矩阵的代数扰动与广义逆阵(摘要)

设■(秩分解),M=A+T,R(U)=N(A),R(V)=N(A~*),L·Kramarz,陈永林等在[3～5]中研究了将一奇异方阵A经代数扰动到一非奇异阵M的问题,例如.他们建立了如下一些定理: 定理1.下列诸条件是等价的:     

列式鲁棒主成分分析的高光谱遥感异常探测

传统的基于鲁棒主成分分析的高光谱异常探测模型中,稀疏异常矩阵假设为非低秩且其非零元素满足随机分布条件。这导致稀疏矩阵的非零元素影响低秩背景矩阵的估计,进而制约背景信息和异常信息的有效分离。提出列式鲁棒主成分分析的异常探测方法,改进异常矩阵为列稀疏条件来解决上述问题。该方法分解高光谱影像2维矩阵为低秩背景矩阵,列稀疏异常矩阵和噪声矩阵,松弛目标方程为凸优化问题,并采用非精确增强拉格朗日乘子算法来求解得到列稀疏异常矩阵的最优估计。最后,对稀疏异常矩阵中所有列的L2范数值进行阈值分割来探测得到异常像元。利用两个高光谱影像数据集,对比5种主流的异常探测方法来验证提出方法的有效性。实验结果表明,列式鲁棒主成分分析方法优于包括传统鲁棒主成分分析模型在内的5种异常探测方法,且计算效率适中。     

广义权阵及其在平差中的应用

本文提出了协方差阵奇异时广义权阵的概念,给出了适用于设计阵列满秩或降秩、协方差阵奇异或非奇异的所有情况下测量平差的统一准则,并利用这一准则研究了协方差阵奇异时的参数估计问题,证明了其结果和Rao最小二乘统一理论等价。本文利用矩阵的平行加性质,推导了奇异协方差传播时广义权阵的计算公式,最后介绍了广义权阵在系统误差补偿的平差中及变形参数估计中的几个实际应用。     

修正的Gram-Schmidt正交化广义逆平差方法

直接从条件方程或误差方程系数阵入手,利用修正的Gram-Schmidt正交化过程对系数阵进行三角分解,实现最小二乘求解,导出了基于修正的Gram-Schmidt正交化过程求解系数阵广义逆的数学公式和计算步骤,给出了通过广义逆表示的未知数解向量及其协因数阵的数学表达式。计算过程不仅避免了对矩阵的求逆,并从理论上解决了Gram-Schmidt正交化方法由于舍入误差的影响表现出的数值不稳定性问题,从而很好地解决了具有秩亏系数阵方程组解的不唯一性。算例结果表明,基于修正的Gram-Schmidt正交化方法可以处理包括秩亏阵在内的任意矩阵;在处理不设起算数据的变形监测网观测数据时,能够方便地获得其经典解、伪逆解或拟稳解,而不需要重复计算。     

顾及系数矩阵常数列的总体最小二乘迭代解法

介绍总体最小二乘的奇异值分解法(SVD)和混合总体最小二乘法(LS-TLS),基于间接平差原理推导一种总体最小二乘迭代解法,可以用来解决系数矩阵含常数列的总体最小二乘平差问题。最后分别对系数矩阵不含常数列和系数矩阵含常数列的算例进行验证,得到的结果与采用奇异值分解法和混合总体最小二乘法计算的结果相同,表明算法的有效性。     

靶向谱修正迭代法

病态的存在对测量数据处理影响较大,会降低参数估计的可靠性。谱修正迭代法是修正法矩阵所有谱并迭代计算,结果是无偏估计。而一般病态问题是法矩阵的几个谱奇异,因而存在谱多余修正的问题。针对该问题,文中提出靶向谱修正迭代法,即只修正法矩阵奇异的谱。将迭代矩阵中的单位阵变成靶向矩阵,靶向矩阵由法矩阵较小特征值对应的特征向量构造的对称矩阵,并用算例验证该方法的有效性与可行性。结果表明,随谱修正参数增大,结果更优且迭代次数更少。     

秩亏水准网平差公式的一维表达式

秩亏水准网按附加条件法平差的法方程系数阵和参数先验权阵具有对称特性,利用此特性和水准网附加矩阵的特殊形式,以及文献［２］中给出的线性方程组未知数及其函数、系数阵逆阵计算的一维公式,可导出秩亏水准网按附加条件法平差的一维平差计算公式,使秩亏水准网平差计算和程序设计简单易行。     

参数估计的统一模型——广义Gauss-Markov模型

设计矩阵可以是秩亏阵,观测值的协方差阵可以是奇异阵的广义 Gauss-Markov模型(简称广义G-M模型),它是一种形式简单的统一模型。本文从最小二乘估计V~TQ~-V=min 出发,研究广义G-M 模型的参数估计理论和方法。说明了V~TQV~-=min与 Rao及Bjeharmmar等的平差原则一致。并对广义 G-M模型之解及其性质进行了系统讨论。     

概括平差模型的通用解法

鉴于概括平差模型的参数系数矩阵可能为非列满秩的情况,本文从概括平差模型实质出发提出一种以解方程组为基础的通用解法,该方法显著的特点是无论系数矩阵是否为列满秩均可求解。最后用具体实例计算与分析,结果表明,该方法不仅思路简单、通用性强,而且也为进一步认识概括平差模型的实质提供了新思路。     

统一方差分量估计公式

本文提出了一种适用于协方差阵奇异或非奇异、设计阵列满秩或降秩时的方差分量估计方法;其公式推导简单,形式统一,不需解线性方程组,同时可保证迭代计算方差分量的非负要求。作为特例还和Helmert法及MINQUE法作了比较。最后讨论了用真误差进行方差分量估计的计算公式,并给出了一个测距误差分析的实例。     

矩阵原位替换解算方法

研究矩阵原位替换解算方法,包括矩阵行列式、矩阵方程未知数和矩阵逆阵的解算。利用矩阵三角分解原理和矩阵运算的基本法则导出矩阵元素约化值的计算公式,从而进一步导出利用矩阵元素约化值计算矩阵行列式、矩阵方程未知数和矩阵逆阵元素的原位替换解算公式。解算公式用纯量形式表出,有利于编程计算,且可实现按矩阵元素在矩阵中的存储位置原位替换解算。该解算方法可节省计算用内存空间和时间,提高科学计算的效率。     

选主元矩阵原位替换解算方法

矩阵行列式、矩阵方程未知数和矩阵逆阵元素,可采用矩阵原位替换解算方法,利用矩阵元素约化值进行解算,但矩阵元素约化值计算过程中要求矩阵主元约化值不能等于零,在没有确认矩阵是否满秩的情况下,其值等于零有可能由矩阵元素排列结构引起,也有可能由矩阵秩亏引起,如何判别矩阵主元约化值为零的成因,在排除矩阵秩亏的情况下,如何利用选主元矩阵原位替换解算方法继续完成相应矩阵解算,是本文研究的内容。该研究可使矩阵原位替换解算方法得到更加广泛的应用。     

秩亏水准网平差公式的一维表达式

秩亏水准网按附中条件法平差的法议程系数和参数先验权阵具有对称特性,利用此特性和水准网附加矩阵的特殊形式,以及文献[2]中给出的线性议程组未知数及其函数,系数阵逆阵计算的一维公式,可导出秩亏水准网按中条件法平差的一维平差计算公式,使秩亏水准网平差计算和程序设计简单易行。     

约束秩亏间接平差模型的虚拟观测算法

约束秩亏间接平差模型的法方程系数矩阵为分块矩阵,其左上角的子块矩阵秩亏,因此无法直接计算分块矩阵的凯利逆矩阵。利用矩阵运算,构建一个能直接求凯利逆的分块矩阵,进而推算出约束秩亏间接平差模型法方程系数矩阵的凯利逆的直接显性表达式。提出将约束条件看作虚拟观测,和原有的秩亏间接平差模型组合成新的误差方程,再和约束条件组成约束间接平差模型进行解算的虚拟观测值算法。该方法和前述推算的直接显性表达式的计算结果是一样的。通过数值实验和不同算法的比较,证明文中推算出的算式及算法是正确的。     

对称矩阵原位替换解算方法

研究对称矩阵原位替换解算方法,包括矩阵行列式、矩阵方程未知数和矩阵逆阵的解算.利用矩阵三角分解原理和矩阵运算的基本法则导出矩阵元素约化值的计算公式,从而进一步导出利用矩阵元素约化值计算矩阵行列式、矩阵方程未知数和矩阵逆阵元素的原位替换解算公式.解算公式用纯量形式表示,有利于编程计算,且可实现按矩阵元素在矩阵中的存储位置原位替换解算.该解算方法可节省所用内存空间和时间,提高科学计算的效率.     

奇异值分解的容积卡尔曼滤波性能评价北大核心CSCD

针对容积卡尔曼滤波(CKF)在递推过程中易出现状态协方差阵非正定性导致计算发散的现象,该文推导了一种基于奇异值分解的容积卡尔曼滤波算法(SVD-CKF)。该算法基于CKF的理论框架,采用奇异值分解代替标准CKF中的Cholesky分解,兼具奇异值分解算法的数值鲁棒性强和CKF精度高、实现简单等优点,解决了CKF在滤波过程中易出现状态协方差阵非正定性引起的计算发散的问题。同时推导了标准CKF、平方根CKF(SR-CKF)和SVD-CKF等不同滤波算法的具体形式,分析了上述不同CKF算法的特点。采用二维目标纯方位跟踪仿真实例与蒙特卡洛仿真试验对3种CKF算法的性能进行对比,结果表明:SVD-CKF算法性能优于标准CKF和平方根CKF算法。     

正定矩阵的三角分解及其在测量平差中的应用

介绍正定矩阵的三角分解方法；讨论利用正定矩阵三角分解，求线性对称方程组中未知数、未知数函数，以及方程组系数矩阵逆阵的方法；给出了相应计算的紧凑格式和在测量平差中的应用实例。     

正定矩阵的三角分解与线性对称方程组的解算

讨论用正定矩阵三角分解法解线性对称方程组的问题,将具有正定系数阵的线性方程组中的正定矩阵分解为两个互为转置的上、下三角阵之积,用比较法导出下三角阵诸元素与原矩阵诸元素之间的关系式,再将分解式代入原方程,从而导出用三角分解法解线性对称方程组的计算公式,此法计算规律性强,既适用于手算又适用于电算,可在测量平差等科学计算中广泛应用。     

诊断复共线性的条件指标-方差分解比法

运用条件指标和方差分解比提出一种诊断设计阵复共线性的新方法———条件指标-方差分解比(CIVDP)法,该方法不但可以确定设计阵数据列之间复共线性关系的个数,而且可以确定每个复共线性关系存在于哪些数据列之间,并通过大量的模拟计算和实际应用验证该方法的有效性。     

概括平差模型的解法探讨

分析了概括平差模型系数矩阵可能出现非列满秩情况的原因,研究了如何使系数矩阵为列满秩矩阵,避免了系数矩阵为非列满秩时的复杂解算过程。