广义逆平差法详解

文献[1]中提出的广义逆平差法又称逆平差法,通过解算广义逆矩阵来解决测量平差问题是该方法的一个亮点。一般读者对广义逆矩阵这个概念可能比较生疏,但本文定义的广义逆矩阵及其求解公式非常简单,很容易掌握,对教学、科研和生产实践有一定参考价值。     

Gauss-Helmert模型及其在测量平差中的应用

对于Gauss-Helmert模型,本文直接从广义逆阵的性质而不必通过Lagrange乘子方法简洁地给出参数向量的最佳线性无偏估计(BLUE),然后将所得结果用于求解测量平差中的拟合推估问题,以及广义的含未知量的带权条件平差问题。     

应用广义逆法进行测站平差

广义逆测站平差法的提出,对于分析变形观测控制网的点位稳定性提供了一个新的途径。该文讨论了广义逆法测站平差的原理及其计算的规律性,并以实例加以说明。     

约束秩亏自由网平差的一种新算法

秩亏自由网平差能够处理控制网中没有足够起始数据的问题，在测量数据处理中得到广泛的应用。平差参数间存在等式约束的情形下，一般采用广义逆法。它需要计算法方程系数的M—P逆，计算比较烦琐。针对这一问题，提出附加等式约束秩亏自由网平差的虚拟观测值法，给出解向量及其统计性质。     

测量平差中各种模型的等价转换关系

基于测量平差中各种平差方法其函数模型的表达,文中重点论证了各种平差方法之间的等价转换及其相互关系,得到的结果有利于各种平差方法的理解与渗透,对测量数据处理理论的分析和应用具有一定的参考价值.     

测量平差中各种模型的等价转换关系

基于测量平差中各种平差方法其函数模型的表达，文中重点论证了各种平差方法之间的等价转换及其相互关系，得到的结果有利于各种平差方法的理解与渗透，对测量数据数据理论的分析和应用具有一定的参考价值。     

Gauss-Markov模型参数的岭型广义逆估计及其优良性

本文继续文献 [10 ]的工作 ,进一步讨论了测量平差 Gauss- Markov模型参数岭型广义逆估计的若干性质 ,如允许性、优效性、相对效率、抗干扰性等等 ,得到了许多重要结论。计算结果表明 ,在设计阵呈病态时 ,岭型广义逆估计确能明显改善 L S估计     

Gauss-Markov模型参数的岭型广义逆估计及其优良性

本文继续文献 [10 ]的工作 ,进一步讨论了测量平差 Gauss- Markov模型参数岭型广义逆估计的若干性质 ,如允许性、优效性、相对效率、抗干扰性等等 ,得到了许多重要结论。计算结果表明 ,在设计阵呈病态时 ,岭型广义逆估计确能明显改善 L S估计     

各种平差方法的统一与特性

本文选取了一个能概括各种平差方法的函数模型,即附有限制条件的条件平差模型,详细推导了该平差法的计算公式和精度评定公式,证明了其平差结果的统计性质。该方法的计算公式和精度评定公式可以应用于所有经典平差法和广义平差法,因此,可以称为平差的通用公式。为了说明由通用公式可以很方便地引出其他各种方法的公式的具体形式,本文又以经典条件平差、经典间接平差和广义平差中的滤波推估为例,从通用公式引出了这些方法的相应公式。     

加权广义逆与秩亏网平差

本文叙述了加权广义逆矩阵的概念。由加权广义逆与线性方程组的解之间的关系,说明了三种秩亏网平差(普通秩亏网平差、拟稳平差、加权秩亏网平差)同属于加权秩亏网平差,只是它们各自选取了不同的权阵P_x,因此均可用加权广义逆来解释它。     

线性模型估计方法的分析与进展

对测量平差中的线性模型进行了综合分析，给出了四种基本的线性模型及其广义逆解；指出了许多已有的线性模型可归纳和顾及能够消除或减弱模型误差的平差模型，给出了简单的解法，指出应加强对现有线性模型的应用研究。     

激光跟踪仪空间联合平差模型及精度分析

工业测量领域经常需要多台甚至多种仪器联合测量,各种测量仪器的观测数据类型和精度不同,其关键技术是采用合理的平差模型实现多种仪器的空间定位和定向。采用附有约束条件的参数平差方法构建了空间联合精密控制网（unified spatial metrology network,USMN）平差模型,对激光跟踪仪、全站仪、经纬仪等测量系统进行了联合平差解算,针对不同类型测量数据建立合理的定权模型,保证了在多余观测量不大的情况下整网平差的精度,采用角度后方交会和坐标系转换模型解决了无互瞄和基准尺观测值的控制网概算和平差,克服了USMN平差模型的缺点。最后利用编写的USMN平差程序对实际测量数据进行解算,验证了平差模型的可行性并分析了点位误差。     

约束秩亏间接平差模型的虚拟观测算法

约束秩亏间接平差模型的法方程系数矩阵为分块矩阵,其左上角的子块矩阵秩亏,因此无法直接计算分块矩阵的凯利逆矩阵。利用矩阵运算,构建一个能直接求凯利逆的分块矩阵,进而推算出约束秩亏间接平差模型法方程系数矩阵的凯利逆的直接显性表达式。提出将约束条件看作虚拟观测,和原有的秩亏间接平差模型组合成新的误差方程,再和约束条件组成约束间接平差模型进行解算的虚拟观测值算法。该方法和前述推算的直接显性表达式的计算结果是一样的。通过数值实验和不同算法的比较,证明文中推算出的算式及算法是正确的。     

On the choice of inverse in the adjustment of coordinates

The usefulness of the generalized inverse of a matrix in the adjustment of coordinates by least squares is investigated. It is found that by imposing suitable conditions upon the coordinate corrections a virtually identical variance-covariance matrix can be obtained with considerably less computation.     

最小二乘配置的SVD分解解法

最小二乘配置最初是在组合各种资料来研究地球形状与重力场的一种数学方法,目前最小二乘配置已经在测绘数据处理中得到广泛应用。本文首先分析了目前采用的最小二乘配置法解算方法,在讨论了矩阵的奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)方法的基础上,推导得出了矩阵SVD分解与广义逆矩阵的关系,得出了可以直接利用SVD分解求解矩阵的Moore-Penrose广义逆,并推导了应用SVD分解求解最小二乘配置的估值计算公式和精度估算公式,最后通过重力异常实例进行了计算,得出矩阵的SVD分解用于最小二乘配置解算的正确性和可行性,为最小二乘配置的求解提供了一种新方法。     

概括平差模型的通用解法

鉴于概括平差模型的参数系数矩阵可能为非列满秩的情况,本文从概括平差模型实质出发提出一种以解方程组为基础的通用解法,该方法显著的特点是无论系数矩阵是否为列满秩均可求解。最后用具体实例计算与分析,结果表明,该方法不仅思路简单、通用性强,而且也为进一步认识概括平差模型的实质提供了新思路。     

经典平差函数模型的概括形式分析

对经典平差函数模型的两种概括形式进行回顾和总结,基于零空间投影算子导出经典平差函数模型的第三种概括形式-等价条件平差模型,教授学生理解该概括形式平差模型的作用及特点。提出在本科教学实践中以不同的平差模型概括形式开展课堂讨论,有利于启发学生对平差模型内在联系的自觉发现。     

可靠性分析与数据探测

首先从方差比检验出发，建立了用于可靠性分析和数据探测的统一基本关系式，由此导出了相关权情况下的可靠性指标Ri的表达式，证明在权阵为对角阵时其特例就是常用的多余观测分量内可靠性指标ri，其一致性说明了Ri的合理性，同时，提出了与可靠性度量密切联系的一种新的数据探测方法，实现了可靠性分析和数据探测在理论上的统一和实用上的一致。     

修正的Gram-Schmidt正交化广义逆平差方法

直接从条件方程或误差方程系数阵入手,利用修正的Gram-Schmidt正交化过程对系数阵进行三角分解,实现最小二乘求解,导出了基于修正的Gram-Schmidt正交化过程求解系数阵广义逆的数学公式和计算步骤,给出了通过广义逆表示的未知数解向量及其协因数阵的数学表达式。计算过程不仅避免了对矩阵的求逆,并从理论上解决了Gram-Schmidt正交化方法由于舍入误差的影响表现出的数值不稳定性问题,从而很好地解决了具有秩亏系数阵方程组解的不唯一性。算例结果表明,基于修正的Gram-Schmidt正交化方法可以处理包括秩亏阵在内的任意矩阵;在处理不设起算数据的变形监测网观测数据时,能够方便地获得其经典解、伪逆解或拟稳解,而不需要重复计算。     

基于Moore-Penrose广义逆及立体矩阵的可分离非线性最小二乘解算方法

针对测绘领域中函数模型为非线性函数的线性组合的特殊结构,本文提出了基于Moore-Penrose广义逆和立体矩阵的可分离非线性最小二乘解算方法。该方法首先利用变量投影算法消除可分离非线性模型中的线性参数,将包含两类参数的原非线性优化问题转化为仅含有非线性参数的最小二乘问题。然后,基于Moore-Penrose广义逆矩阵的微分和立体矩阵理论计算最小二乘目标函数的一阶导数,进而采用非线性优化的LM方法求解非线性参数的最优估值。最后,根据最小二乘方法求解线性参数的最优估值。通过指数函数模型拟合和机载LiDAR全波形参数求解试验与传统参数不分离优化方法进行对比,结果表明,基于Moore-Penrose广义逆和立体矩阵的可分离非线性最小二乘解算方法对待求参数初值依赖性低,同时避免了迭代过程中线性参数导致的病态问题,算法稳定性好,为测绘领域中可分离非线性最小二乘问题的解算提供了一种思路,也拓展了可分离非线性最小二乘方法的应用。