Distribution research of recurrence interval for moderate-strong earthquake in the mainland of China
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摘要: 地震复发间隔的概率分布是计算地震发生概率的基础。利用我国历史地震目录资料，统计分析中国大陆中强地震归一化区域复发间隔，分析发现中国大陆中强地震活动兼具周期性和丛集性特点。采用对数正态分布与指数分布构建混合概率分布模型，通过最小二乘法拟合混合概率分布函数的最优参数。拟合结果的误差分析表明，混合概率分布模型更加符合中国大陆中强地震的活动特点。Abstract: Probability distribution of earthquake recurrence interval is the foundation of calculating the occurrence probability of earthquake. Based on the historical earthquake catalog data, the normalized local recurrence intervals of moderate-strong earthquake in the mainland of China are statistically analyzed. It is found that earthquake activity has both periodic and clustering characteristics. We construct a hybrid distribution model using lognormal distribution and exponential distribution, and the optimal parameters of the hybrid distribution model are estimated through least square method. The error analysis demonstrates that the hybrid probability distribution model is more consistent with the characteristic of moderate-strong earthquake activity in the mainland of China.
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引言
地震复发间隔的概率分布是计算地震危险性概率的重要基础，利用概率分布函数
$ F\left(t\right) $ 能够计算未来一段时间$ \Delta T $ 内发生地震的条件概率$ {P}_{c} $ [1-5]：$$ {P}_{c}=\frac{F({T}_{e}+\Delta T)-F\left({T}_{e}\right)}{1-F\left({T}_{e}\right)} $$ (1) 式中，
$ {T}_{e} $ 是上次地震以来的离逝时间，$ \Delta T $ 为预测时段。对于某一震源区或发震断裂段，如果有足够丰富的历史地震数据，我们能够建立适用的$ F\left(t\right) $ 来计算发生地震的概率[3]。然而，由于我们累积的历史地震资料有限，对于单一断裂段而言，地震复发事件较少，通过较少的样本难以建立可靠的概率分布函数[6]。Nishenko和Buland[1]使用归一化值${T}_{i,\;k}/\overline{{T}_{k}}$ 作为统计样本建立了一种通用的地震复发间隔分布模型。其中$ {T}_{i,\;k} $ 是第k断裂段的第i次复发间隔，$\overline{{T}_{k}}$ 是该段落总共n次复发间隔的中位数。由于采用了归一化值$T/\overline{T}$ 而不是复发间隔T作为统计样本，该模型能够消除不同断裂段复发间隔的绝对差别，使得能将不同断裂段的资料用于建立统一分布，解决了对单个断裂段建模的样本不足的问题。他们对环太平洋板块边界上的特征地震资料进行了统计分析，认为对数正态分布相比高斯分布和韦布尔分布能够更好地拟合归一化的地震复发间隔数据，并给出了最佳拟合的对数正态分布参数$ \mu =-0.01，\sigma =0.215 $ ，该方法也成为了美国加州概率工作组对圣安德烈斯断层系开展地震危险性概率预测工作的基础。闻学泽[7-8]利用该模型对我国个别断裂带的地震潜势进行了估算。然而，中国大陆的地震活动属于板内环境，大陆板内无论在构造活动速率、地壳结构还是介质物性等方面均与板缘有着明显差别[2]。张培震和毛凤英[9]根据我国大陆活动断裂的古地震资料，采用同样的方法建立了通用复发间隔分布，在不考虑古地震测龄数据误差的情况下，归一化复发间隔数据样本较好地服从参数$ \mu =-0.12，\sigma =0.50 $ 的对数正态分布。甘卫军等[10]以中国大陆大地震原地复发资料（古地震及历史地震）为基础，同时考虑了古地震测龄数据的误差，确定了板内大地震的归一化复发间隔数据样本较好地服从参数$ \mu =-0.025，\sigma =0.262 $ 的对数正态分布，该结果表明板内大地震在重复行为上具有与板缘特征地震相类似的分布特征，但板内大地震的复发间隔相对离散。多位地震学者对我国大陆中强地震进行了统计分析研究，表明中国大陆中强地震的时空分布呈现一定的成组活动特征[11-15]。地震的成组活动特征意味着在活跃期地震活动表现出丛集性，而地震活跃期之间可能存在准周期性。李姜一和周本刚[16]对中国大陆东部102个中强潜在震源区的5—6级地震的复发间隔进行了统计分析，采用指数分布能够较好地拟合具有丛集性特征的地震复发间隔。张秋文等[17]认为大陆板内地震可能是一种准周期的丛集复发行为，地震丛集复发间隔满足对数正态分布，丛内的地震复发间隔满足指数分布。但目前还缺少兼顾地震周期性与丛集性特征的地震复发间隔概率分布研究。
为了进一步研究中国大陆中强地震复发间隔的概率分布，本文利用我国历史地震目录资料，统计分析中国大陆中强地震归一化复发间隔分布特征。分析表明中国大陆中强地震活动兼具了周期性和丛集性的特点，因此，采用对数正态分布与指数分布构建混合概率分布模型，通过最小二乘法拟合混合概率分布函数的最优参数。计算结果表明，本文建立的混合概率分布模型能够更好地符合中国大陆中强地震的归一化复发间隔数据样本。
1. 数据与方法
1.1 中强地震资料选取与分析
地震资料基于中国地震台网中心的MS4.7以上历史强震目录，为保证在地震目录完备的前提下尽可能充分利用历史地震资料，对地震目录进行了完备性分析认为，1960年以来地震目录记录的5级以上地震是足够完备的（图1）。另外，中强地震与大地震的复发特征可能存在显著差异，为了避免大地震活动对分析结果的影响，本文仅针对中强地震震级段（MS5.0—6.5）数据进行分析。综合以上分析，在不考虑远海及境外地震的情况下，选取1960年1月1日以来中国大陆地区MS5.0—6.5浅源地震目录作为基础资料开展后续研究。
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图 1 中国大陆1960年以来MS4.7以上地震目录的完整性分析[18]（a）震级—序号法给出的地震密度分布；（b）多统计方法定量分析给出的最小完整性震级Mc的时间变化Figure 1. Completeness analysis of earthquake catalog (MS≥4.7) in mainland China since 1960[18]（a） Seismic rate for different magnitudes in the index domain；（b） Completeness thresholds Mc estimated by three statistical methods为了消除余震对地震复发间隔的影响，采用扩散链法对选取地震目录内的余震进行删除[19]。为了检验余震删除效果，对我国大陆1960年以来的MS5.0以上地震目录删除余震前后的累积频次曲线进行对比分析（图2）。可以看到受余震活动影响，删除余震前的累积频次曲线（实线）在强震发生后存在突然增长的现象；而删除余震后的累积频次曲线（虚线）随时间的变化保持了平稳的增长，这表明余震得到了较好的去除。
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图 2 删除余震前后的累积频次曲线对比Figure 2. Cumulative frequency curve before and after declustering与大地震资料相比，中强地震资料相对更加丰富，减少了计算过程对古地震资料的依赖，因此，能够避免古地震测龄数据误差对分布参数估算的影响。另外，中强地震所属的发震断裂往往不够明确，而大地震大多发生在明确的主要断裂带，因此，以断裂段为基础得到的归一化值
$T/\overline{T}$ 作为统计量对于中强地震并不适用。针对中强地震的这一特点，我们将地震复发间隔的统计范围规定在一定区域内，具体做法是将全国按经纬度划分为0.3°×0.3°的网格，每个格点统计其周边80 km范围内的地震作为该点的统计样本，这样基于网格划分为基础得到的归一化值${T}_{i,\;k}/\overline{{T}_{k}}$ 作为统计量，其中$\overline{{T}_{k}}$ 是第k个格点80 km范围内共n次历史地震复发间隔的算术平均值，$ {T}_{i,\;k} $ 是在该范围内观测到的具体复发间隔。需要说明的是，以这种方式统计得到的地震复发间隔不是传统意义上的原地复发，可理解为区域范围内的地震复发，本文关于中强地震复发间隔的讨论也均指区域复发。通过这种统计方式，使相邻统计格点的统计范围在空间上存在一定的重叠和差异，增加了区域地震复发间隔数据统计的更多可能性，这对于难以明确发震断裂归属的中强地震来说是有益的。将更多的区域地震复发间隔数据纳入统计可有效增加统计样本数量，并提高概率密度函数参数拟合结果的可靠性。从中国大陆中强地震区域复发间隔的统计分析结果（图3）能够看到，归一化区域复发间隔
$ {T}_{i,\;k}/\overline{{T}_{k}} $ 的统计峰值在0附近，表明地震活动具有较强的丛集性，另外，在1附近统计值略有升高，表明地震活动同时具有一定的周期性。甘卫军等[10]统计的中国大陆历史大地震归一化复发间隔分布结果（图4）显示，样本数据主要集中在1附近，地震活动与板缘特征地震相类似，能够用对数正态分布对数据进行较好的拟合。中国大陆的中强地震与大地震活动特点表现出显著的差异性，表明中强地震的归一化区域复发间隔并不完全符合对数正态分布，而是表现出了同时具有周期性和丛集性的特征，因此，尝试采用混合分布模型对其进行拟合。另外，如果统计样本符合正态对数分布，采用复发间隔中位数对统计样本进行归一化能够得到更好的拟合结果[1]，但由于我国大陆中强地震的区域复发间隔分布不再满足对数正态分布，因此，采用复发间隔平均值对统计样本进行归一化。![]()
图 3 1960年以来中国大陆中强地震 （MS5.0—6.5）归一化区域复发间隔频率直方图Figure 3. Normalized frequency histogram of moderate-strong (MS5.0—6.5) earthquake recurrence intervals in mainland China since 1960![]()
1.2 概率分布函数构建
据我国大陆中强地震归一化区域复发间隔频率直方图（图3），我们能够认识到我国大陆中强地震的活动特点兼具丛集性和周期性。参考前人对历史大地震的研究工作，地震活动的周期性可以用对数正态分布合适地表达。基于对复发间隔统计结果的分析，本研究采用指数分布来描述地震活动的丛集性。为了同时描述地震活动的丛集性和周期性，建立了一种由对数正态分布和指数分布混合的概率密度函数：
$$ f\left(\tau \right)=a\left(\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\text{π} }\tau }{{\rm{e}}}^{\tfrac{{-\left(\mathrm{ln}\left(\tau \right)-\mu \right)}^{2}}{2{\sigma }^{2}}}\right)+\left(1-a\right)\lambda {{\rm{e}}}^{-\lambda \tau }$$ (2) 式中，
$\mathrm{\tau }=T/\overline{T}$ 且$ \mathrm{\tau } > 0 $ ，$a,\;\sigma,\;\mu,\;\lambda$ 为概率密度函数待拟合参数。1.3 参数拟合
图3和图4中展示的统计直方图在细节上的分辨率较低，直接拟合概率密度函数存在困难。为了解决统计样本不足的问题，对原始观测数据的累加得到的累积概率密度函数（Cumulative Density Function, CDF）进行估算，能够获得更好的拟合结果[1]。
首先我们定义复发间隔数据为
$ {T}_{i,\;k} $ ，i=1，2， ···，$ {N}_{k} $ ；k=1，2，···，K，其中，K是划分的网格的个数，$ {N}_{k} $ 是第k个网格统计范围内地震复发间隔的个数。所以数据的总数为：$$ N=\sum _{k=1}^{K}{N}_{k} $$ (3) 对于第k个网格，复发间隔的均值为：
$$ \overline{{T}_{k}}=\frac{1}{{N}_{k}}\sum _{i=1}^{{N}_{k}}{T}_{i,\;k} $$ (4) 定义归一化区域复发间隔
$\tau_j =\dfrac{{T}_{i,\;k}}{\overline{{T}_{k}}}$ ，对其排序使得τ1≤τ2≤···≤τN，利用公式：$$ F\left({\tau }_{j},\;N\right)=\dfrac{j-\dfrac{1}{2}}{N}$$ (5) 可以计算对应的累积概率密度函数曲线（图5）。
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图 5 1960年以来中国大陆中强地震（MS5.0—6.5）归一化区域复发间隔频率直方图及CDF曲线Figure 5. Normalized frequency histogram and cumulative density function curve of moderate-strong (MS5.0—6.5) earthquake recurrence intervals in mainland China since 1960 and the curve of CDF对公式（2）
$ f\left(\tau \right) $ 的积分能够得到在任意$ {\tau }_{j} $ 处的累积概率值$ {\displaystyle\int }_{0}^{{\tau }_{j}}f\left(\tau \right){\rm{d}}\tau $ ，基于最小二乘原理，对于最佳的模型参数应满足$$ \displaystyle\sum _{j=1}^{N}{\left[{\int }_{0}^{{\tau }_{j}}f\left(\tau \right){\rm{d}}\tau -F\left({\tau }_{j}\right)\right]}^{2}=最小 $$ (6) 2. 拟合结果分析
基于中国大陆中强地震震级范围（MS5.0—6.5）的地震归一化区域复发间隔数据，对公式（2）混合分布模型的概率密度函数的参数进行最小二乘估算，获得拟合结果（表1和图6）。为了对比评价，同时也分别单独采用对数正态分布和指数分布对归一化区域地震复发间隔数据进行拟合（表1、图7和图8）。
表 1 参数估算与拟合误差结果Table 1. Results of estimated parameters and fitting error模型 参数估计 拟合误差 混合分布 a 0.569 0.00016 μ 0.291 σ 0.657 λ 4.291 对数正态分布 μ −0.515 0.00157 σ 1.382 指数分布 λ 1.012 0.00132 ![]()
图 6 混合分布累积概率密度函数拟合结果。黑线为基于数据绘制的累积概率密度函数（CDF）曲线，绿线为拟合的CDF曲线，红线为基于估算得到的参数绘制的概率密度函数（PDF）曲线，相应的对数正态分布和指数分布函数曲线分别用黑色线段虚线和点虚线表示，蓝色柱状图为归一化区域地震复发间隔数据的统计频率直方图Figure 6. Cumulative density function fitting result of hybrid distribution model. The solid black line is the estimated cumulative density function (CDF) curve based on recurrence data, the green solid line is the best-fitting CDF curve, the red line is the best-fitting probability density function (PDF) curve, the black dashed and dotted lines show the lognormal and exponential distribution functions, respectively. The blue histogram is the normalized frequency histogram of earthquake recurrence intervals![]()
图 7 对数正态分布累积概率密度函数拟合结果。黑线为基于数据绘制的累积概率密度函数（CDF）曲线，绿线为拟合的CDF曲线，红线为基于估算得到的参数绘制的概率密度函数（PDF）曲线，蓝色柱状图为归一化区域地震复发间隔数据的统计频率直方图Figure 7. Cumulative density function fitting result of lognormal distribution. The solid black line is the estimated cumulative density function (CDF) curve based on recurrence data, the green solid line is the best-fitting CDF curve, the red line is the best-fitting probability density function (PDF) curve, the blue histogram is the normalized frequency histogram of earthquake recurrence intervals![]()
图 8 指数分布累积概率密度函数拟合结果。黑线为基于数据绘制的累积概率密度函数（CDF）曲线，绿线为拟合的CDF曲线，红线为基于估算得到的参数绘制的概率密度函数（PDF）曲线，蓝色柱状图为归一化区域地震复发间隔数据的统计频率直方图Figure 8. Cumulative density function fitting result of exponential distribution. The solid black line is the estimated cumulative density function (CDF) curve based on recurrence data, the green solid line is the best-fitting CDF curve, the red line is the best-fitting probability density function (PDF) curve, the blue histogram is the normalized frequency histogram of earthquake recurrence intervals为了统一比较误差结果，我们通过下式计算拟合误差：
$$ 误差=\frac{\displaystyle\sum_{j=1}^{N}{\left[{\displaystyle\int }_{0}^{{\tau }_{j}}f\left(\tau \right){\rm{d}}\tau -F\left({\tau }_{j}\right)\right]}^{2}}{N}$$ (7) 从误差对比结果（表1）来看，混合概率分布模型的拟合结果能够更好的拟合数据。说明本研究建立的混合概率分布模型能够更加符合中国大陆中强地震的活动特点。
3. 总结与讨论
对中国大陆中强地震归一化区域复发间隔的统计分析表明，中国大陆中强地震活动兼具周期性与丛集性的特点，采用对数正态分布与指数分布混合的概率分布能够更好地拟合中国大陆中强地震的归一化区域复发间隔数据，这也表明该混合概率分布模型更加符合中国大陆中强地震的活动特点。本文提出的混合概率分布模型能够为我国中强地震危险性概率分析提供计算基础。
与我国大陆的大地震活动特点相比，我国大陆中强地震活动呈现出更显著的丛集性特征，造成这种差别的原因可能与地震孕育条件存在较大差异有关。孕育大地震所需累积的能量巨大，通常具有一定规模的大型断裂带才具备孕育大地震的条件，而孕育中强地震所需要累积的能量要远小于大地震。我国大陆的构造格局复杂，能够孕育中强地震的发震断层相对更加丰富。当区域的应力应变累积达到一定程度可能引发该区域多次中强地震相继发生，从而构成一组地震活动，这些地震是同期孕育、成组发生的。因此，我国大陆中强地震的活动不仅具有周期性，还存在明显的丛集性活动特点。
需要指出的是，本文仅对中国大陆中强地震复发间隔的概率分布开展了初步的研究，提出的混合概率分布模型在地震危险性分析和应用中还存在很多问题。如，基于该模型计算的发震条件概率是否具有时间可预测性、网格中心点位置和统计半径对归一化地震复发间隔统计结果的影响以及不同震级档的地震活动是否符合统一的累积概率密度函数，等等。这些问题还有待进一步的研究与验证。
致谢
感谢审稿专家提出的宝贵建议。
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图 6 混合分布累积概率密度函数拟合结果。黑线为基于数据绘制的累积概率密度函数（CDF）曲线，绿线为拟合的CDF曲线，红线为基于估算得到的参数绘制的概率密度函数（PDF）曲线，相应的对数正态分布和指数分布函数曲线分别用黑色线段虚线和点虚线表示，蓝色柱状图为归一化区域地震复发间隔数据的统计频率直方图
Figure 6. Cumulative density function fitting result of hybrid distribution model. The solid black line is the estimated cumulative density function (CDF) curve based on recurrence data, the green solid line is the best-fitting CDF curve, the red line is the best-fitting probability density function (PDF) curve, the black dashed and dotted lines show the lognormal and exponential distribution functions, respectively. The blue histogram is the normalized frequency histogram of earthquake recurrence intervals
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图 1 中国大陆1960年以来MS4.7以上地震目录的完整性分析[18]
（a）震级—序号法给出的地震密度分布；（b）多统计方法定量分析给出的最小完整性震级Mc的时间变化
Figure 1. Completeness analysis of earthquake catalog (MS≥4.7) in mainland China since 1960[18]
（a） Seismic rate for different magnitudes in the index domain；（b） Completeness thresholds Mc estimated by three statistical methods
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图 2 删除余震前后的累积频次曲线对比
Figure 2. Cumulative frequency curve before and after declustering
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图 3 1960年以来中国大陆中强地震 （MS5.0—6.5）归一化区域复发间隔频率直方图
Figure 3. Normalized frequency histogram of moderate-strong (MS5.0—6.5) earthquake recurrence intervals in mainland China since 1960
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图 5 1960年以来中国大陆中强地震（MS5.0—6.5）归一化区域复发间隔频率直方图及CDF曲线
Figure 5. Normalized frequency histogram and cumulative density function curve of moderate-strong (MS5.0—6.5) earthquake recurrence intervals in mainland China since 1960 and the curve of CDF
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图 7 对数正态分布累积概率密度函数拟合结果。黑线为基于数据绘制的累积概率密度函数（CDF）曲线，绿线为拟合的CDF曲线，红线为基于估算得到的参数绘制的概率密度函数（PDF）曲线，蓝色柱状图为归一化区域地震复发间隔数据的统计频率直方图
Figure 7. Cumulative density function fitting result of lognormal distribution. The solid black line is the estimated cumulative density function (CDF) curve based on recurrence data, the green solid line is the best-fitting CDF curve, the red line is the best-fitting probability density function (PDF) curve, the blue histogram is the normalized frequency histogram of earthquake recurrence intervals
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图 8 指数分布累积概率密度函数拟合结果。黑线为基于数据绘制的累积概率密度函数（CDF）曲线，绿线为拟合的CDF曲线，红线为基于估算得到的参数绘制的概率密度函数（PDF）曲线，蓝色柱状图为归一化区域地震复发间隔数据的统计频率直方图
Figure 8. Cumulative density function fitting result of exponential distribution. The solid black line is the estimated cumulative density function (CDF) curve based on recurrence data, the green solid line is the best-fitting CDF curve, the red line is the best-fitting probability density function (PDF) curve, the blue histogram is the normalized frequency histogram of earthquake recurrence intervals
表 1 参数估算与拟合误差结果
Table 1 Results of estimated parameters and fitting error
模型 参数估计 拟合误差 混合分布 a 0.569 0.00016 μ 0.291 σ 0.657 λ 4.291 对数正态分布 μ −0.515 0.00157 σ 1.382 指数分布 λ 1.012 0.00132 
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