物质点强度折减法边坡失稳判据选择方法

蒋先平; 张鹏; 卢艺伟; 刘磊磊; 张明辉

doi:10.19509/j.cnki.dzkq.2021.0075

物质点强度折减法边坡失稳判据选择方法

doi: 10.19509/j.cnki.dzkq.2021.0075

蒋先平^1,,
张鹏^{2a, 2b},
卢艺伟¹,
刘磊磊^{2a, 2b, ,},
张明辉¹

基金项目:

国家自然科学基金青年基金项目 41902291

湖南省自然科学基金项目 2020JJ5704

中南大学中央高校基本科研业务费专项资金项目 2021zzts0810

详细信息

作者简介:
蒋先平(1980—)，男，高级工程师，主要从事复杂地质条件下的岩土工程设计方法方面的研究工作。E-mail: 41555767@qq.com

通讯作者:
刘磊磊(1987—)，男，副教授，主要从事地质灾害防治与风险控制方面的研究工作。E-mail: csulll@foxmail.com

中图分类号: P642.22
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出版历程
- 收稿日期: 2021-04-07

Slope failure criterion for the strength reduction material point method

Jiang Xianping^1
,,
Zhang Peng^{2a, 2b},
Lu Yiwei¹,
Liu Leilei^{2a, 2b
, ,},
Zhang Minghui¹

摘要

摘要: 用物质点强度折减法求解边坡安全系数时, 需要选择一定的失稳判据, 而采用不同的失稳判据获得的安全系数通常存在一定差异。为此, 采用物质点强度折减法对两个边坡算例进行了稳定性分析, 对比研究了文献中常用的4种边坡失稳判据(计算不收敛、特征点位移突变、塑性应变贯通及界限值判据)在计算边坡安全系数时的合理性及适用性。同时, 将Spencer极限平衡法获得的安全系数作为参考, 进一步验证了结果的合理性与准确性。结果表明: ①数值计算的收敛性不能作为边坡失稳判据; ②将特征点位移突变视为边坡失稳判据时, 获得的安全系数与极限平衡法获得的结果基本一致, 故特征点位移突变可以作为边坡失稳判据; ③塑性应变贯通和边坡最大位移随迭代时间步趋于稳定的界限值不宜单独作为边坡失稳判据。
- 边坡稳定性分析 /
- 物质点法 /
- 强度折减法 /
- 失稳判据 /
- 安全系数
Abstract: It is necessary to select an instability criterion for the material point strength reduction method (SRMPM) to solve the slope safety factor (F_s), and there are some differences in the obtained F_s values with different instability criteria. To examine the rationality and applicability of the four common instability criteria (i.e., calculation nonconvergence, displacement mutation of the feature point, transfixion of the plastic zone and the limit value), this paper uses the SRMPM to analyse the stability of two slope examples. The F_s obtained by the Spencer limit equilibrium method (LEM) is taken as a reference to further verify the rationality and accuracy of the results. The results show that ① the material point calculation is convergent, so the calculation nonconvergence cannot be used as the slope instability criterion; ② when the displacement mutation of the feature is regarded as the criterion of slope instability, the F_s is basically consistent with the LEM, so the displacement mutation of the feature point can be used as the slope instability criterion; and ③ the limit value and the transfixion of the plastic zone cannot be used alone as the slope instability criterion.
- slope stability analysis /
- material point method /
- strength reduction method /
- failure criterion /
- factor of safety

HTML全文

在岩土工程实践中，安全系数是最常用的边坡稳定性参数^[1]。工程师们常使用极限平衡法(limit equilibrium method, 简称LEM)来求解边坡安全系数，但极限平衡法引入了一些简化假设^[2]，且没有考虑土体之间的弹塑性关系。随着时代的进步和数值分析方法的不断发展，专家学者开始采用有限元强度折减法^[3-11]进行边坡稳定性分析。该方法采用同时降低土体黏聚力和内摩擦角的方式迫使边坡达到失稳破坏状态，从而直接获得边坡潜在滑动面和安全系数，但有限元强度折减法在计算过程中会因网格畸变而导致数值计算不收敛，造成求解困难。而基于物质点强度折减法(strength reduction material point method, 简称SRMPM)的边坡稳定性分析方法不仅具有有限元强度折减法的所有优势，而且还不存在网格畸变使计算不收敛等问题，可以很好地解决边坡大变形问题。尽管物质点强度折减法有很多优点，但到目前为止，这种边坡稳定性分析方法并未在工程界得到广泛认可，其中一个最重要的原因是：对边坡达到极限状态的失稳判据没有统一标准。因此，很有必要研究不同失稳判据下用物质点强度折减法获得的边坡安全系数的合理性及适用性，以便更准确地求解边坡安全系数。

在实际工程中，使用最广泛的边坡失稳判据通常有3种，分别为：数值计算不收敛失稳判据^[12-14]、特征点位移突变判据^[15-16]和塑性区贯通判据^[17-18]。除此之外，刘金龙等^[19]认为，以迭代计算不收敛作为边坡失稳判据求解边坡安全系数时存在误差较大、计算结果不准确等问题，不具有广泛适用性；吴春秋^[20]提出了边坡临界破坏状态判别的动力学评判法，即以加速度是否为零作为边坡破坏标准；张培文等^[21]指出无论泊松比和弹性模量是否改变，当折减系数达到一定的数值时，节点的塑性应变都会突然增大，因此可以根据折减系数与塑性应变关系曲线判断边坡是否失稳；刘新荣等^[22]和柴红保等^[23]对典型边坡算例进行了稳定性分析，提出利用能量突变的方式来判断边坡是否失稳。

与有限元强度折减法一样，失稳判据的选择亦是物质点强度折减法计算中最重要的环节，失稳判据不仅会影响安全系数的计算结果，还会对后续边坡支护设计的方式和造价产生一定影响。近年来，许多学者^[24-26]发展了基于物质点强度折减法的边坡稳定性分析方法。例如，王双等^[24]利用安全系数转换准则并结合物质点强度折减法，对某一土质边坡进行了稳定性分析，在此基础上，评价了边坡破坏后对周边设施及下游农田、道路及构筑物的影响程度；史卜涛等^[25]在初始应力场的基础上利用物质点强度折减法对一典型边坡进行了稳定性分析，提出可以采用边坡坡顶点垂向位移与边坡折减系数之间的突变性作为边坡失稳判据；王安礼等^[26]提出仅折减边坡滑动面黏聚力和内摩擦角的物质点局部强度折减法，并与一般强度折减有限元法和极限平衡法进行了对比。然而，上述物质点强度折减法的研究都集中于边坡安全系数的求解，而没有对其失稳判据的合理性及适用性进行深入分析。

为此，笔者基于清华大学计算动力学实验室张雄教授研发的开源MPM3D代码^[27]，利用物质点强度折减法，对2个边坡算例依次进行稳定性分析，求解边坡在数值计算不收敛、特征点位移突变、塑性应变贯通和界限值这4种失稳判据下的安全系数，分析探讨4种不同边坡失稳判据的合理性及适用性，为利用物质点强度折减法对边坡稳定性进行合理分析提供理论依据。

1. 物质点强度折减法基本原理

1.1 物质点法

为了处理与变形历史相关的问题，Sulsky等^[28]于1994年提出了物质点法(material point method, 简称MPM)，该方法首先将待求解区域离散成一系列质点，这些质点携带了该区域的所有物理量(质量、密度、速度等)，而背景网格不携带任何参数，仅用于数值计算^[29-30]。在计算过程中，每个计算时间步都采用初始网格，避免了有限元计算中的网格畸变。其基本计算流程如下：

(1) 将物质点的质量和动量映射到背景网格上，计算背景网格节点的质量和动量，求解节点速度：

$v_{il}^{n - 1/2} = \frac{{p_I^{n - 1/2}}}{{m_I^n}} = \frac{{\sum\limits_{p = 1}^{{n_p}} {{m_p}v_{ip}^{n - 1/2}N_{Ip}^n} }}{{\sum\limits_{p = 1}^{{n_p}} {{m_p}N_{Ip}^n} }}$

(1)

式中：v_il^n-1/2为t时刻背景网格节点速度；p_I^n-1/2、m_Iⁿ和v_ip^n-1/2分别为t时刻物质点动量、质量和速度；N_Ipⁿ为形函数。

(2) 计算物质点的应变增量Δε_ijp^n-1/2和旋量增量ΔΩ_ijp^n-1/2，更新物质点的密度和应力：

$\Delta \varepsilon _{ijp}^{n - 1/2} = \Delta t\sum\limits_{I = 1}^8 {\frac{1}{2}} \left( {N_{Ip, j}^nv_{iI}^{n - 1/2} + N_{Ip, i}^nv_{ij}^{n - 1/2}} \right)$

(2)

$\Delta \Omega_{i j p}^{n-1 / 2}=\Delta t \sum\limits_{I=1}^{8} \frac{1}{2}\left(N_{I p, j}^{n} v_{i I}^{n-1 / 2}-N_{I p, i}^{n} v_{i j}^{n-1 / 2}\right)$

(3)

式中：Δε_ijp^n-1/2和ΔΩ_ijp^n-1/2分别为t时刻物质点的应变增量和旋量增量；Δt为时间间隔。

(3) 计算背景网格节点力f_iIⁿ，施加边界条件：

$\begin{aligned} f_{i I}^{n}=& f_{i I}^{\mathrm{int}, n}+f_{i I}^{\mathrm{ext}, n}=\sum\limits_{p=1}^{n_{p}} m_{p} N_{I p}^{n} b_{i p}^{n}+\\ & \sum\limits_{p=1}^{n_{p}} m_{p} \bar{t}_{i p} h^{-1} \frac{m_{p}}{\rho_{p}}-\sum\limits_{p=1}^{n_{p}} N_{I p, j}^{n} \sigma_{i j p} \frac{m_{p}}{\rho_{p}} \end{aligned}$

(4)

式中：f_iI^{int, n}和f_iI^{ext, n}分别为t时刻节点内力和节点外力；b_i为单位质量的体积力；t_i为比边界面力；σ_ijp为Cauchy应力；ρ_p为物质点密度。

(4) 积分背景网格节点动量方程：

$p_{i I}^{n+1 / 2}=p_{i I}^{n-1 / 2}+f_{i I}^{n} \Delta t^{n}$

(5)

式中：p_iI^n+1/2为t+Δt时刻背景网格节点动量；p_iI^n-1/2为t时刻背景网格节点动量。

(5) 将背景网格节点动量方程计算结果映射回物质点，更新物质点的位置和速度：

$x_{i p}^{n+1}=x_{i p}^{n}+\Delta t^{n+1 / 2} \sum\limits_{I=1}^{8} \frac{p_{i I}^{n+1 / 2} N_{I p}^{n}}{m_{I}^{n}}$

(6)

$v_{i p}^{n+1}=v_{i p}^{n-1 / 2}+\Delta t^{n} \sum\limits_{I=1}^{8} \frac{f_{i I}^{n} N_{I p}^{n}}{m_{I}^{n}}$

(7)

式中：x_ipⁿ⁺¹和x_ipⁿ分别为t时刻和t+Δt时刻物质点位置；v_ipⁿ⁺¹和v_ip^n-1/2分别为t时刻和t+Δt时刻物质点速度。

1.2 物质点强度折减法

与有限元强度折减法类似，物质点强度折减法^[25]同样也是依据给定的折减系数，利用强度折减理论对边坡土体黏聚力c和内摩擦角φ不断折减来迫使边坡达到极限平衡状态，从而利用物质点强度折减法数值计算程序自动获取边坡安全系数和滑动面^{[18, 31-33]}。折减后的土体材料参数分别为：

${c_1} = \frac{{{c_0}}}{{{F_{\rm{t}}}}}$

(8)

${\varphi _1} = {\rm{arctan}}\frac{{{\rm{tan}}{\varphi _0}}}{{{F_{\rm{t}}}}}$

(9)

式中：F_t代表折减系数；c₀表示折减前的黏聚力；c₁表示折减后的黏聚力；φ₀表示折减前的内摩擦角；φ₁表示为折减后的内摩擦角。

物质点强度折减法具有有限元法的各种优势，包括考虑土体弹塑性关系和不需要假定滑动面的形状和位置，但不存在网格畸变使数值计算不收敛等问题^[34]。由于物质点法属于动力分析方法，而边坡稳定性分析属于静力问题，因此，计算之前需要生成边坡初始应力场。王双等^[24]和孙玉进等^[35]分别使用人工阻尼和GIMP形函数生成边坡初始应力场以消除应力波快速传播和粒子跨越网格^[36]引起的数值振荡，并验证了其有效性。本研究采用文献[25]提出的方法生成边坡初始应力场。物质点强度折减法计算过程主要包括以下5个步骤：①建立边坡模型，将边坡离散成物质点。具体包括：a.利用第三方CAE软件ABAQUS建立边坡模型、划分网格并导出单元编号和节点坐标；b.将导出的单元信息导入数据处理软件MATLAB中进行边坡离散，并导出物质点质量、面积和坐标等计算所需信息。②利用强度折减理论对边坡土体材料参数进行折减并生成边坡初始应力场。③在初始应力场的基础上，基于步骤②获得的初始折减系数F_t，在重力作用下进行物质点法计算，并记录边坡应力-应变和特征点最大位移。④增大强度折减系数F_t，将折减后的土体材料参数重新赋值给计算模型并重新计算，同时记录该折减系数下边坡特征点最大位移和塑性应变发展情况。⑤重复步骤④，不断增大F_t，降低边坡土体材料参数，直至边坡失稳，此时的F_t即为边坡安全系数F_s。

2. 算例分析

为了便于讨论，本研究选用2个边坡作为算例，利用物质点强度折减法求解安全系数，并和其他方法的计算结果作对比，综合分析各种判据下获得的边坡安全系数的有效性与适用性。

2.1 基本计算参数

算例1选自文献[25]，采用非关联流动准则，边坡外形如图 1所示，其中坡高H=10 m，坡角β=45°。算例2选自文献[37]，采用关联流动准则，边坡外形如图 2所示，其中坡高H=10 m，坡角β=26°；算例1和算例2在计算中所用的土体材料参数如表 1所示。

图 1 算例1边坡几何尺寸

Figure 1. Slope geometry of example 1

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图 2 算例2边坡几何尺寸

Figure 2. Slope geometry of example 2

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表 1 边坡基本计算参数

Table 1. Fundamental calculation parameters of slope

土体参数	算例1^[25]	算例2^[37]
重度γ/(kN·m^-2)	20	20
内摩擦角φ/(°)	12.38	20
黏聚力c/kPa	20	15
弹性模量E/kPa	100	100
泊松比υ	0.35	0.30
膨胀角ψ/(°)	0	9

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在本次计算中，算例1和算例2均采用平面应变分析。土体均采用服从Drucker-Prager(DP)屈服准则理想弹塑性本构模型^[25]。其中算例1的计算时间为15 s，总计算步数为84 269步；算例2的计算时间为20 s，总计算步数为102 564步。为了更好地还原边坡现场的真实状态，算例1和算例2边坡底部在3个方向均固定来模拟基岩，两侧、前面和后面均采用一端固定、一端自由的对称边界条件^[35]来模拟平面应变情况下土体的各种状态。

2.2 计算结果

用极限平衡法和有限元强度折减法计算出的算例1和算例2边坡安全系数如表 2所示，可以看出，用极限平衡法计算出的算例1和算例2边坡的安全系数分别为0.996和1.593；用有限元强度折减法对该边坡进行稳定性计算，在3种不同失稳判据下获得的算例1的边坡安全系数分别为0.98, 0.99和1.06，以位移突变作为边坡失稳判据获得的算例2的安全系数为1.60。

表 2 不同方法得到的安全系数

Table 2. F_s obtained by various methods

方法	算例1(F_s)	算例2(F_s)
Spencer极限平衡法	0.996^[38]	1.593
有限元法(塑性区贯通)	0.98^[38]	—
有限元法(位移突变)	0.99^[38]	1.60^[39]
有限元法(计算不收敛)	1.06^[38]	—

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3. 不同失稳判据下的边坡安全系数

在初始应力场的基础上，利用物质点强度折减法对算例1和算例2进行了稳定性分析，分别采用数值计算不收敛、特征点位移突变、塑性区贯通和坡顶最大位移随时间步增长趋于稳定的界限值作为边坡失稳判据，求解其安全系数。

3.1 计算不收敛判据

本研究物质点法采用中心差分法^[27]显示求解，该方法是一种求解偏微分(或常微分)方程和方程组定解问题的数值分析方法，它满足CFL条件^[40]，数值计算是稳定的。根据Lax等价性定理^[41]，对于线性偏微分方程组初值问题，一个与之相容的线性差分格式收敛的充分必要条件是该格式是稳定的。所以这种差分格式是收敛的，因此计算不收敛不能作为物质点强度折减法计算边坡失稳判据。在物质点强度折减法计算中，即使对边坡黏聚力和内摩擦角进行较大的折减，计算仍然是稳定的。

3.2 位移突变判据

算例1和算例2分别以坡顶点A、C和坡脚点B、D为特征点(如图 1，2所示)，计算边坡在不同折减系数下的位移，计算结果如表 3所示。同时，图 3进一步展示了算例1中A点的竖、横向位移、B点的横向位移和算例2中C点竖、横向位移和D点的横向位移随折减系数F_s的变化规律。

表 3 不同折减系数下算例1和2边坡位移

Table 3. Displacement of example 1 and 2 for different F_t

	F_t	y_A，y_C/m	x_A, x_C/m	x_B, x_D/m
算例1	0.95	0.013	0.001	0.003
	0.96	0.014	0.002	0.003
	0.97	0.015	0.002	0.004
	0.98	0.016	0.003	0.004
	0.99	0.019	0.005	0.005
	1.00	0.026	0.010	0.008
	1.01	1.313	0.923	0.426
	1.02	1.384	0.977	0.169
	1.03	1.484	1.051	0.500
算例2	1.10	0.018	0.000	0.002
	1.20	0.019	0.000	0.003
	1.30	0.020	0.002	0.004
	1.40	0.020	0.003	0.005
	1.50	0.024	0.006	0.007
	1.60	0.028	0.012	0.016
	1.70	0.054	0.041	0.060
注：表中y_A和y_C分别为算例1和算例2的坡顶点竖向位移，x_A和x_C分别为算例1和算例2的坡顶点横向位移，x_B和x_D分别为算例1和算例2的坡脚点横向位移

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图 3 边坡特征点位移随折减系数变化曲线

Figure 3. Variation curve of slope characteristic point displacement with reduction coefficient

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由图 3中算例1和算例2边坡坡顶点横向、竖向位移和坡脚点横向位移随折减系数的突变性可以得到，算例1边坡的安全系数近似为1.00，算例2边坡的安全系数近似为1.60，与上述表 2中的计算结果较为接近。因此，边坡坡面上各个特征点的位移突变性可作为边坡失稳判据。

3.3 塑性应变贯通判据

图 4和图 5分别给出了算例1和算例2在不同折减系数下的塑性应变分布图，可以看出，用本文方法计算出的边坡潜在滑动面与其他方法的结果基本一致。

图 4 不同强度折减系数下的等效塑性应变区(算例1)

Figure 4. Equivalent plastic strain zone for different F_t values (example 1)

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图 5 不同强度折减系数下的等效塑性应变区(算例2)

Figure 5. Equivalent plastic strain zone for different F_t values (example 2)

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对于算例1，由图 4-a可知，当F_t=1.00时，边坡没有发生失稳且塑性应变很小；当F_t=1.01时，边坡已形成塑性变形贯通区而失稳，且此时边坡滑动面附近的塑性应变出现不同程度增大。进一步研究发现，若取0.3的等效塑性应变为塑性区贯通的标准，则由图 4-b可知，F_t=1.01；若取0.4为标准，则由图 4-c可知，F_t=1.02；同理，若取0.5为标准，由图 4-d可知，则F_t=1.03。显然，塑性应变的取值不同，获得的衰减系数也不同。然而，当折减系数为1.01时，边坡已经发生较大变形而失稳，因此只有塑性应变为0.3的塑性区贯通，而塑性应变为0.4和0.5的塑性区在实际中不可能会存在。

同理，对于算例2，由图 5可知，若以0.004的等效塑性应变为标准，则F_t=1.63；若以其他值的等效塑性应变贯通作为该边坡失稳判据的标准，则该边坡安全系数F_s大于1.63。

裴立建等^[42]指出，目前暂时缺乏详细介绍如何确定塑性区贯通判据的塑性应变幅值的成果，因此文献对塑性应变的取值暂时没有理论依据和统一标准，大多依赖于研究者的经验和主观判断，具有人为任意性。赵尚毅等^[43]也指出，边坡塑性应变贯通不是边坡失稳的充要条件，并不能证明边坡已经发生失稳破坏，判断边坡是否失稳还要看边坡是否发生了大变形。另外，对于不同类型的边坡，土体参数、网格单元尺寸和积分方式等因素都会影响塑性应变的大小，因此不能单独使用该判据于物质点强度折减法求解边坡安全系数。

3.4 界限值判据

若以特征点最大位移随时间步增长曲线趋于稳定的界限值作为边坡失稳判据，则采用第2节中的计算模型、计算参数和计算方法，计算出的算例1和算例2在不同折减系数下特征点最大位移随计算时间步变化曲线如图 6所示。需要说明的是：算例1边坡发生了较大变形，位移变化较大，因此图 6-a计算步数的起点为计算开始阶段；而算例2边坡仅发生了小变形，在初始应力场生成阶段位移小于0.1 cm，当初始应力场生成完毕，即时间步为15 384步时才发生了明显变形，因此，为了更直观地反映不同折减系数下计算时间步与特征点最大位移之间的关系，图 6-b计算步数的起点选择初始应力场加载完毕阶段。

图 6 不同折减系数下计算时间步与特征点最大位移曲线

Figure 6. Curve of calculation steps and maximum displacement under different reduction coefficients

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对于算例1，由图 6-a可知，当F_t≤1.00时，特征点最大位移随时间步的增长变化缓慢并趋向稳定；当F_t>1.00时，特征点最大位移随时间步持续增长且增长速度越来越快，无趋向稳定的趋势。由此说明，当F_t≤1.00时，边坡是稳定的，仅发生较小的竖向位移，当F_t>1.00时，边坡已经失稳，发生了较大位移。由此可知，折减系数F_t=1.00是明显的界限值，可以认为该边坡安全系数为F_s=1.00。

对于算例2，由图 6-b可知，当F_t≤1.68时，特征点随计算时间步的增长先增加后趋于稳定；当F_t>1.68时，特征点最大位移随时间步的增长持续增加，无趋于稳定的趋势。因此，折减系数F_t=1.68是明显的界限值，可以认为该边坡的安全系数F_s=1.68。

由上述分析可知，该失稳判据下，算例1的安全系数计算结果与其他两种方法的计算结果没有太大差别，基本一致，这是因为算例1边坡发生了较大变形，位移发展迅速；而算例2的安全系数计算结果与其他两种方法的计算结果相差较大，差值为0.08，这是因为算例2没有发生较大变形，位移发展缓慢。因此，在计算发生很小位移边坡的安全系数时，不能单独使用该判据求解边坡安全系数。

4. 讨论

4.1 计算时间步对塑性区的影响

为了说明塑性区随计算时间步增加的变化情况，绘制了算例2边坡在同一折减系数下，边坡塑性区发展情况随时间步变化图(图 7)。

图 7 同一折减系数下算例2边坡塑性应变随计算时间步分布图

Figure 7. Plastic strain zone with calculation steps for example 2 under the same reduction coefficient

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由图 7可知，在同一折减系数下，算例2边坡的滑动面在边坡底部开始形成，随着计算时间步的增大，滑动面从边坡底部贯通至顶部，从而导致边坡形成类似弧形的滑动面。因此，在同一折减系数下，随着计算时间步的增加，特征点位移和塑性区都会发生变化。

4.2 破坏模式对边坡安全系数的影响

本节以算例2边坡为例来说明破坏模式对边坡安全系数的影响。图 8给出了用Spencer极限平衡法和物质点强度折减法计算出的算例2边坡潜在滑动面。

图 8 算例2边坡潜在滑动面

Figure 8. Potential sliding surface of example 2

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由图 8可知，用Spencer极限平衡法计算出的算例2边坡潜在滑动面刚好穿过坡脚点，用物质点强度折减法计算出的算例2边坡潜在滑动面没有穿过坡脚点，而在坡脚点下部；由图 8和表 4可知，当边坡潜在滑动面不穿过坡脚点时，坡脚点位移也会发生变化；由图 8和表 2可知，当物质点强度折减法计算出的边坡潜在滑动面与Spencer极限平衡法有差异时，用特征点位移突变计算出的边坡安全系数与Spencer极限平衡法的计算结果基本一致，说明物质点强度折减法的计算结果合理可靠。

4.3 计算效率

物质点法的计算效率与物质点大小、物质点数量、背景网格间距、时间步长因子、稳定时间、折减次数、电脑性能等因素有关，现以算例1边坡为例来说明物质点强度折减法的计算效率。对于算例1边坡，时间步长因子设为0.2，采用2.90 GHz CPU(Intel(R) Core(TM) i5-10400 CPU)和16.0 GB内存的计算机对该边坡进行稳定性计算，物质点强度折减法所需的计算时间为72分10秒；在ABAQUS中用有限元强度折减法计算的时间为16 s；在GeoStudio中，增量数和半径增加数设置为20，则用Spencer极限平衡法所需时间为10 s。由上述分析可知：物质点强度折减法的计算时间明显高于Spencer极限平衡法和有限元法的计算时间，因此，用物质点强度折减法计算边坡安全系数等小变形问题时，其计算效率较低。

5. 结论

(1) 因物质点数值计算是稳定的，因此采用显式物质点强度折减法求解边坡安全系数时，不能以数值计算不收敛作为边坡失稳判据。

(2) 可以使用特征点位移突变作为边坡失稳判据，但在计算过程中应尽可能在坡面上布置多个特征点，以综合考虑各个特征点位移与折减系数之间的关系。

(3) 某一幅值的塑性应变从坡脚贯通至坡顶是边坡失稳的非充分必要条件，同时塑性应变幅值的选择没有一定的统一标准，缺乏客观指标，大多依赖于人的主观判断，因此塑性区贯通判据可作为其他边坡失稳判据的参考，而不适合单独作为边坡失稳判据；此外，计算时间步对边坡塑性区有较大影响，在计算过程中，计算时间应大于边坡滑动时间，以消除计算时间步对边坡塑性区的影响。

(4) 边坡没有发生较大变形时，使用边坡特征点最大位移随时间步增长趋于稳定的界限值计算出的安全系数偏大，因此，该判据可以作为其他失稳判据的参考，但不能单独使用该判据求解边坡安全系数。

(5) 为了计算结果的准确性，在计算过程中，建议采用特征点位移突变为主、塑性区贯通和边坡特征点最大位移随时间步增长趋于稳定的界限值为辅的失稳判据来求解边坡安全系数；但物质点强度折减法的计算时间明显高于Spencer极限平衡法和有限元法的计算时间，因此，用物质点强度折减法计算边坡安全系数等小变形问题时，计算效率较低。

图 1 算例1边坡几何尺寸

Figure 1. Slope geometry of example 1

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图 2 算例2边坡几何尺寸

Figure 2. Slope geometry of example 2

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图 3 边坡特征点位移随折减系数变化曲线

Figure 3. Variation curve of slope characteristic point displacement with reduction coefficient

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图 4 不同强度折减系数下的等效塑性应变区(算例1)

Figure 4. Equivalent plastic strain zone for different F_t values (example 1)

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图 5 不同强度折减系数下的等效塑性应变区(算例2)

Figure 5. Equivalent plastic strain zone for different F_t values (example 2)

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图 6 不同折减系数下计算时间步与特征点最大位移曲线

Figure 6. Curve of calculation steps and maximum displacement under different reduction coefficients

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图 7 同一折减系数下算例2边坡塑性应变随计算时间步分布图

Figure 7. Plastic strain zone with calculation steps for example 2 under the same reduction coefficient

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图 8 算例2边坡潜在滑动面

Figure 8. Potential sliding surface of example 2

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表 1 边坡基本计算参数

Table 1. Fundamental calculation parameters of slope

土体参数	算例1^[25]	算例2^[37]
重度γ/(kN·m^-2)	20	20
内摩擦角φ/(°)	12.38	20
黏聚力c/kPa	20	15
弹性模量E/kPa	100	100
泊松比υ	0.35	0.30
膨胀角ψ/(°)	0	9

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表 2 不同方法得到的安全系数

Table 2. F_s obtained by various methods

方法	算例1(F_s)	算例2(F_s)
Spencer极限平衡法	0.996^[38]	1.593
有限元法(塑性区贯通)	0.98^[38]	—
有限元法(位移突变)	0.99^[38]	1.60^[39]
有限元法(计算不收敛)	1.06^[38]	—

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表 3 不同折减系数下算例1和2边坡位移

Table 3. Displacement of example 1 and 2 for different F_t

	F_t	y_A，y_C/m	x_A, x_C/m	x_B, x_D/m
算例1	0.95	0.013	0.001	0.003
	0.96	0.014	0.002	0.003
	0.97	0.015	0.002	0.004
	0.98	0.016	0.003	0.004
	0.99	0.019	0.005	0.005
	1.00	0.026	0.010	0.008
	1.01	1.313	0.923	0.426
	1.02	1.384	0.977	0.169
	1.03	1.484	1.051	0.500
算例2	1.10	0.018	0.000	0.002
	1.20	0.019	0.000	0.003
	1.30	0.020	0.002	0.004
	1.40	0.020	0.003	0.005
	1.50	0.024	0.006	0.007
	1.60	0.028	0.012	0.016
	1.70	0.054	0.041	0.060
注：表中y_A和y_C分别为算例1和算例2的坡顶点竖向位移，x_A和x_C分别为算例1和算例2的坡顶点横向位移，x_B和x_D分别为算例1和算例2的坡脚点横向位移

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