An asymptotic solution for the stellar case of the non-planar three-body problem

A simplified model of the Non-Planer Three-Body Problem is considered in which to particles, forming a close binary, orbit a distant point. A small parameter , related to the distance separating the binary and the remaining mass, is defined. The time is eliminated from the equations of motion and an angular variable is used instead. A three-variable expansion procedure is used to find an asymptotic solution of the problem. It is possible to obtain a solution up to the order six in without secular terms only if the mutual inclinationi ₀ of the unperturbed orbits is less than a critical inclinationi ₁ (i ₁39°).

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Resumé On considère un modèle simplifié du Problème Non-Plan des Trois Corps, dans lequel deux particules, formant une binaire proche, sont en orbite par rapport à un troisième point éloigné des deux autres. On définit un petit paramètre , lié à la distance séparant la binaire de la particule restante. On élimine le temps des équations du mouvement et on utilise une variable angulaire comme nouvelle variable indépendante. Une méthode de développement à trois échelles est utilisée permettant d'obtenir une solution asymptotique du problème. On montre qu'il est possible d'obtenir une solution jusqu'à l'ordre six en sans termes séculaires uniquement si l'inclinaison mutuellei ₀ des orbites non perturbés est inférieure à un angle d'inclinaison critiquei ₁ (i ₁39°).

     

Systems hamiltoniens au voisinage d'une solution d'equilibre. I:Orbites périodiques dans les cas résonnants

Resume On étudie les solutions périodiques d'un système Hamiltonien au voisinage des résonances _i/_j N_i et N_j sont des nombres entiers premiers entre eux.Dans le cas ou l'hamiltonien à la forme H=H₀+H₁, une procédure générale est donnée pour trouver les familles de solutions périodiques. Le développement asymptotique de la solution peut être calculé explicitement. L'étude de la stabilité est traitée (Stellmacher, 1984).Une application aux problèmes de dynamique galactique pour un système à trois degrés de liberté est faite pour le voisinage de la résonance 221.

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Hamiltonian systems in the neighbourhood of an equilibrium solution. I:Periodic orbits in cases of resonance

We study the periodic solutions of an Hamiltonian system with n degrees of freedom, near an equilibrium point, in the vicinity of the resonances _i/_jN_i/N_j. N_i/N_j are fractions in their lowest terms for any pair (i, j).In this case, a general procedure to find the families of periodic solutions is given. The asymptotic solutions can explicitly be calculated including the periods. (The stability will be presented in Stellmacher (1984).) An application to a galactic dynamics problem in a system with three degrees of freedom near the resonances 221, is analytically treated in detail.

     

Lois exponentielles de distance pour les systèmes de satellites

Résumé Une formulation exponentielle de la loi empirique de Titus-Bode a été proposée par Basano et Hugues. Ces auteurs introduisent l'hypothèse de trois planètes manquantes ou trous. Toutes les planètes obéissent à la relation a _n = ⁿ qui donne les demi-grands axes a des planètes pour des valeurs entières de n.Nous proposons une nouvelle méthode qui permet de retrouver la relation de Basano et Hugues pour le système solaire. Nous appliquons cette méthode aux systèmes de satellites de Jupiter, Saturne et Uranus en introduisant des trous pour combler les lacunes dans les séquences de satellites. Nous en tirons trois relations exponentielles de distance, analogues à la relation de Basano et Hugues. Nous constatons que les coefficients sont semblables pour les systèmes solaire, jovien et uranien alors que le coefficient du système de Saturne vaut approximativement la racine carrée des trois autres .Nous expliquons cet espacement exponentiel grâce à un modèle simple d'une nébuleuse gazeuse initiale soumise à de petites perturbations qui engendrent des oscillations dans la distribution de densité. Les minima de la densité perturbée sont donnés par les zéros des fonctions de Bessel décrivant la propagation de la perturbation. Les positions des maxima correspondent aux sites d'accrétion.Tous les trous introduits dans les parties intérieures des systèmes de satellites sont comblés par les anneaux et petits satellites. Dans le système d'Uranus, il reste deux trous vacants qui pourraient être occupés par des petits satellites non encore découverts.

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Exponential distance laws for satellite systems

A revised Titius-Bode law for the Solar system was proposed by Basano and Hugues, by introducing three missing planets. This law can be written a _n = ⁿ (with = 0.2853 AU and = 1.5226), which gives the distances a _n of the nth planet for successive integers n.We propose a new method to find this Basano-Hugues law for the Solar system. Based upon the comparison of the ratios of successive distances, this method can be applied to the satellite systems of the three giants planets Jupiter, Saturn and Uranus by introducing missing satellites to fill the gaps in satellites sequences. We find three exponential distance relations, similar to that of Basano-Hugues. We note that the coefficients for the Solar, Jovian and Uranian systems are almost equal while the Saturnian system's coefficient is nearly the square root of that of the three others.We explain that exponential spacing by a simple model of an initial gaseous nebula subject to small perturbations generating oscillations in the density distribution. The minima of the perturbed density are given by the zeros of Bessel functions describing the perturbation propagation. The maxima positions correspond to accretion sites.All the empty places in the inside parts of satellite systems are occupied by rings and small satellites. In the Uranian system, there are two empty places which could be filled by new undiscovered small satellites.

     

Influence du champ magnétique terrestre sur le mouvement d'un satellite autour de son centre de gravité

Résumé On étudie l'effet du champ magnétique terrestre sur le mouvement d'un satellite autour de son centre de gravité. Le satellite possède une symétrie dynamique et un moment magnétique propre dirigé suivant l'un des axes principaux d'inertie; le champ magnétique terrestre est assimilé au champ d'un dipôle dont les pôles coïncident avec les pôles terrestres. On néglige les perturbations de la trajectoire du satellite qui est supposée circulaire. La position du satellite par rapport à son centre de gravité est repérée dans un système d'axes lié au plan de l'orbite et le mouvement est décrit à l'aide des angles d'Euler , , . La symétrie sphérique et le choix du moment magnétique sur l'un des axes d'inertie permettent d'éliminer l'angle .La solution pour et peut se développer en séries de puissance d'un petit paramètre . Les séries convergent pour ||<1.Lorsque le moment magnétique est faible on la rotation du satellite rapide, est faible. Les développements sont calculés effectivement jusqu'à ².La comparaison des résultats avec l'intégration numérique du système d'équations différentielles est satisfaisante.

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The effect of the Earth's magnetic field on the motion of a satellite around its centre of mass is investigated. The satellite is assumed to be dynamically symmetric and to be magnetized in the same direction as that of a principal axis. The Earth's magnetic field is assumed to be a dipole field whose poles coincide with the rotation poles of the Earth. The satellite's orbit is circular and perturbations are neglected. The position of the satellite with respect to its centre of mass is given with respect to a coordinate system fixed in the orbital plane and the motion is described by Euler's angles , , . The spherical symmetry and the coincidence of the magnetic moment with a principal axis allow one to eliminate the angle .The solution for and , can be expanded in power series for small parameter .The series converge for <1. is small for a small magnetic moment or a high angular velocity of the rotating satellite. The terms of the expansion of the series are calculated up to ².The comparison of the results with those obtained by numerical integration of the differential equation is satisfactory.

     

Etude variationnelle des decalages spectraux

Sommaire L'auteur se propose d'établir une formulation générale non relativiste des décalages spectraux à partir d'une méthode variationnelle.Le premier pas consiste à établir pour l'espace euclidien ₃ une formulation duale de l'effet Doppler-Fizeau et à montrer que celle-ci peut s'interpréter comme un principe de moindre action. Nous faisons ressortir dans ce cas les hypothèses utilisées: isotropie de l'espace et uniformité du temps appliquées à un système lagrangien. Une telle façon d'opérer nécessite l'utilisation du groupe d'isométries de ₃, la comparaison des trajectoires naturelle et variée ne pouvant s'effectuer qu'au voisinage de l'observateur. Dans le cas où le groupe d'isométries de ₃ ne peut être utilisé, il y a surestimation systématique des décalages spectraux observés.La seconde étape est d'assimiler l'espace physique à une variété riemannienneV ₃ et à montrer que le temps peut être défini à partir des géodésiques de cette variété. Cela est possible en assimilant. pour un observateur donné, les surfaces isochrones (t) à une variété quotientV ₂ telle queV ₃ =V ₂ ×R. Cela implique l'existence de trajectoiresnon naturelles passant par deux points donnés deV ₃, de longueurs plus petites que celles des géodésiques riemanniennes correspondantes. D'où l'existence d'un temps propre local, mesuré le long des géodésiques, variable d'un point à l'autre selon les différences de symétries de l'espace au voisinage de ces points.Nous pouvons alors considérer dans un troisième temps l'espace physique comme un système lagrangien nanti de temps propres uniformes et tels que l'on passe du lagrangienG, définissant les conditions de symétries de la variétéV ₃, au lagrangien local G par une transformation conforme. Si l'on suppose que la fonction de transformationF(x,t) varie très lentement avec x ett, on est conduit à une relation entre les temps propres de deux points quelconques deV ₃.L'application d'un principe de moindre action, avec ces hypothèses permet alors une formulation non relativiste des décalages spectraux, contenant à la fois l'effet Doppler-Fizeau, un effet gravitationnel et un effet cosmologique. On peut alors considérer l'effet Doppler-Fizeau comme résultant d'un principe de Fermat généralisé.

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The aim of the author has been to establish a non-relativistic general formulation for the shift of spectral lines by means of a variational method.As a first step, we establish a dual formulation of the Doppler-Fizeau effect for Euclidean space ₃, and we show this can be interpreted as a principle of least action. In this case, the hypothesis can be clearly exhibited: isotropy of space and uniformity of time applied toaa Lagrangian system. The use of the isometries group of ₃ is required, since the comparison with the fiducial trajectory can be done only near the observer. A systematic overvaluation appears when incorrect use of this groups is made.The second step consists of an identification of the physical space with a Riemannian manifoldV ₃. The time can be defined by means of geodesics ofV ₃. This can be done by taking an isochronic surface (t) as aV ₂ quotient manifold such asV ₃ =V ₂ ×R. This implies the existence ofnonnatural trajectories of less extent than the corresponding geodesics. From that, we deduce the existence of a local proper time, measured along geodesics, which depends on the local conditions of symmetry.In a third step, we can consider the physical space as a Lagrangian system with uniform proper time allowing us to proceed from LagrangianG, describing the symmetry conditions of theV ₃ manifold, to a local Lagrangian G by means of a conformal transformation. If the transformation functionF(x,t) is supposed to be slowly variable with x andt, a relation between the proper times of any two points in the manifold can be found.With this hypothesis, the application of the principle of stationary action leads to a nonrelativistic formulation for shifts of spectral lines including, at the same time, the Doppler-Fizeau effect, the gravitational effect, and the cosmological effect. In this case, we can consider the Doppler-Fizeau effect as the result of a generalised Fermat principle.

     

The celestial pole coordinates

The coordinates of the Celestial Ephemeris Pole in the Celestial Reference System (CRS) can advantageously replace the classical precession and nutation parameters in the matrix transformation of vector components from the CRS to the Terrestrial Reference System (TRS). This paper shows that the new matrix transformation using these coordinates in place of the preceding parameters would be conceptually more simple, especially when associated with the use of the non-rotating origin on the instantaneous equator (Guinot 1979, Capitaine et al. 1986) and of a celestial reference frame as realized by positions of extragalactic sources. In such a representation, the artificial separation between precession and nutation is avoided and the practical computation of the matrix transformation only requires the knowledge of the two celestial direction cosines of the pole, instead of the large number of the quantities generally considered. The development of these coordinates is given as function of time so that their use is equivalent (when using the CRS defined by the mean pole and mean equinox of epoch J2000.0, the 1976 IAU System of Astronomical Constants and the 1980 IAU theory of nutation) to the one of the conventional series for the precession (Lieske et al. 1977) and nutation (Seidelmann 1982) parameters. Such a theoretical development should also be used in order to derive more directly the numerical coefficients of the celestial motion of the instantaneous equator from very precise observations such as VLBI.

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Résumé Les coordonnées du Pôle Céleste des Ephémerides dans le Systeme de Référence Céleste (CRS) pourraient remplacer avantageusement les paramètres classiques de precession et de nutation dans la matrice de transformation entre le CRS et le Système de Référence Terrestre (TRS). Cet article montre que la nouvelle matrice de transformation utilisant ces coordonnées à la place des paramètres classiques serait ainsi conceptuellement plus simple, en particulier lorsque l'on utilise l'origine non-tournante sur l'équa-teur instantané (Guinot 1979, Capitaine et al. 1986), ainsi que le repère de référence céleste réalisé par les positions des radiosources extragalactiques. Une telle representation évite la séparation artificielle entre précession et nutation et le calcul de la matrice de transformation correspondante ne nécessite que la connaissance des deux cosinus directeurs du pole dans le repère céleste, au lieu du grand nombre de paramètres considérés généralement. Le dèveloppement de ces coordonnées en fonction du temps est donné de façon à ce que leur usage soit équivalent (lorsque l'on se rapporte au CRS défine par le pôle et l'équinoxe moyens de l'époque J2000.0, au Système de Constantes Astronomiques IAU-1976, ainsi qu'au modèle UAI-1980 de la nutation) à celui des séries conventionnelles de la precession (Lieske et al. 1977) et de la nutation (Seidelmann 1982). Un tel développement théorique devrait également être utilise pour déterminer plus directement les coefficients numériques du déplacement céleste de l'équateur instantané, à partir des observations très précises, comme par exemple, les observations VLBI.

     

La transformation de Lyapunov de l'equation de Hill et son interpretation dynamique

Résumé La transformation de Lyapunov transforme une équation de Hill en une autre qui occupe la même place dans la classification de Yakubovich.Soit (C) une solution périodique d'un système conservatif à deux degrés de liberté. D'après le principe de moindre action de Maupertuis (C) est l'image d'une géodésique ().Nous montrons que les équations aux variations au voisinage de (C) et de () sont réductibles à deux équations de Hill qui se correspondent par une transformation de Lyapunov.

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The Lyapunov transformation of Hill's equation and his dynamic interpretation

The Lyapunov transformation carries Hill's equationÿ+F(t)y=0,F(t+T)=F(t) into another one which belongs to the same class in Yakubovich's classification.Let (C) be a closed trajectory of a Lagrangian conservative system with two degrees of freedom. By the Principle of Least action, we know that (C) is the image of a geodesic () of a certain two-dimensional surface ().We show that the two Hill equations associated with (C) and () are related by a certain Lyapunov transformation.

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Paper presented at the 1981 Oberwolfach Conference on Mathematical Methods in Celestial Mechanics.     

Sur une generalisation des equations lagrangiennes permettant une extension de la transformation KS

Résumé Cet arricle est composé de deux parties, l'une établie par M. Langlois, l'autre par Mme Losco. La première partie est consacrée à l'étude des équations de Poincaré qui sont les équations de Lagrange du mouvement lorsqu'on introduit des pseudo-paramètres. Une application de ces équations est intéressante à envisager lorsque l'on mélange coordonnées et pseudo-paramètres et que les coordonnées sont ignorables dans le lagrangien. On établit alors un théorème de réduction des équations du mouvement par des relations invariantes. La transformation KS entre dans ce cadre. La seconde partie concerne la construction de matrices généralisant KS. Ce sont des matrices dont les premières lignes définissent des variablesQ , les dernières lignes des pseudo-paramètres et pour lesquelles on peut appliquer le théoreme de réduction établi précédemment.Le mouvement général du corps solide dansR ⁿ permet une construction de telles matrices, de même que KS est associée à une rotation deR ⁿ.

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This paper is composed of two parts, the first one established by M. Langlois, the other one by L. Losco. First a study of Poincaré's equations is made, which are Lagrangian equations where use is made of some quasi-coordinates. One application of these equations is very interesting when some coordinates are ignorable in the Lagrangian. A theorem of reduction is obtained with invariant relations. KS is of this kind. Then matrices are constructed which generalize KS. There are matrices of coordinates and quasi-coordinates, which allow application of the theorem of reduction previously obtained. The general motion, helicoidal motion, of a rigid body inR ⁿ-space allows to obtain such matrices, just as KS corresponds to a rotation inR ⁴.Some results have been briefly published in two notes mentioned at the end.

     

Sur les solutions particulières du problème généralisé des trois corps solides

Résumé Il est envisagé dans ce travail le problème généralisé du mouvement translatoire-rotatoire des trois corps solides.Il est supposé que chaque particule élémentaire du chacun corps agit sur chaque particule d'autre corps par une force (d'attraction ou de répulsion), dirigée suivant la droite, passante par ces deux particules. Cette force est proportionnele à produit des masses des deux particules et à une certaine fonction du temps, de la distance mutuelle et des ses dérivées première et seconde.On ne suppose pas, que le troisième axiome de la dynamique Newtonienne a lieu, de sorte que notre système des trois corps se trouve sous l'influence des six forces distinctes.Les équations fondamentales du mouvement translatoire-rotatoire des trois corps solides n'admettent pas, en général, des intégrales premières classiques.Nous avons établie auparavant les conditions à laquelles doivent satisfaire les corps pour que le problème posé admettra lesmouvements plans, c'est-à-dire les tels mouvements quand les centres des masses des trois corps restent toujours dans un plan invariable et chaque corps est assujetti à tourner autour d'axe, qui est perpendiculaire à ce plan invariable.Il est établie, que le problème admet ces mouvements plans au cas où chaque des trois corps possède d'une symétrie dynamique et géométrique par rapport d'un plan, passant par le centre des masses. Il est étudie plus loin la question d'existence des tels mouvements plans dans lequels les centres des masses des trois corps forment toujours un triangle équilateral (solution Lagrangienne), ou restent toujours sur une ligne droite (solution Eulerienne). Il est montré, que ces mouvements peuvent exister au cas où chaque des trois corps possède, outre la symétrie par rapport d'un plan, encore d'une symétrie dynamique et géométrique par rapport d'un axe, perpendiculaire à plan de la symétrie.Dans ces solutions chaque corps tourne uniformément autour cet axe avec vitesse angulaire, indépendante des paramètres des mouvements orbitaux des centres des masses.Sont obtenues les conditions à laquelles doivent satisfaire les lois des forces actives et les caractéristiques de structure des corps pour que ces mouvements Lagrangiennes et Euleriennes pourront être exister.On donne les exemples. Il est envisagé, en particulier, le cas où chaque corps est une sphère avec la distribution sphérique de la densité, et les particules élémentaires s'exercent mutuellement par les lois du Newton-Coulont (d'attraction ou de répulsion), avec les coefficients de la proportionnalité dépendant du temps. Alors, les solutions Lagrangiennes peuvent exister au cas seulement où chaque corps agit sur les deux autres par le même loi.Les solutions Euleriennes peuvent exister au cas seulement où les coefficients sont des constantes, ou bien sont les produits de celles constantes par une fonction unique du temps.Les résultats analogues sont établies pour les corps arbitraires, possèdant la symétrie axiale, dont les particules élémentaires s'exercent aussi par les lois du Newton-Coulont.Remarquons maintenant, que les résultats exposés dans ce travail montrent que les solutions célèbres du Lagrange et Euler dans le problème classique des trois points matériels, s'attirant mutuellement selon loi du Newton, existent aussi dans le problème des trois corps solides avec les suppositions les plus générales pour les forces actives. De cette façon il est établie, que ces mouvements classiques, ayant d'une grande importance pour la mécanique céleste contemporaine, possédent d'une stabilité d'un genre singulier remarquable.En effet, les configurations triangulaires et rectilignes des trois corps peuvent se conserver indéfiniment avec les changements différents des lois des forces actives, aussi qu'avec les changements divers des structures des corps solides en mouvement (dans cértaines conditions aussi pour les corps fluides).D'un autre côté, les résultats obtenus ont, comme il semble à l'auteur de ce travail, non seulement l'intérèt purement théorique, mais peuvent avoir aussi les applications dans les problèms concrets du mouvement des corps célestes dans les domaines très éloignés d'espace cosmique.En effet, il parait indubitable, que dans les divers domaines d'univers et dans les divers systèmes cosmiques, peuvent avoir lieu les actions mutuelles très différentes, qui peuvent en outre se changer avec le temps.La loi d'attraction universelle du Newton, qui est probablement assez suffisante pour notre système solaire, est sans doute une approximation grossière et douteuse seulement des lois réelles de la Nature.

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In the present paper, the generalized problem of translatory-rotatory motion of three rigid bodies, whose elementary particles act upon each other according to arbitrary laws of forces along the straight line joining them, is discussed.Author has shown that this problem admits particular solutions, analogous to the classic solutions of Lagrange and Euler, when each body possesses axial symmetry. In these solutions the centres of mass of the three bodies form an equilateral triangle (Lagrangian solutions) or remain always on a straight line (Eulerian solutions). Each body turns uniformly around its axis of symmetry, which remains always perpendicular to the plane of motion of centres of mass.

     

Interstellar extinction from infrared to X-rays: An overview

Interstellar extinction is presented in a unified picture from the infrared (=10⁴ nm or 10 m) to the X-rays (E=1.25 nm or 10 keV), as a cross-section normalized per hydrogen atom. Analytical expressions for the cross-section covering the whole range are cited or given in the Appendix for computational purposes.

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Résumé L'extinction interstellaire est présentée de manière unifiée, de l'infrarouge (10⁴ nm ou 10 m) jusqu'aux rayons X (1.25 nm ou 10 keV) comme une section efficace normalisée par atome d'hydrogène. Des expressions analytiques de cette section efficace couvrant tout le domaine sont eitées ou données dans l'appendice pour permettre des calculs à l'ordinateur.

     

Sur les déplacements radiaux de différents éléments dans α2 CVn

Résumé On compare les courbes de déplacements radiaux déduites des mesures de Struve et Swings, celles déduites des mesures de Babcock et Burd et celle d'Eu déduite des mesures de Pyper (en tenant compte de tous les résultats photométriques, on aP=5,4693±0,0001 j). Les différences sont surtout attribuables, dans le cadre du modèle binaire, à l'effet Ovenden. Celui-ci ainsi que les courants circumstellaires peuvent aussi être responsables des trop grands déplacements constatés et d'autres particularités.

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Curves of radial displacements for ² CVn are obtained by mechanical integration of radial velocity curves deduced from measures by Struve and Swings and by Babcock and Burd for Euii, Crii, Fei andii, and by Pyper for Euii.In order to proceed to the comparison, a value as accurate as possible is sought for the period. If we take all the known photometric observations into account, we get 5.4693±0.0001 d.Small differences between the curves for a given ion are noted, especially when using Pyper's measures. However these discrepancies do not necessarily prove the existence of secular variations; in the binary model, they can be interpreted mainly in terms of the Ovenden effect. Too large displacements, and other pecularities in the variations, may also be attributed to that effect, and to circumstellar currents.The ranges of the velocity variations and of the radial displacements are also discussed for other Ap stars.

     

Gradient de densité et température dans la basse couronne

Résumé On considère souvent que le milieu coronal est en équilibre hydrostatique si bien que l'étude de la distribution verticale de la matière est censée donner une bonne estimation de la température coronale (Billings, 1966). De fait, le gradient vertical de densité observé dans la basse couronne (altitudes inférieures à 300 000 km) où l'effet du vent solaire est peu important conduit à une température hydrostatique de 1 500 000 K en moyenne, en assez bon accord avec les déterminations fondées sur l'étude du rayonnement radioélectrique et sur celle de l'ionisation. Il semblerait néanmoins souhaitable de chercher à préciser cette concordance moyenne en comparant dans le détail les variations de la température coronale et celles du gradient vertical de densité pour voir si l'hypothèse de l'équilibre hydrostatique est partout vérifiée.Cette comparaison ne peut être tentée qu'à partir d'un jeu d'observations suffisamment variées pour que l'on puisse déterminer de façon indépendante la densité et la température dans une même région de la couronne: un tel matériel est disponible grâce aux observations coronales effectuées entre 1967 et 1969 à l'Observatoire du Pic du Midi, qui comportent notamment, pour 81 journées d'observations, (a) la mesure de l'intensité des raies 5303 Å et 6374 Å, à 1 du bord, tous les 5° autour du Soleil (b) la mesure de la brillance de la couronne K pour les mêmes angles de position, à 15 et à 5 du bord. Sans discuter ici des caractéristiques propres à ces deux catégories d'observations, qui ont déjà été décrites dans d'autres publications, nous allons chercher dans ce travail à les utiliser pour mettre à l'épreuve la validité de l'hypothèse de l'équilibre hydrostatique dans la basse couronne.

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The observations performed at the Pic du Midi Observatory with a K-coronameter at different altitudes above the solar limb allow us to compute the vertical density gradient of the corona, therefore giving the value of the hydrostatic temperature T _h computed under the assumption of hydrostatic equilibrium in the lower corona. We compare T _h with the ratio r = I ₅₃₀₃/I ₆₃₇₄ of the intensities of the green and the red coronal lines observed at the same position angle and on the same day: r is expected to yield the proportion of cold regions and hot regions along the line of sight under study. As a matter of fact no relation appears between individual values of T _h and r nor between averaged values of T _h and r (Figure 1). In a second step we compute the 5303 Å emission which should be observed, for selected position angles where 6374 Å emissions are faint, making use of the electron density values which can be deduced from the K corona observations. The ratio q = (I ₅₃₀₃) obs/(I ₅₃₀₃) calc of observed to computed 5303 Å intensities should depend upon the corona temperature according to the ionization theory. But again, we do not find the expected relation since Figure 2 displays only a large scatter of points. We conclude that large deviations to hydrostatic equilibrium probably occur in the corona but it is still possible that the presence of arch structures in the lower corona makes it unrealistic to interpret a ratio of intensities integrated along different lines of sight in term of a regular density gradient, although this procedure has been universally used up to now.

     

Mise En évidence De La Granulation Solaire à 2000 Å

Résumé Huit photographies monochromatiques (=2000 Å) au bord du soleil sont analysées en vue de mettre en évidence la granulation dans le domaine ultra-violet lointain. La fenêtre spectrale est définie par deux filtres interférentiels qui donnent une bande passante à mi-hauteur de 125 Å. Ces clichés de haute résolution ont été obtenus en ballon stratosphérique à une altitude de 30 500 m en profitant d'une fenêtre de transparence atmosphérique et en utilisant un télescope Cassegrain de 20 cm d'ouverture dont la résolution atteint 1. Ce télescope était porté par un dispositif pointeur de soleil dont la stabilité à court terme était meilleure que 2. Les clichés ont été pris à intervalles de 210 secondes avec un temps de pose de 0.25 seconde. On observe d'une part des variations de brillance grossières de largeur comprise entre 10 et 20 qui sont interprétées comme microfacules chromosphériques de durée de vie supérieure à 1/2 heure. On observe d'autre part une granulation dont la distribution densitométrique pour laquelle on a calculé les fonctions de corrélation et de structure présente une corrélation limitée à une distance angulaire de 4.

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Summary Eight ultra-violet monochromatic pictures at the limb of the sun are analyzed for evidence of granulation in this spectral range ( = 2000 Å). The spectral window (125 Å) is defined by two interference filters. These high-resolution pictures were obtained with a 20 cm Cassegrain telescope carried at 30 500 m of altitude by a stratospheric balloon. The resolution of the telescope is 1. The instrument is mounted on a sunpointing control of excellent short time stability (2). The pictures were taken at intervals of 210 seconds with a 0.25 second exposure. Large brilliant irregularities 10 to 20 in diameter are interpreted as chromospheric microfaculae with a half-hour lifetime. On the other hand, the smaller irregularities are interpreted as ultra-violet granulation. Using the correlation and structure functions, the analysis of the density distribution shows that spatial correlation of these irregularities is limited to a 4 range.

     

Systemes hamiltoniens au voisinage d'une solution d'equilibre. II:Stabilité des solutions périodiques

Resume On étudie la stabilité des solutions périodiques d'un couplage de systèmes linéaires au voisinage de résonances. Les valeurs propres distinctes _k de la matrice du système linéaire non perturbé sont telles que _k–_j=iq pour tout couple [k, j]; i=–1, q est un nombre entier, la fréquence de la solution. Une application est faite pour un système à trois degrés de liberté au voisinage de la résonance 221.

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Hamiltonian systems in the neighbourhood of an equilibrium solution. II:The stability of periodic solutions

The stability of the periodic solutions for an Hamiltonian system is investigated. Here the distinct eigen values _k of the matrix of the unperturbated linear system are such that _k–_j=iq for any [k, j]; i=–1, q is an integer, is the frequency of the periodic solution. An application is made for a system with three degrees of freedom, near the resonance 221.

     

Étude photométrique des structures fines de la pénombre d'une tache solaire

Resumé L'analyse microphotométrique des structures fines de la pénombre d'une tache solaire, photographiée en lumiére blanche au Pic du Midi avec une résolution de l'ordre de 0'.3, permet d'en donner, à 15280, l'image suivante: elle est constituée d'un fond sombre (espaces interfilamentaires) de brillance I/I _d = 0.6 à peu près uniforme, avec un léger gradient radial, sur lequel se détachent des grains brillants alignés en filaments, de brillance moyenne I/I _b = 0.95, de largeur moyenne 0'.36 (270 km) et qui recouvrent 43% de sa surface.

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The microphotometric analysis of the fine structure of a sunspot penumbra, photographed in white light with the 38 cm refractor of the Pic du Midi Observatory with a resolution very close to 0'.3, allows to give from it, at 5280, the following picture: the penumbra appears to consist of bright grains, lined up in the form of filaments, with an average brightness I/I _b = 0.95 of average width 0.36 (270 km) and which cover 43% of its surface, showing up a dark background of brightness I/I _d = 0.6 nearly uniform.

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Ce travail a été en grande partie réalisé alors que l'auteur faisait un séjour à l'Universitäts Sternéwarte de Göttingen.     

Determination semi-automatique des diametres de crateres lunaires a partir de plaques photographiques de la Lune

Résumé Nous comparons les valeurs des diamètres de cratères lunaires obtenues à partir de mesures visuelles et semi-automatiques de plaques photographiques de la Lune. Nous montrons que le tracé du contour d'un cratère obtenu à partir d'un nouvel algorithme de calcul est équivalent au contour estimé par l'il.

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We compare two methods for the determination of lunar crater diameters: visual and semiautomatic. We show that the lunar crater contour obtained either by application of the new algorithm or by visual measure are equivalent.

     

Sur la recherche des mouvements stationnaires dans les systèmes ayant des variables cycliques

Résumé Ayant défini la notion de système lié associé à un système mécanique comportant des variables cycliques, on montre que l'ensemble des mouvements stationnaires du système coïncide avec l'ensemble des mouvements stationnaires du système lié. L'étude de la stabilité de ces mouvements montre que si le système lié est stable, il en est de même pour le système initial. La recherche des mouvements stationnaires des gyrostats fournit une application de cette étude.

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A constrained system is associated with a mechanical system having cyclic coordinates. We prove that the set of steady motions of this mechanical system and the set of steady motions of the constrained system are the same. Investigating the stability of these motions, we prove that, if the constrained system is stable, then the mechanical system is also stable. As an example, we consider the problem of the relative equilibrium of gyrostat satellites.

     

On the ejection solutions in a central force field

In this paper we consider the problem concerning the reduction of the two-body motion to that of a single particle in a central field. As a force function we takeU(r)=r ^–, where is some positive real number. Making use of the variational equations we study the ejection solutions of the differential equations of motion.

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Resumé Nous considérons dans cet article le problème concernant la réduction du mouvement de deux corps à celui d'une particule dans un champ de forces central. Comme fonction de forces nous prenonsU(r)=r ^–; où est un réel positif. Nous étudions à l'aide des équations aux variations les solutions d'éjection des équations du mouvement.

     

Sur l'instabilite de certaines positions d'equilibre relatif dans le probleme des n corps

Resumé On démontre dans cet article l'instabilité, pour tout n 4, des configurations d'équilibre relatif dans le problème des n corps, oú les n corps soumises aux attractions newtonniennes mutuelles se trouvent aux sommets d'un polygone régulier de n cotés. La preuve consiste à montrer que les équations aux variations, projetées sur le plan P des n corps, possèdent au moins deux exposants caractéristiques complexes connugués dont la parr'e réelle est strictement positive; alors que ces equations projetées sur un axe orthogonal à P possèdent des solutions ayant des termes séculaires.

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We prove in this paper the instability, for all n 4, of the configurations of relative equilibrium in the n-body problem where the n bodies submitted to newtonian mutual attractions are at the vertices of a regular polypon with n sides. For this proof we show that the equations of variations projected to the n bodies plan P have at least two conjugate characteristic exponents with a strictly positive real part; while these equations projected to an orthogonal axis to P have some solutions with secular terms.

     

Stability criteria in many-body systems

An expansion of the force function ofn-body dynamical systems, where the equations of motion are expressed in the Jacobian coordinate system, is shown to give rise naturally to a set of (n–1) (n–2) dimensionless parameters ^ki _li {i = 2,...,n;k = 2,...,i – 1 (i 3);l =i + 1,...,n (i n – 1)}, representative of the size of the disturbances on the Keplerian orbits of the various bodies. The expansion is particularized to the casen=3 which involves the consideration of only two parameters ²³ and ₃₂. Further, the work of Szebehely and Zare (1977) is reviewed briefly with reference to a sufficient condition for the stability of corotational coplanar three-body systems, in which two of the bodies form a binary system. This condition is sufficient in the sense that it precludes any possibility of an exchange of bodies, i.e. Hill type stability, however, it is not a necessary condition. These two approaches are then combined to yield regions of stability or instability in terms of the parameters ²³ and ₃₂ for any system of given masses and orbital characteristics (neglecting eccentricities and inclinations) with the following result: that there is a readily applicable rule to assess the likelihood of stability or instability of any given triple system in terms of ²³ and ₃₂.Treating a system ofn bodies as a set of disturbed three-body systems we use existing data from the solar system, known triple systems and numerical experiments in the many-body problem to plot a large number of triple systems in the ²³, ₃₂ plane and show the results agree well with the ²³, ₃₂ analysis above (eccentricities and inclinations as appropriate to most real systems being negligible). We further deal briefly with the extension of the criteria to many-body systems wheren>4, and discuss several interesting cases of dynamical systems.