Sur les petits diviseurs I. (complement). Les series de V. Zeipel [on the small divisors. I. (complement). the V. Zeipel's series]

Résumé On démontre ici la convergence des séries de v. Zeipel excluant les termes à courte période de la fonction perturbatrice.

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The convergence of the v. Zeipel's series excluding the short periodic terms of the perturbation function has been established.

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Cette remarque est due à M.N.N. Vassiliéff, à qui l'auteur expresse ici sa reconnaissance.     

Sur l'existence d'un champ magnetique dans les nebuleuses planetaires

Résumé Après avoir écrit le système d'équations de la magnétohydrodynamique régissant le transport du champ magnétique avecla matière nébulaire, nous montrons, sous des hypothèses simples, que sa résolution conduit naturellement à la présence d'un champ magnétique 10^–3–10^–4 G au sein du gaz nébulaire, le champ au voisinage de l'étoile centrale étant supposé de l'ordre de Gauss. La conditionH ²/8nkT étant vérifiée dans la nébuleuse, le champ peut alors faire appraître des structures typiquement magnétiques telles que dans NGC 650-1, NGC 7293, etc ....

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On the existence of the magnetic field in planetary nebulae

The resolution of a set of magnetohydrodynamic equations governing the ejected matter, under some simple assumptions, lead to the existence of a magnetic field about 10^–3–10^–4 G within the shell of planetary nebulae. The stellar magnetic field, at the time of ejection, is supposed equal to 1 G. The conditionH ²/8nkT is then satisfied in most of planetary nebulae showing magnetic features such as NGC 650-1, NG 7293, etc ....

     

Sur un modele explicitant les differents types morphologiques des galaxies

In the now classical Lindblad-Lin density-wave theory, the linearization of the collisionless Boltzmann equation is made by assuming the potential functionU expressed in the formU=U ₀ + \(\tilde U\) +... WhereU ₀ is the background axisymmetric potential and \(\tilde U<< U_0 \) . Then the corresponding density distribution is \(\rho = \rho _0 + \tilde \rho (\tilde \rho<< \rho _0 )\) and the linearized equation connecting \(\tilde U\) and the component \(\tilde f\) of the distribution function is given by $$\frac{{\partial \tilde f}}{{\partial t}} + \upsilon \frac{{\partial \tilde f}}{{\partial x}} - \frac{{\partial U_0 }}{{\partial x}} \cdot \frac{{\partial \tilde f}}{{\partial \upsilon }} = \frac{{\partial \tilde U}}{{\partial x}}\frac{{\partial f_0 }}{{\partial \upsilon }}.$$ One looks for spiral self-consistent solutions which also satisfy Poisson's equation $$\nabla ^2 \tilde U = 4\pi G\tilde \rho = 4\pi G\int {\tilde f d\upsilon .} $$ Lin and Shu (1964) have shown that such solutions exist in special cases. In the present work, we adopt anopposite proceeding. Poisson's equation contains two unknown quantities \(\tilde U\) and \(\tilde \rho \) . It could be completelysolved if a second independent equation connecting \(\tilde U\) and \(\tilde \rho \) was known. Such an equation is hopelesslyobtained by direct observational means; the only way is to postulate it in a mathematical form. In a previouswork, Louise (1981) has shown that Poisson's equation accounted for distances of planets in the solar system(following to the Titius-Bode's law revised by Balsano and Hughes (1979)) if the following relation wasassumed $$\rho ^2 = k\frac{{\tilde U}}{{r^2 }} (k = cte).$$ We now postulate again this relation in order to solve Poisson's equation. Then, $$\nabla ^2 \tilde U - \frac{{\alpha ^2 }}{{r^2 }}\tilde U = 0, (\alpha ^2 = 4\pi Gk).$$ The solution is found in a classical way to be of the form $$\tilde U = cte J_v (pr)e^{ - pz} e^{jn\theta } $$ wheren = integer,p =cte andJ _v (pr) = Bessel function with indexv (v ² =n ² + α²). By use of the Hankel function instead ofJ _v (pr) for large values ofr, the spiral structure is found to be given by $$\tilde U = cte e^{ - pz} e^{j[\Phi _v (r) + n\theta ]} , \Phi _v (r) = pr - \pi /2(v + \tfrac{1}{2}).$$ For small values ofr, \(\tilde U\) = 0: the center of a galaxy is not affected by the density wave which is onlyresponsible of the spiral structure. For various values ofp,n andv, other forms of galaxies can be taken into account: Ring, barred and spiral-barred shapes etc. In order to generalize previous calculations, we further postulateρ ₀ =kU ₀/r ², leading to Poisson'sequation which accounts for the disc population $$\nabla ^2 U_0 - \frac{{\alpha ^2 }}{{r^2 }}U_0 = 0.$$ AsU ₀ is assumed axisymmetrical, the obvious solution is of the form $$U_0 = \frac{{cte}}{{r^v }}e^{ - pz} , \rho _0 = \frac{{cte}}{{r^{2 + v} }}e^{ - pz} .$$ Finally, Poisson's equation is completely solvable under the assumptionρ =k(U/r ². The general solution,valid for both disc and spiral arm populations, becomes $$U = cte e^{ - pz} \left\{ {r^{ - v} + } \right.\left. {cte e^{j[\Phi _v (r) + n\theta ]} } \right\},$$ The density distribution along the O _z axis is supported by Burstein's (1979) observations.     

Sur les mouvements réguliers dans le probléme des deux corps solides

In the present paper the problem of translatory-rotatory motion of two rigid bodies is discussed. Author has shown that this problem admits particular solutions, when each body possesses axial symmetry. In these solutions the centre of mass of one body described the circular orbit around the other body and each body keeps the invariable orientation about this orbit.     

Sur les solutions Lagrangiennes et euleriennes du probleme generalise des trois corps en axes absolus

Résumé Le présent travail est une continuation d'un autre, publié plus tôt (Doubochine, 1970). On montre ici, que les propriétés des mouvements Lagrangiens et Euleriens établies en mécanique céleste classique sont vraies aussi dans les cas plus généraux, envisagés dans le travail indiqué. On montre de plus, que les trajectoires des points en ces mouvements en axes absolus sont les spirales infinies s'enroulant sur les surfaces des cylindres curvilignes infinis.

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Sur les solutions Lagrangiennes du problème des trois corps solides avec la loi de Weber

In this work we consider the problem of translational-rotational motion of three solid bodies, for which the elementary particles attract each other according to different Weber's laws for each pair of bodies. This problem represents a special case of the generalized problem of three solids considered in a previous work, (Dubochin, 1974) and it gives an example of the verification of the existence conditions for the Lagrangian solutions. In these solutions, the centers of mass always for m an equilateral triangle. Each body has axial symmetry with the plane of symmetry perpendicular to the axis of symmetry rotates uniformly around this axis, which at any instant stays perpendicular to the plane of the triangle formed by the centers of mass. According to Weber's law (Tisserand, 1896) the elementary particles of two bodiesT _i andT _j (i, j=0, 1, 2) are attracted by forces which are proportional to the function $$F_{ij} (W) = \frac{{f_{ij} }}{{\Delta _{ij^2 } }}\left[ {1 - a_{ij} \dot \Delta _{ij^2 } + 2a_{ij} \Delta _{ij} \ddot \Delta _{ij} } \right]$$ wheref _ij anda _ij (in generalf _ji ≠f _ij anda _ji ≠a _ij ) are functions of the timet, and where the real quantities Δ_ij are the mutual distances between the particles of the bodiesT _i andT _j , and where \(\dot \Delta _{ij} \) and \(\ddot \Delta _{ij} \) are their derivatives with respect to the time. The analysis of the general conditions for the Lagrangian solutions gives the following results for the case of Weber's laws.

1. Only the invariant Lagrangian solutions, (the traingle of the centres of mass does not change in time) are possible in this problem.
2. Besides the conditions (NL) obtained in the case of the Newton-Coulomb law, (all thea _ij are zero), the complementary conditions (WL) must be satisfied.

In particular, if all the bodies are spheres or homogeneous ellipsoids, they must necessarily have the same dimensions, but they can have different masses.     

Sur les déplacements radiaux de différents éléments dans α2 CVn

Résumé On compare les courbes de déplacements radiaux déduites des mesures de Struve et Swings, celles déduites des mesures de Babcock et Burd et celle d'Eu déduite des mesures de Pyper (en tenant compte de tous les résultats photométriques, on aP=5,4693±0,0001 j). Les différences sont surtout attribuables, dans le cadre du modèle binaire, à l'effet Ovenden. Celui-ci ainsi que les courants circumstellaires peuvent aussi être responsables des trop grands déplacements constatés et d'autres particularités.

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Curves of radial displacements for ² CVn are obtained by mechanical integration of radial velocity curves deduced from measures by Struve and Swings and by Babcock and Burd for Euii, Crii, Fei andii, and by Pyper for Euii.In order to proceed to the comparison, a value as accurate as possible is sought for the period. If we take all the known photometric observations into account, we get 5.4693±0.0001 d.Small differences between the curves for a given ion are noted, especially when using Pyper's measures. However these discrepancies do not necessarily prove the existence of secular variations; in the binary model, they can be interpreted mainly in terms of the Ovenden effect. Too large displacements, and other pecularities in the variations, may also be attributed to that effect, and to circumstellar currents.The ranges of the velocity variations and of the radial displacements are also discussed for other Ap stars.

     

Sur les solutions périodiques du mouvement plan de libration des satellites et des planètes

Résumé Ce papier présente une étude analytique du mouvement plan de rotation des satellites (et des planètes) dans leurs mouvements orbitaux. Les trois familles des solution périodiques sont obtenues par la méthode du prolongement analytique de Poincaré. Ensuite, la stabilité de ces solutions périodiques est discutée, et les équations approchées des courbes limites de stabilité sont données jusqu'au quatrième ordre.

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This paper presents an analytical study of the rotational motion of the satellites (and the planets) in their orbital planes. The three families of periodic solutions are obtained by the method of analytical continuation as formulated by Poincaré. The stability of these solutions are analyzed, and the approximate equations of the transition curves are obtained to the fourth order.

     

Sur les solutions particulières du problème généralisé des trois corps solides

Résumé Il est envisagé dans ce travail le problème généralisé du mouvement translatoire-rotatoire des trois corps solides.Il est supposé que chaque particule élémentaire du chacun corps agit sur chaque particule d'autre corps par une force (d'attraction ou de répulsion), dirigée suivant la droite, passante par ces deux particules. Cette force est proportionnele à produit des masses des deux particules et à une certaine fonction du temps, de la distance mutuelle et des ses dérivées première et seconde.On ne suppose pas, que le troisième axiome de la dynamique Newtonienne a lieu, de sorte que notre système des trois corps se trouve sous l'influence des six forces distinctes.Les équations fondamentales du mouvement translatoire-rotatoire des trois corps solides n'admettent pas, en général, des intégrales premières classiques.Nous avons établie auparavant les conditions à laquelles doivent satisfaire les corps pour que le problème posé admettra lesmouvements plans, c'est-à-dire les tels mouvements quand les centres des masses des trois corps restent toujours dans un plan invariable et chaque corps est assujetti à tourner autour d'axe, qui est perpendiculaire à ce plan invariable.Il est établie, que le problème admet ces mouvements plans au cas où chaque des trois corps possède d'une symétrie dynamique et géométrique par rapport d'un plan, passant par le centre des masses. Il est étudie plus loin la question d'existence des tels mouvements plans dans lequels les centres des masses des trois corps forment toujours un triangle équilateral (solution Lagrangienne), ou restent toujours sur une ligne droite (solution Eulerienne). Il est montré, que ces mouvements peuvent exister au cas où chaque des trois corps possède, outre la symétrie par rapport d'un plan, encore d'une symétrie dynamique et géométrique par rapport d'un axe, perpendiculaire à plan de la symétrie.Dans ces solutions chaque corps tourne uniformément autour cet axe avec vitesse angulaire, indépendante des paramètres des mouvements orbitaux des centres des masses.Sont obtenues les conditions à laquelles doivent satisfaire les lois des forces actives et les caractéristiques de structure des corps pour que ces mouvements Lagrangiennes et Euleriennes pourront être exister.On donne les exemples. Il est envisagé, en particulier, le cas où chaque corps est une sphère avec la distribution sphérique de la densité, et les particules élémentaires s'exercent mutuellement par les lois du Newton-Coulont (d'attraction ou de répulsion), avec les coefficients de la proportionnalité dépendant du temps. Alors, les solutions Lagrangiennes peuvent exister au cas seulement où chaque corps agit sur les deux autres par le même loi.Les solutions Euleriennes peuvent exister au cas seulement où les coefficients sont des constantes, ou bien sont les produits de celles constantes par une fonction unique du temps.Les résultats analogues sont établies pour les corps arbitraires, possèdant la symétrie axiale, dont les particules élémentaires s'exercent aussi par les lois du Newton-Coulont.Remarquons maintenant, que les résultats exposés dans ce travail montrent que les solutions célèbres du Lagrange et Euler dans le problème classique des trois points matériels, s'attirant mutuellement selon loi du Newton, existent aussi dans le problème des trois corps solides avec les suppositions les plus générales pour les forces actives. De cette façon il est établie, que ces mouvements classiques, ayant d'une grande importance pour la mécanique céleste contemporaine, possédent d'une stabilité d'un genre singulier remarquable.En effet, les configurations triangulaires et rectilignes des trois corps peuvent se conserver indéfiniment avec les changements différents des lois des forces actives, aussi qu'avec les changements divers des structures des corps solides en mouvement (dans cértaines conditions aussi pour les corps fluides).D'un autre côté, les résultats obtenus ont, comme il semble à l'auteur de ce travail, non seulement l'intérèt purement théorique, mais peuvent avoir aussi les applications dans les problèms concrets du mouvement des corps célestes dans les domaines très éloignés d'espace cosmique.En effet, il parait indubitable, que dans les divers domaines d'univers et dans les divers systèmes cosmiques, peuvent avoir lieu les actions mutuelles très différentes, qui peuvent en outre se changer avec le temps.La loi d'attraction universelle du Newton, qui est probablement assez suffisante pour notre système solaire, est sans doute une approximation grossière et douteuse seulement des lois réelles de la Nature.

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In the present paper, the generalized problem of translatory-rotatory motion of three rigid bodies, whose elementary particles act upon each other according to arbitrary laws of forces along the straight line joining them, is discussed.Author has shown that this problem admits particular solutions, analogous to the classic solutions of Lagrange and Euler, when each body possesses axial symmetry. In these solutions the centres of mass of the three bodies form an equilateral triangle (Lagrangian solutions) or remain always on a straight line (Eulerian solutions). Each body turns uniformly around its axis of symmetry, which remains always perpendicular to the plane of motion of centres of mass.

     

Sur la brillance de la lune eclipsee

Sommaire L'excès de luminosité de la Lune eclipsée est attribué à l'impact de la poussière cosmique magnétique environnant la Lune, concentrée et guidée par la queue géomagnétique. Ce mécanisme rend compte de la lenteur du refroidissement du sol lunaire durant les éclipses. La règle de Danjon est attribuée à l'extension variable de cette queue en fonction de l'activité solaire, celle-ci n'atteignant plus la Lune à l'époque des minimums d'activité.     

Sur un theoreme de stabilite pour un potentiel homogene

The McGehee's study of the triple collision of the 3-body problem is here applied for the stability of an equilibrium. Let us consider the homogeneous Lagrangian: $$L = \frac{{\dot x^2 + \dot y^2 }}{2} + U(x,y)$$ whereU is polynomial, with degreek. We establish a necessary and sufficient condition onU for the stability of \(\omega (x = y = \dot x = \dot y = 0)\) .     

Sur le probleme restreint circulaire des trois corps solides

Résumé Il est envisagé dans ce travail un cas particulier du problème des trois corps solides. On suppose qu'un des corps est passif, c'est-à-dire qu'il n'agit pas sur les deux autres. Chaque corps posséde la symétrie axiale, ainsi que la symétrie par rapport à plan, perpendiculaire à cet axe, Au moment initial les plans de la symétrie des corps coinsident avec le plan principal des coordonneés. Alors il est possible de choisir les conditions initiales de sorte que les centres de la symétrie resterons toujours dans le plan principal, chaque corps tournant uniformement autour son axe. Nous nommerons ce problème — le problème restreint plant. Le cas le plus simple est le problème plan circulire, quand le centre d'un des corps actif décrit orbite circulaire authour d'autre corps actif. Ce problème se reduit à l'étude du mouvement du centre d'inértie du corps passif dans le plan principal —plan d'orbite circulaire du corps actif. Nous trouvons les conditions d'existence pour les solutions particulières du ce problème et posons la question de la stabilité des points de libration correspondantes. D'une manière plus détaillée nous envisageons le cas, où toutes les forces actives sont définiérs une par loi unique.

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Sur un formalisme explicitant la loi des distances des planetes

The well-known Titius-Bode law (T-B) giving distances of planets from the Sun was improved by Basano and Hughes (1979) who found: $$a_n = 0.285 \times 1.523^n ;$$ a _n being the semi-major axis expressed in astronomical units, of then-th planet. The integern is equal to 1 for Mercury, 2 for Venus etc. The new law (B-H) is more natural than the (T-B) one, because the valuen=?∞ for Mercury is avoided. Furthermore, it accounts for distances of all planets, including Neptune and Pluto. It is striking to note that this law:

1. does not depend on physical parameters of planets (mass, density, temperature, spin, number of satellites and their nature etc.).
2. shows integers suggesting an unknown, obscure wave process in the formation of the solar system.

In this paper, we try to find a formalism accounting for the B-H law. It is based on the turbulence, assumed to be responsible of accretion of matter within the primeval nebula. We consider the function $$\psi ^2 (r,t) = |u^2 (r,t) - u_0^2 |$$ , whereu ²(r, t) stands for the turbulence, i.e., the mean-square deviation velocities of particles at the pointr and the timet; andu ₀ ² is the value of turbulence for which the accretion process of matter is optimum. It is obvious that Ψ²(r _n,t₀) = 0 forr _n=0.285×1.523 ⁿ at the birth timet ₀ of proto-planets. Under these conditions, it is easily found that $$\psi ^2 (r,t_0 ) = \frac{{A^2 }}{r}\sin ^2 [\alpha log r - \Phi (t_0 )]$$ With α=7.47 and Φ(t ₀)=217.24 in the CGS system, the above function accounts for the B-H law. Another approach of the problem is made by considering fluctuations of the potentialU(r, t) and of the density of matter ρ(r, t). For very small fluctuations, it may be written down the Poisson equation $$\Delta \tilde U(r,t_0 ) + 4\pi G\tilde \rho (r,t_0 ) = 0$$ , withU(r, t)=U ₀(r)+?(r, t ₀ ) and \(\tilde \rho (r,t_0 )\) . It suffices to postulate \(\tilde \rho (r,t_0 ) = k[\tilde U(r,t_0 )/r^2 ](k = cte)\) for finding the solution $$\tilde U(r,t_0 ) = \frac{{cte}}{{r^{1/2} }}\cos [a\log r - \zeta (t_0 )]$$ . Fora=14.94 and ζ(t ₀)=434.48 in CGS system, the successive maxima of ?(r,t ₀) account again for the B-H law. In the last approach we try to write Ψ(r, t) under a wave function form $$\Psi ^2 (r,t) = \frac{{A^2 }}{r}\sin ^2 \left[ {\omega \log \left( {\frac{r}{v} - t} \right)} \right].$$ It is emphasized that all calculations are made under mathematical considerations.     

La lune mange-t-elle les couleurs?

The hydrogen radicals play an important role in the photochemistry of the troposphere of the Earth. The chemistry of OH, HO₂ and H₂O₂ is linked directly to the photodissociation of O₃ through the production of O(¹D). Gaseous H₂O₂ (hydrogen peroxide may be removed by heterogeneous reactions involving aerosols and liquid water. During the day and the night the solubility of ambient H₂O₂ in water is estimated and the oxidant capacity of H₂O₂ may explain the bleaching properties of the dew used in the past. This phenomenon may also explain some old maxims concerning the properties of the Moon's light to corrupt colors.     

Sur la spectrophotometrie avec tube image des raies faibles en emission

Résumé La précision habituelle des mesures spectrophotométriques faites avec un tube image pour les raies de faible intensité peut être améliorée par la «méthode à deux raies». Cette méthode testée sur les régions Hii galactiques conduit à une précision de 13%.

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Usual precision of image tube spectrophotometry measures relative to low intensity lines can be improved by method of two lines. This operating process tested on Hii galactic regions leads to a precision of 13%.

     

Sur une etude de stabilite par analogie avec la collision triple

Résumé Dans cet article on a adapté les méthodes d'étude de la collision triple et de son voisinage au problème de la stabilité d'une position d'équilibre d'un lagrangienL = (x ² +y ²)/2 +U oùU est un polynôme homogène de degrék, le cask=3 étant tout particulièrement développé. On met en évidence des configurations centrales, des solutions par homothétie d'énergie nulle et on étudiera leur voisinage [3, 4].

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In this paper, we apply the methods of study of the triple collision and its neighbourhood to the problem of stability of the equilibrium ofL = (x ² +y ²)/2 +U, whereU is homogeneous. The case ofU of degree 3 is especially studied. We investigate the central configurations and homothetical solutions with zero energy and we study their neighbourhood.

     

Sur une reduction des equations du mouvement du probleme des 3 corps

Résumé Dans cet article nous étudions, dans un premier temps, la réduction des équations du mouvement du problème plan des 3 corps en introduisant le groupe des similitudes planes dans la 1-forme de Poincaré. Ceci permet de dégager le cas des trajectoires de moment cinétique nul et d'énergie nulle. Nous envisageons ensuite la réduction du problème dans l'espace en établissant un lien remarquable avec le problème plan.

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In this article we first of all study the reduction of the equations of movement of the planar three body problem through the introduction of the group of similitude in Poincare's 1-form. This brings out the case of trajectories with zero angular momentum and zero energy. We then consider the reduction of the problem in space by establishing a remarkable link with the planar problem.

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Proceedings of the Sixth Conference on Mathematical methods in Celestial Mechanics held at Oberwolfach (West Germany) from 14 to 19 August, 1978.     

Sur l'existence de certaines configurations d'equilibre relatif dans le probleme desN corps

Résumé On sait que les positions d'équilibre relatif dans le problème des trois corps, où les corps se trouvent aux sommets d'un triangle équilatéral, existent lorsque les masses sont quelconques; tandis que pourn=4 (voir [3]) et pourn=5 (voir [4]), les positions d'équilibre relatifs, où les corps se trouvent aux sommets d'un polygone régulier de n cotés, existent seulement si les masses sont égales. L'objet de cet article est de montrer que ce dernier résultat est vrai pour toutn4.

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It is known that in the three body problem, the equilateral configuration of relative equilibrium exists for all values of masses, while in then-body problem, forn=4 (see [3]) andn=5 (see [4]), the position of relative equilibrium where the bodies are at the vertices of a regular polygon withn sides, exists only if the masses are equal.We prove in this paper, that this last result is true for alln4.

     

Sur l'effet d'une correction de la constante de la précession

Sans résuméPresented at IAU Colloquium No. 9, The IAU System of Astronomical Constants, Heidelberg, Germany, August 12–14, 1970.