance for the understanding of their evolution. Ultraviolet observations with an imaging spectrograph would be a means of partially fulfilling this objective. The performances of such an imaging spectrograph are studied in the case of observations of molecular absorption features in planetary atmospheres. A simple model of the source is used to simulate three-dimensional (spectral, spatial and temporal) data sets. We propose a method of data reduction which consists in focusing the images corresponding to different positions of the absorbing areas on the disk back onto a common frame of reference. The influence of the various parameters defining the absorption structure in the source on the contrast and width of the observed absorption dip is investigated as a function of the spectral dispersion of the instrument, as well as the effect due to spurious assumptions on the longitudinal position of the absorption area. A comparison with the performances of a long slit spectrograph capable of performing similar measurements shows that the objective grating concept, when it is optimized to the particular absorption bands of interest, has a significant advantage in terms of sensitivity, simultaneous spatial coverage and data reduction flexibility.

---

Résumé Il est probable qu'un observatoire planétaire orbital verra le jour dans les dix ans qui viennent. Par conséquent, il est nécessaire d'analyser avec soin les priorités scientifiques d'un tel observatoire, les contraintes qui en découleraient et leur traduction sur le plan instrumental.L'étude détaillée des variations spatio-temporelles dans la composition et la chimie des atmosphères planétaires est de premiére importance pour la compréhension de leur évolution. La possibilité d'observer dans l'ultraviolet moyen avec un spectrographe imageur serait un moyen de répondre au moins partiellement à cet objectif. Les performances d'un tel instrument appliqué à l'observation de structures d'absorption moléculaire dans les atmosphères planétaires sont le sujet de la présente étude. Un modèle simple de la source est utilisé pour simuler les données tri-dimensionnelles (spectrales, spatiales et temporelles). Nous proposons une méthode de réduction des données qui consiste à ajouter dans un système de référence commun les images correspondant aux positions successives d'une région d'absorption sur le disque. L'influence des divers paramètres qui définissent la structure d'absorption sur le contraste et la largeur de la région d'absorption telle qu'elle est observée dans les données réduites, est étudiée en fonction de la dispersion spectrale de l'instrument, de même que les effets produits par des hypothèses erronées sur la position longitudinale de cette structure. Comparé un spectrographe à fente de caractéristiques identiques, le concept à réseau objectif, dans la mesure où il est optimisé pour les bandes d'absorption intéressantes, apparait présenter un avantage significatif en termes de sensibilité, de couverture spatiale simultanée et de souplesse dans le traitement des données.

     

Analyse photométrique de la pénombre pendant les Éclipses de lune

Sommaire L'analyse photométrique de la pénombre pendant 21 éclipses de 1921 à 1968 sur la base d'un matériau homogène d'observations revèle des anomalies explicables par la luminescence du sol lunaire excitée par les radiations UV-X solaires dont les sources se situent dans la basse couronne et au-dessus des plages K-3. L'influence de la haute atmosphère terrestre se manifeste au bord de l'ombre.

---

Photometric analysis of the penumbra during 21 eclipses between 1921 and 1968 based upon the homogeneous observational material reveals some anomalies which may be explained by the lunar luminescence excited by UV-X solar radiations whose sources are located in the low corona and above the K-3 plages. The influence of the terrestrial upper atmosphere is detectable on the border of the umbra.

---

---

Ex-astronome à l'Observatoire de Bordeaux.

---

En congé de l'Institut Astronomique de l'Académie des Sciences, Prague.     

The swinging spring — Approximate analyses for low and very high energy,II

The two families of periodic solutions emanating from the lower equilibrium of a planar spring-pendulum system are analyzed both at and near resonance. Hamiltonian perturbation theory is used to obtain approximate formulas for the characteristic and the period of the motion. As the energy is increased to very high levels, a circulatory and an almost rectilinear periodic motion persist. Expressions for the trace of a stability matrix are determined for both these solutions. Comparisons are made throughout with accurate results from numerical integration.

---

Résumé Les deux familles de solutions périodiques qui proviennent de l'équilibre inférieur d'un pendule élastique plan sont analysées pour le cas de résonnance et dans le voisinage de résonnance. On emploie la théorie perturbatrice Hamiltonienne pour obtenir des formules d'approximation pour la caractéristique et pour la période du mouvement. Quand l'énergie est augmentée à des niveaux très élevés, un mouvement périodique circulatoire et un mouvement périodique presque rectiligne sont préservés. Des expressions pour la trace d'une matrice de stabilité sont déterminées pour les deux familles de solutions périodiques. Des comparaisons sont faites entre les formules d'approximation et des résultats précis obtenus par l'integration numérique.

     

Theorie analytique programmee de la libration physique de la lune

Résumé La rotation de la Lune autour de son centre de gravité est traitée par une méthode analytique, en tenant compte de son mouvement orbital. On développe une théorie Hamiltonienne en utilisant les variables d'Andoyer et l'on démontre que les écarts, purement périodiques, à trois relations de résonances similaires aux lois de Cassini, sont les variables canoniques du problème. Le potentiel est exprimé dans ces nouvelles coordonnées et l'Hamiltonien est développé jusqu'au deuxième degré en les petites variables. Un système d'équations donne le vrai centre de libration qu'on trouve proche du centre défini par les lois de Cassini. Un second système, résolu par un processus d'iterations, donne les séries de la libration, analytiques par rapport aux constantes du potentiel de la Lune et trigonométriques en les arguments de Delaunay. La question de convergence est brièvement abordée, mais sans démonstration.

---

The rotation of the Moon about its center of mass, taking into account the orbital motion, is treated analytically. A Hamiltonian theory is developed in terms of the Andoyer variables. The periodic parts of departures from three resonances, equivalent to Cassini's laws, are found to be the canonical variables of the problem. The potential is expressed as a function of these new coordinates and the whole Hamiltonian is developed to the second degree in these small variables. One system of equations gives the real center of libration which is found to be near the center defined by Cassini's laws. A second system solved by iterations, gives the libration as analytical series in the constants of the Moon's potential, and trigonometric series in Delaunay arguments. The question of convergence is briefly exposed without any demonstration.

---

---

Ce travail a été soutenu par une bourse du Centre National d'Etudes Spatiales.     

Theorie des planetes inferieures

Resumé La construction de théories planétaires a été entreprise au Bureau des Longitudes pour l'ensemble du système solaire. Il s'agit de théories semi-analytiques à variations séculaires ce qui signifie que les termes à longues périodes (périodes des périhélies et des noeuds comprises entre 50 000 ans et 2 000 000 d'années) ont été développés par rapport au temps. Ce sont donc des théories du type de celles de Le Verrier ou de Newcomb.Les théories de Le Verrier et de Newcomb ont une précision interne d'environ 0,1 pour les planètes inférieures. La théorie de Le Verrier-Gaillot a une précision interne de quelques secondes pour les grosses planètes. Mais les constantes d'intégration de, ces théories, la dégradation des éléments moyens due à l'imprécision des termes séculaires calculés font que la précision réelle est comprise entre quelques 0,1 et plusieurs secondes. La précision de la théorie du soleil de Newcomb, par exemple, est de l'ordre de 0,8.Les objectifs que nous nous sommes fixés sont d'atteindre en précision; pour les planètes inférieures 0,001 sur plusieurs siècles; pour les grosses planètes 0,01 sur un siècle, 0,1 sur 1000 ans.Cela implique de déterminer les perturbations au moins jusqu'a l'ordre 3 des masses pour les planètes inférieures et jusqu'à l'ordre 6 pour les grosses planètes.

---

Theory of the inner planets

In the contruction of planetary theories for the whole of the solar system undertaken at the Bureau des Longitudes, the aim is to obtain the precision of: for the inner planets 0.001 over several centuries; for the outer planets 0.01 over one century, 0.1 over 1000 years. To get these precisions one must compute the perturbations at least to the 3rd order of the masses for the inner planets and to the 6th order of the masses for the outer planets.We have used an iterative method which has given the perturbations up to the 6th order of the masses for the outer planets and a method working order after order with respect to the masses. Through the latter, we have built the perturbations up to the 3rd order with respect to the masses for all the planets.In the mean longitudes the precision now obtained is of 0.0005 for Mercury, 0.0030 for Venus and the Earth and 0.0047 for Mars.For Mercury, the obtained precision is about 130 meters. One has therefore to introduce besides the advance of the perihelium due to relativity, the periodic relativistic corrections, whose amplitude is over 3000 meters for that planet.We have completed our theory of the Earth-Moon barycenter by the relativistic effects, as well as by the perturbations due to the Moon. As a whole, our solution is about 100 times better than that of Newcomb. Our solution for the variablesq andp of the Earth shows that the equinox is moved by a periodic motion of 0.04 amplitude and with a period of 883 year-a thing not considered generally.the precision of our solution for the mean longitude of Mars is 0.0047, which means a real progress over the theory of Clemence. We have indeed noticed many arguments missing in that theory we last mentioned. For the years to come we intend to replace to theories of Le Verrier by these solutions in the ephemerides published by the Bureau des Longitudes. Beforehand we are going to improve the constants of integration by a comparison to numerical integrations or directly to observation.

---

---

Proceedings of the Conference on Analytical Methods and Ephemerides: Theory and Observations of the Moon and Planets. Facultés universitaires Notre Dame de la Paix, Namur, Belgium, 28–31 July, 1980.     

Analyse des renforcements coronaux a travers quelques acquisitions spectroscopiques récentes des émissions monochromatiques du fer ionisé (X à XV)

Résumé L'obtention de spectres coronaux fournit, après analyse, un certain nombre d'informations dont on va tenter ici de tirer quelques conclusions par confrontation avec des calculs théoriques.On discute d'abord les conditions de validité du problème. D'une part, une approche théorique délicate, où les calculs ne peuvent être conduits jusqu'à leur formulation numérique qu'au prix d'hypothéses critiquables (insistant davantage sur le problème de 1'équilibre cinétique et du vent solaire), et d'autre part, des observations sûres reflétant la complexité des structures coronales (négligeant cependant les difficultés inhérentes aux microstructures).Les calculs théoriques ont été effectués en tenant compte dans 1'évaluation des paramètres physiques fondamentaux, tels sections de chocs, des progrès récents en physique atomique. Les observations ont été effectuées à 1'Observatoire du Pic du Midi, dont les résultats d'ensemble et les problèmes divers de photométrie (calibrations précises, réductions des mesures, etc....) ont été exposés et discutés dans un article séparé.La résolution des équations classiques de l'équilibre statistique, qui se réduisent pour un ion déterminé a un système d'équations linéaires si l'on prend div = 0, fournit les valeurs des populations relatives des différents niveaux énergétiques. On a pu ainsi étudier le comportement de nombreuses raies spectrales, comprenant donc les six raies interdites observées, en fonction de la température et de la densité électronique.On cherche alors à interpréter les résultats de certaines observations. On a pu ainsi donner une explication possible de quelques anomalies constatées dans le comportement de Fe x, indicateur des centres actifs jeunes. A été mise également en évidence une corrélation assez étroite entre les intensités de Fe xi et Fe xiv, indicateurs des régions émissives à haute température. Fe xiii se révèle être par contre un indicateur sensible des régions de forte densité électronique. Le cas de Fexii est discuté à part.On tente alors de tirer des indications sur les conditions physiques existant dans les renforcements coronaux. On montre, à partir du tracé des courbes d'isorapports d'intensité, pour deux valeurs du facteur de dilution, qu'il peut y avoir un argument en faveur d'un transport de matière dans le plasma coronal. Vers 1,1 rayon solaire environ, un domaine possible de température et de densité peut être considéré: les fluctuations permises à 1'intérieur de cette région traduisent des hétérogénéités dans le renforcement coronal, principalement dans la phase jeune de développement du centre actif sousjacent. La variation de l'atmosphère étudiée avec l'altitude montre que les effets de diffusion des éléments lourds donnent un bon accord théorie-expérience entre 60000 et 90000 km du limbe.Diverses conséquences possibles sont alors envisagées au niveau des structures. On montre ainsi que les fluctuations d'intensité observées s'expliquent mieux en termes de variations de densité électronique qu'en termes de variations de température.Enfin, on étudie la non uniformité en température et en densité le long de la ligne de visée. Des conclusions non abusives peuvent être difficilement tirées; si à température (resp. densité) constante, on fait varier la densité (resp. température), les hétérogénéités en densité ne peuvent pas atteindre plus de 10% dans la zone de température envisagée. De nouveaux raffinements doivent être apportés, et on montre qu'une distribution gaussienne de la densité, jointe à une variation bicarrée de la température, le long de la ligne de visée, rendent mieux compte des observations.

---

Theoretical computation of the coronal spectrum have been performed and compared with observations carried out at the Pic du Midi Observatory, presented in a separate paper. The solution of the classical equations of statistical equilibrium for each of the ions led to a system of linear equations, if we take div = 0, and gives the values of the relative populations of the various energy levels. This enables one to study the behaviour of numerous spectral lines, including the six observed forbidden lines, as functions of temperature and electron density.A possible explanation can be given of some anomalies found in the behaviour Fe x, indicator of young active centers. A strong correlation between the intensity of Fe xi and Fe xiv indicates high temperature regions. Fe xiii is on the contrary a sensitive indicator of strong electronic density regions. The case of Fe xii is discussed apart. Arguments are given for the inflow of matter into coronal enhancements, derived from the study of isoratio curves of the intensity, for two values of the dilution factor. Indications for fluctuations in temperature and density are found at about 1.1 R . The fluctuations occur mainly in the young phase of development of the corresponding active centers.The incorporation of the effect of diffusion of heavy elements gives a good fit between theory and observation at altitudes between 60000 and 90000 km. The observed fluctuations of the intensities are better explained in terms of electronic density variations than of those of the temperature. The non-uniformity of temperature and density is studied along the line of sight: if at a constant temperature the density varies, the inhomogeneities in the density are always smaller than 10%. It is shown that along the line of sight a gaussian distribution of the density, together with a bi-squared variation of the temperature fits best with our observations.

     

Proprietes Geometriques des Equations d'Euler-Poisson du Corps Solide a Point Fixe

Introduction et résumé Le problème de la réduction à l'ordre deux des équations d'Euler-Poisson par les 3 intégrales premières classiques a été étudié par Leimanis en 1971. Dans cet article on se propose de reprendre ce problème d'un point de vue géométrique. On étudie systématiquement les propriétés géométriques des équations d'Euler-Poisson du mouvement du corps solide pesant à point fixe dans deux cas. Dans le premier cas, le corps solide est muni d'un moment gyrostatique constant par rapport à lui-même. On montre ici que la réduction des équations d'Euler-Poisson nous ramène aux trois équations d'Euler initiales avec une structure présymplectique, ceci grâce à la présence d'une forme invariante de volume. D'autres conséquences géométriques sont signalées.Dans le deuxième cas, on supprime le moment gyrostatique. On remarque alors une propriété supplémentaire par rapport au cas précédent: la présence d'une transformation infinitésimale dûe à l'homogénéité des équations. La réduction des équations peut s'effectuer d'une infinité de manières alors qu'elle était unique dans le premier cas. Ceci est illustré par le cas intégrable de la toupie symétrique où l'on met en évidence, de façon originale, les deux quadratures nécessaires.

---

Geometrical properties of the Euler Poisson's equations of a heavy rigid body about a fixed point

In this paper, we study the geometrical properties of the Euler Poisson's equations of the motion of a heavy rigid body about a fixed point. Two cases are studied. In the first on the rigid body has a gyrostatic moment, constant with respect to itself. It is shown, from the reduction of Euler Poisson's equations, we that we have a presymplectic structure for the initial Euler's equations, and this fact being due to the existence of an invariant volume. Other geometrical consequences are obtained.Secondly the rigid body is considered without its gyrostatic moment. We have here a new property which is the existence of an infinitesimal transformation, due to the homogeneity of the equations. Here the reduction of the equation can be made by an infinity of ways, when it was unique precedently. This study is illustrated by the integrable case of the symetrical top.

---

---

Paper presented at the 1981 Oberwolfach Conference on Mathematical Methods in Celestial Mechanics.     

Light deflection during solar eclipses

A simultaneity is observed between fluctuations in ellipticity of the solar corona and variation of the light deflection by the Sun, during the eclipses.

---

Résumé On constate une simultanéité entre les fluctuations de l'ellipticité de la couronne solaire et les variations des déviations de la lumière, par le soleil, durant les éclipses.