地磁场模拟中的极型场和环型场

本文叔述了面算子理论,并运用于四个球上的面算子:无量纲面梯度算子▽_1=r▽-r(?)_r;无量纲面旋度算予∧_1=(?)×▽_1;无量纲面拉普拉斯算子▽_1~2=▽_1·▽_1;以及Funk-Hecke算子,即具有轴对称核的积分算子。给出了三种将▽_1~2g=f解出为g=▽_1~((?)2)f的方法:其一用于当f具有迅速收敛的球谐展开式时的数值计算,其二用于f沿经度方向光滑的而沿纬度方向不光滑的情形,其三是一种Funk-Hecke运算,用于f在任意方向都不光滑的情形。应用这些理论和方法完整地证明了任一矢量场v在中心为原点半径为r的球面S(r)上的Helmholtz表示,即在S(r)上,存在唯一的一组标量场f、g、h,使得v=(?)f+▽_1g+∧_1h且_r=_r=0。这里_r为g在S(r)上的平均值。从球面的Helmholtz表示,导出球壳上的Mie表示,即极型-环型表示。设S(a,c)为内边界是S(a)、而外边界是S(c)的球壳,又设B在S(a,c)上是无源的,即▽·B=0,且_a=0,则在S(a,c)上存在唯一的一组标量场P和Q使B=▽×∧_1P+∧_1Q,且当a≤r≤c时,

_r=_r=0。场P=▽×∧_1P和Q=∧_1Q分别为B的极型部分和环型部分。本文讨论了这种形式在地磁场模拟中的应用。推广了将地磁场B在S(b)上分解为内源场和外源场的Gauss方法;如果径向电流J_r在S(b)上不为零,那么必须在Gauss表示中加上一个完全由于S(b)上的J_r引起的S(b)上的环型场。简要地证明了Runcorn定理,即对于磁化率的一级近似而言,为其内部的磁源极化的水平均匀球壳的磁化强度不会形成外部磁场。叙述了基于Funk-Hecke算子理论的模拟电离层电流的方法,它也许比截断的球谐展开更精确,比Biot-Savart积分容易使用。最后,这种形式使在球壳S(a,c)上模拟人造卫星采集的地磁场成为可能,而在这球壳内电流是不能忽略的。提出了两个近似方案:一个是截断的(c—a)/H的幂级数展开,其中H是电流的径向长度尺度;另一则假定S(a,c)中B的绝大部分不是由S(a)和S(c)之间的电流引起的,S(a,c)中的电流是场向的。如此,在很确定的意义上说,在S(a,c)中,物理上可能的磁场集合只比该区域的真空磁场集合大50％。本文详述了计算方法