Neue Analyse der Chandler-Bewegung

Summary TheChandler movement is essentially an oscillation having an assumed period of the order of time of a double revolution of the moon’s nodes. The variation in its period is only apparent and relies upon a sudden change of phase which occurred at the beginning of 1928. If attention is paid to the residuals, a secondary oscillation with an 11-year period can be detected. This explains theWitting perturbations, and is possibly connected with the sun-spot cycle.

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Resumen El movimientoChandler es en su esencia un balanceo que tiene una duración admitida del órden de la doble revolución de los nodos de la Luna. La variabilidad de su periodo no es más que simulada, debido a un salto de fase situada en el comienzo del a?o 1928. Utilizando los residuos, se puede demostrar un balanceo suplementario de 11 a?os, que explica lasperturbacionésWitting y que está posiblemente relacionado con el periodo de las manchas solares.

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Résumé La période deChandler correspond, dans son essence, à un balancement ayant une durée présumée de l’ordre de la double révolution des nœuds de la Lune. La variabilité de sa période n’est que dissimulée et ceci grace à un saut de phase situé au commencement de l’année 1928. En utilisant les résidus, on peut démontrer un balancement supplémentaire de 11 ans, qui explique les perturbationsWitting, et qui est en liaison possible avec la période des taches solaires.

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Sommario Il movimento diChandler è essenzialmente un’oscillazione avente presumibilmente un periodo doppio della rivoluzione dei nodi lunari. La variabilità di questo periodo è soltanto apparente, in consequenza di un salto di fase situato al principio del 1928. Utilizzando i residui, si può mostrare un’oscillazione supplementare del periodo di 11 anni, che spiega la perturbazione diWitting e che sta forse in relazione con il periodo delle macchie solari.

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Communication présentée à l’Assemblée Générale de Bruxelles     

Die absolute Lotabweichung in Postdam und die Geod?tischen ausgangswerte des Gesamteurop?ischen netzes auf dem Hayfordschen Ellipsoid

Summary The absolute deviations of the vertical detectable at Potsdam from astronomical-gravity comparisons differ significantly from earlier values obtained from the astronomic-geodetic observations which form the starting elements of the European triangulation network. It is possible to show, by the use of values of the deviation of the vertical extending over the whole of Europe as far as longitude 30°, and referred to the undulations of the geoid ofTanni, that the starting elements adopted at Potsdam are too large by 3″.0 in latitude and 1″.4 in longitude.

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Resumen Las desviaciones absolutas de la vertical obtenidas en Potsdam por procedimiento astronómico-gravimétrico, se alejan sensiblemente de los valores encontrados enteriormente por procedimiento astronómicogeodésico, y que constituyen la base de partida de la red de conjunto europea. Es posible demostrar, basándose en el material de desviaciones de la vertical extendido a toda Europa hasta la longitud de 30°, partiendo de las ondulaciones del geoide deTanni, que los datos de partida adoptados en Potsdam son demasiado grandes en 3″,0 de latitud y 1″,4 de longitud.

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Résumé Les déviations absolues de la verticale relevées à Potsdam par voie astronomico-gravimétrique s’écartent sensiblement des valeurs trouvées autrefois par voie astronomico-géodésique, et qui forment la base de départ du réseau d’ensemble de l’Europe. Il est possible de démontrer, en s’appuyant sur le matériel de déviations de la verticale étendu sur toute l’Europe jusqu’à la longitude de 30°, en partant des ondulations du géo?de deTanni, que les données de départ adoptées à Potsdam sont trop grandes de 3″.0 en latitude et de 1″.4 en longitude.

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Sommario La deviazione assoluta della verticale determinata a Postdam per via astronomico-gravimetrica, si scosta sensibilmente dal valore trovato in precedenza per via astronomico-geodetica, che forma la base della compensazione delle reti europee. Si può dimostrare, appoggiandosi sulle deviazioni della verticale conosciute in Europa fino alla longitudine di 30°, e partendo dalle ondulazioni del geoide diTanni, che i dati di partenza adottati a Postdam sono troppo grandi di 3″,0 in latitudine e di 1″,4 in longitudine.

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Communication présentée à l’Assemblée Générale de Bruxelles     

Adjustment of European Triangulation

Zusammenfassung Bei der Ausgleichung des Südwest-Blockes und des Nordblockes der europ?ischen Triangulation war es nicht m?glich, die Bowie-Methode anzuwenden, weil die Grundlinien und die Laplaceschen Punkte sich im allgemeinen nicht in den Knotennetzen zwischen Meridianund Parallelkreisketten befinden. Mit Rücksicht hierauf gibt es in dem Schema nur einige wenige Netzteile, die zun?chst für sich ausgeglichen werden konnten; in der Hauptsache mu\te fast der ganze Block in einem Gu? ausgeglichen werden. Die Ausgleichung des südwesteurop?ischen Blockes erfolgte nach der Methode der bedingten Beobachtungen; die Gleichungen der verschiedenen Art wurden durch die Mathematiker des Coast and Geodetic Survey aufgestellt und sofort auf Lochkarten der International Business Machines (IB.M.) übertragen, soda? alle Berechnungen mit Hilfe der I.B.M.-Maschinen rein mechanisch durchgeführt werden konnten. Die Aufl?sung der 2348 Normalgleichungen des süwesteurop?ischen Blocks erfolgte nach der Methode von Doolittle. Die Rechnungen erfolgten auf 6 Dezimalstellen. Die Ausgleichung des Südwest-Blocks erforderte fast 18 Monate Arbeit. Die Ausgleichung des nordeurop?ischen Blocks wurde im Gegensatz hierzu nach vermittelnden Beobachtungen durchgeführt, wobei die vorhandenen Basis- und Laplacebedingungen besonders berücksichtigt werden mu?ten. Sie umfa?t auch den D?nisch-Norwegischen Anschlu?, der mit Hilfe der Hochzieltriangulation hergestellt wurde. Die bereits verliegende Ausgleichung des baltischen Ringes hat die Arbeit weitgebend erleirchtert. Der nordeurop?ische Block ergab ein System von 2475 Normalgleichungen, die in der sehr kurzen Zeit von 3 Monaten gel?st wurden, wobei an den Maschinen sechs Tage pro Woche und t?glich jeweils 16 Stunden gearbeitet wurde. Die Durchführung der Arbeit hat gezeigt, da? die Aufl?sung gro?er Normalgleichungssysteme keine besonderen Schwierigkeiten mehr bereitet, und da? es kaum vorteilhaft ist, in den schw?cheren Teilen des Netzes Ketten auszuscheiden. Dieser Fall trifft in Italien zu. Weiterhin zeigt die Arbeit 1) da? es wohl angebracht w?re, in einigen Teilen des Netzes die Beobachtungen zu wiederholen, 2) da? die astronomischen Fundamental-Meridiane verschiedener L?nder, auf die sich die L?ngen beziehen, oft nur ungenügend übereinstimmen.

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Resumen En la compensación europea no fué posible adoptar el método deBowie, dado que las bases geodésicas y los puntos deLaplace no se encuentran en general en los cruces entre las cadenas meridianas y paralelas; por esta razón no hay en el esquema sino algunas raras figuras compensadas de antemano; todo el resto de la red está compensada en un solo bloque. La compensación del bloque de la Europa Sud-Oeste ha sido efectuada por el método de observaciones condicionadas; las ecuaciones de los diferentes tipos fueron escritas por los matemáticos del Coast and Geodetic Survey, y llevadas inmediatamente a cartas perforadas de la “International Business Machines” (I.B.M.); a partir de ese momento, todo el cálculo se prosiguió por via mecánica con la intervención de las máquinas I.B.M. El método empleado para la resolución de los sistemas normales, cuyo número de ecuaciones para ese bloque era de 2348, es el de Doolittle, empleando inicialmente 6 cifras decimales; el cálculo de ese bloque exigió aproximadamente 18 meses de trabajo. La compensación del bloque de la Europa Norte ha sido efectuado. al contrario, por el método de variación de coordenadas, teniendo tam bién en cuenta el enlace geodésico entre Noruega y Dinamarca, efectuado por el método de los cohetes. La compensación que ya existía del anillo báltico ha facilitado mucho la tarea. El método empleado en el cálculo ha sido el de las observaciones indirectas condicionadas, siendo regidas las condiciones por la concordancia de las bases existentes y de los azimutes de Laplace. El bloque de la Europa Norte ha conducido a un sistema de 2475 ecuaciones que han sido resueltas en el tiempo extremadamente corto de 3 meses, trabajando las máquinas 6 dias por semana, durante 16 horas por dia. La experiencia adquirida durante la ejecución del trabajo, ha demostrado que no hay dificultad alguna para resolver grandes sistemas de ecuaciones simultáneas, y que, por tanto, no representa gran ventaja extraer cadenas en las partes más delicadas de la red. Es el caso que se ha presentado en Italia. Sin embargo, se infiere del trabajo efectuado, que sería conveniente volver a observar la red en algunas zonas, y que con frecuencia no hay concordancia suficiente entre los meridianos astronómicos fundamentales de los diferentes paises, en los que se apoyan las determinaciones de longitud.

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Résumé Il ne fut pas possible, dans la compensation européenne, d’adopter la méthode deBowie, étant donné que les bases géodésiques et les points deLaplace ne se trouvent en général pas aux croisements entre cha?nes méridiennes et parallèles; il n’y a dans le schéma que quelques rares figures rigides compensées à l’avance; tout le reste du réseau étant compensé en un seul bloc. La compensation du bloc de l’Europe Sud-Ouest a été effectuée par la méthode des observations conditionnées; les équations des différents types étaient écrites par les calculateurs duCoast and Geodetic Survey, et reportées immédiatement sur des cartes perforées de l’International Business Machines (I.B.M.); à partir de ce moment-là, tout le calcul se poursuivit par voie mécanique à l’aide des machines I.B.M. La méthode employée pour la résolution des systèmes normaux, dont le nombre d’équations était pour ce bloc de 2348, est celle de Doolittle, en employant initialement 6 chiffres décimaux; le calcul de ce bloc demanda à peu près 18 mois de travail. La compensation du bloc de l’Europe Nord a été effectuée au contraire par la méthode de variation de coordonnées, tenant compte aussi de la jonction géodésique entre Norvège et Danemark effectuée au moyen de la méthode des fusées. La compensation existante de l’anneau baltique a grandement facilité la tache. La méthode employée dans le calcul a été celle des observations indirectes conditionnées, les conditions étant dues à l’accord des bases existantes et des azimuths laplaciens. Le bloc de l’Europe Nord a conduit sur un système de 2475 équations qui ont été résolues dans le temps très court de 3 mois, en travaillant aux machines six jours par semaine, pendant 16 heures par jour. L’expérience acquise pendant l’exécution du travail a montré qu’il n’y a aucune difficulté à résoudre des grands systèmes d’équations simultanées, et que pourtant il n’y a pas grand avantage d’extraire des cha?nes dans les parties plus délicates du réseau. C’est le cas qui s’est présenté en Italie. Du travail effectué, il ressort encore qu’il serait convenable de réobserver le réseau en quelques zones; et qu’il n’y a pas souvent accord suffisant entre les méridiens astronomiques fondamentaux des différents pays. auxquels s’appuient les déterminations de longitude.

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Sommario Nella compensazione europea non fu possibile adottare il metodo diBowie, poichè le basi geodetiche ed i punti diLaplace non si trovano in generale agli incroci fra catene parallele e meridiane; per questa ragione non c’è nella rete che qualche rara figura rigida compensata preventivamente; tutto il resto della rete è stato compensato di un solo getto. La compensazione del blocco dell’Europa Settentrionale è stata effettuata con il metodo delle osservazioni condizionate; le varie equazioni sono state scritte dai matematici delCoast and Geodetic Survey, e trasportate immediatamente su schede perforate della International Business Machines (I.B.M.); da questo momento il calcolo si è svolto meccanicamente mediante le macchine I.B.M. Il metodo impiegato per la risoluzione del sistema normale, il cui numero di equazioni era, per questo blocco, di 2348, è quello detto di Doolittle; si sono impiegate inizialmente 6 cifre decimali, ed il calcolo per tutto il blocco ha richiesto 18 mesi di lavoro circa. La compensazione del blocco dell’Europa Settentrionale è stata invece effettuata con il metodo per variazione di coordinate, tenendo anche conto del collegamento geodetico mediante razzi illuminanti esistente fra la Danimarca e la Norvegia. L’esistente compensazione dell’anello baltico ha grandemente facilitato il compito. Il metodo di calcolo è stato quello delle osservazioni indirette condizionate, le condizioni essendo dovute all’esistenza di basi misurate e degli azimut laplaciani. Il calcolo del blocco dell’Europa Settentrionale ha richiesto la risoluzione di un sistema di 2475 equazioni, che sono state risolte nel tempo brevissimo di 3 mesi, operando le macchine sei giorni per settimana, e durante 16 ore al giorno. L’esperienza acquistata durante l’esecuzione del lavoro, ha mostrato che non c’è alcuna grande difficoltà nel risolvere grandi sistemi di equazioni simultanee, e che pertanto non si realizza un grande vantaggio nell’estrarre catene nelle parti più delicate di una rete continua. E’il caso che si è presentato in Italia. Ancora appare dal lavoro effettuato, che sarebbe opportuno riosservare la rete in qualche parte; e che spesso non c’è sufficiente accordo fra i meridiani astronomici fondamentali dei vari Paesi, ai quali si appoggiano le determinazioni astronomiche.

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Communication présentée à l’Assemblée Générale de Bruxelles     

Guaszscher Algorithmus (Doolittle-Methode) und Boltzsches Entwicklungsverfahren

Zusammenfassung Die jüngsten Arbeiten von Prof.Jenne (Potsdam) über die unbestimmte Aufl?sung der Normalgleichungen für Winkelbedingungen und eine von Dr.Dupuy 1948 aufgeworfene Frage geben Anla\ zu einer Gegenüberstellung der verschiedenen Verfahren zur Aufl?sung von Normalgleichungen, insbes. des Gau\schen Algorithmus und des Boltzschen Entwicklungsverfahrens. Im Hinblick auf den beachtlichen Vorsprung im Aufl?sungsproze?, den die Mitbenützung der fertig ausgerechneten Korrelatentabellen für die Dreieckswinkelgleichungen gew?hren, kommt man zu dem Schlu?, da? es weniger der Gegensatz als vielmehr die geschickte Verbindung der beiden vorgenannten Verfahren ist, welche eine besondere Beachtung und Würdigung verdient.

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Summary The most recent work of ProfessorJenne (of Potsdam) on the algebraical solution of normal angle condition equations, and on a question raised in 1948 by DrDupuy, gives us the opportunity of comparing various methods for the solution of normal equations, in particular the Gaussian algorithm and Boltz’s development method. Having taken account of the valuable saving introduced, in the methods of solution, by the use of tables of correlatives, calculated from the angle equations, one arrives at the conclusion that there is some value in giving detailed consideration to the judicious combination of the two methods mentioned above—rather than drawing attention to their differences.

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Resumen Los trabajos más recientes del ProfesorJenne (de Potsdam) sobre la resolución indeterminada de las ecuaciones normales de condición para los ángulos así como una cuestión planteada en 1948 por el Dr.Dupuy, nos proporcionan la ocasión de comparar los diversos métodos de resolución de las ecuaciones normales, en particular el algoritmo deGauss y el método de desarrollo deBoltz. Teniendo en cuenta el progreso notable llevado al proceso de resolución, por el empleo de los correlativos, calculados del todo con las ecuaciones de ángulos, se llega a la conclusión que conviene prestar una atención y una consideración particulares a la feliz combinación de los dos métodos antes mencionados, mucho más que a la oposición de los mismos.

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Résumé Les travaux les plus récents du ProfesseurJenne (de Potsdam) sur larésolution indéterminée des équations normales de condition aux angles et une question soulevée en 1948 par le DrDupuy nous donnent l’occasion de comparer les diverses méthodes de résolution des équations normales, en particulier l’algorithme deGauss et la méthode de développement deBoltz. Compte tenu du progrès notable apporté, dans le processus de résolution, par l’emploi des corrélatifs tout calculés des équations aux angles, on arrive à la conclusion qu’il convient d’accorder une attention et une considération particulières à l’adroite combinaison des deux méthodes ci-dessus mentionnées—beaucoup plus qu’à leur opposition.

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Sommario I lavori più recenti del prof.Jenne (di Potsdam) sulla risoluzione indeterminata delle equazioni normali·di condizione agli angoli, ed una questione sollevata dal Dr.Dupuy, ci offrono lo spunto per confrontare i diversi metodi di risoluzione delle equazioni normali, in particolare l’algoritmo diGauss ed il metodo di sviluppo diBoltz. Tenuto conto del notevole progresso apportato, nel procedimento di risoluzione, dall’impiego dei correlativi precalcolati delle equazioni agli angoli, si giunge alla conclusione che conviene rivolgere l’attenzione alla possibilità di accordare, piuttosto che di contrapporre, i due metodi menzionati.

     

The deflection of the vertical in the Western and Central Mediterranean area

The deflection of the vertical at 23 stations was determined by gravimetrical methods and compared to the difference of astronomic observations and geodetic values of the European adjustment. The results show a fair agreement between the two independent sets of values, indicating that doubts about the relative reliability of submarine gravity observations are not justified. A systematic discrepancy in the meridian components of the deflection may reflect on theHayford ellipsoid as used in the European adjustment.

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Zusammenfassung Auf 23 Stationen wurde die Lotabweichung gravimetrisch bestimmt und den astro-geod?tischen Werten der europ?ischen Ausgleichung gegenübergestellt. Die beiden Ergebnisse stimmen sehr gut überein. Damit werden die Bedenken hinf?llig, die sich gegen den Wert von Messungen in Unterseebooten richteten. Systematische Abweichungen in den meridionalen Komponenten beruhen m?glicherweise auf der art der Anwendung des Hayfordschen Ellipsoids in der Ausgleichung des Zentraleurop?ischen Netzes.

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Resumen La desviación de la vertical en 23 estaciones ha sido determinada por el método gravimétrico y compara con los resultados astrogeodéticos de la compensación europea. Existe muy buen acuerdo entre los dos conjuntos de datos, que demuestra que las dudas emitidas en cuanto al valor de las observaciones en submarino son injustificadas. Una discordancia sistemática en las componentes meridianas podria ser debida al empleo del elipsoide deHayford en la compensación de la red europea.

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Résumé La déviation de la verticale en 23 stations a été déterminée par la méthode gravimétrique et comparée aux résultats astrogéodésiques de la compensation européenne. Il y a très bon accord entre les 2 ensembles de données, ce qui montre que les doutes émis quant à la valeur des observations en sous-marins sont injustifiés. Une discordance systématique dans les composantes méridiennes pourrait être due à la fa?on dont on a employé l'ellipso?de deHayford dans la compensation du réseau central européen.

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Sommario E'stata determinata col metodo gravimetrico la deviazione della verticale in 23 stazioni e comparata ai risultati astro-geodetici della compensazione europea. Vi é molto buon accordo tra i due insiemi di dati, ciò che dimostra che i dubbi emessi circa il valore delle osservazioni in sottomarino sono ingiustificati. Una discordanza sistematica tra le componenti maridiane potrebbe essere dovuta all'impiego nella compensazione della rete central europea dell'ellisoide diHayford.

     

Atmospheric refraction above the Inland Ice in North Greenland

Values of the refraction coefficient, calculated from simultaneous reciprocal vertical angles measured on a traverse across North Greenland, and meteorological observations made at the same time are analysed statistically. A relation is established between diurnal changes in refraction and changes in air temperature. Values of the refraction coefficient are also correlated with wind speed, amount of cloud, and presence of drifting snow near the surface. No correlation is found between refraction and atmospheric pressure over the range of pressures encountered. A regression equation is given for estimating refraction from observed meteorological conditions. Direct measurements of temperature gradient in the air layers near the surface are compared with gradients deduced from the refraction observations.

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Zusammenfassung Der Inhalt der vorliegenden Arbeit ist eine statistische Analyse der Schwankungen des Refraktionskoeffizienten in Gr?nland und seiner Korrelationen mit den meteorologischen Beobachtungen, also mit der Temperatur, der Windgeschwindigkeit, der Dunstbildung und des Flugschnees. Ferner werden Vergleiche der Temperaturgradienten angestellt, die sich einerseits aus direkten Messungen, andererseits aus den Refraktions-messungen ergeben.

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Resumen El articulo presenta un análisis estadístico de las variaciones del coeficiente de refracción en Groenlandia y de sus correlaciones con las observaciones meteorológicas—temperatura, velocidad del viento, nubosidad, viento de nieve. Se comparan igualmente los gradientes de la temperatura, tales como resultan de medidas directas y de las medidas de la refracción.

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Résumé L’article présente une analyse statistique des variations du coefficient de réfraction au Groenland et de ses correlations avec les observations météorologiques—température, vitesse du vent, nébulosité, vent de neige. On compare également les gradients de la température, tels qu’ils résultent de mesures directes et des mesures de la réfraction.

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Riassunto L’articolo presenta un analisi statistica delle variazioni del coefficiente di rifrazione in Groenlandia e delle correlazioni con le osservazioni meteorologiche: temperatura, velocità del vento, nebulosità, vento di neve. Vi compaiono anche i gradienti della temperatura come essi risultano da misure dirette e da misure della rifrazione.

     

Regional adjustment of inertial gravity disturbance vector measurements by optimal two-dimensional smoothing

A two-dimensional signal processing algorithm is developed to obtain smoothed estimates of the gravity disturbance vector from vector measurements obtained by an inertial surveying system. The method differs from a conventional least squares regional adjustment of such measurements in that it accommodates a signal model in the smoothing process. Using principles from the physical theory of geodesy, it is shown that for a local region on the surface of the earth, an appropriate signal model is obtained by applying the two-dimensional Laplacian operator to a function representing the surface disturbance potential and equating the result to spatial white noise. The model of the vector measurement is the three orthogonal spatial derivatives of a three dimensional disturbance potential evaluated at the surface contaminated by additive white noise. The problem of simultaneous smoothing of all the gravity disturbance measurements from all survey traverses in the region is solved by representing the surface disturbance potential by a two-dimensional Karhunen-Loeve expansion that makes no specific reference to either the geometry or the ordering of the parameter space, thereby making no assumptions of causality, stationarity or isotropy. The problem of estimating the gravity anomaly and the two vertical deflection components reduces to estimating the Karhunen-Loeve coefficients which are uncorrelated and rapidly converging. Simulation results as well as smoothing of actual gravity disturbance vector measurements obtained by the U.S. Army Engineer Topographic Laboratories (USAETL) with the Rapid Geodetic Survey System (RGSS) at the White Sands Missile Range (WSMR) are presented in the paper. An analysis of these results shows that the optimal two-dimensional smoother obtains a performance benefit relative to conventional regional least squares by a factor of 2 and a benefit relative to single-traverse smoothed results by a factor of 4.

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Sommaire Un algorithme de traitement du signal en deux dimensions est développé pour obtenir une estimation lissée du vecteur de la perturbation de la pesanteur à partir des mesures de vecteur obtenues avec un système d’arpentage inertiel. La méthode diffère d’un compensation régionale conventionnelle par moindres carrés de telles mesures, par le fait qu’elle contient un modèle du signal dans le processus de compensation. En s’appuyant sur les principes de la géodésie physique, il est montré que pour une région locale de la surface de la terre, un modèle approprié du signal est obtenu en appliquant l’opérateur à deux dimensions de Laplace à une fonction représentant le champ perturbateur à la surface de la terre et égalisant le résultat à un bruit blanc spatial. Le modèle du vecteur de mesures est défini par les trois dérivées spatiales de la fonction tridimensionnelle du potentiel perturbateur évaluées à la surface et contaminées par un bruit blanc. Le problème du lissage de toutes les mesures de gravité perturbatrice obtenues à partir des polygonales effectuées est résolu en représentant le potentiel perturbateur à la surface à l’aide d’un développement Karhunen-Loeve à deux dimensions qui ne fait aucunement référence à la géométrie ou à l’ordre des paramètres; ceci prévient toute dépendance spatiale des points adjacents. Le problème de l’estimation de l’anomalie de la gravité et des deux composantes de la déviation de la verticale se réduit à celle des coefficients Karhunen-Loeve qui sont non-corrélés et convergent rapidement. Les résultats de simulation aussi bien que le lissage des données du vecteur de perturbation de la pesanteur foumi par l’U.S. Army Engineer Topographics Labs (USAETL) sont présentés. L’analyse de ces résultats montre que le lissage optimal à deux dimensions améliore les résultats par un facteur 2 comparés aux résultats d’une compensation régionale par moindres carrés, et par un facteur 4 comparés aux résultats lissés d’une simple traverse.

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Presented at the Second International Symposium on Inertial Technology for Surveying and Geodesy, Banff, Canada, June 1–5, 1981.     

A few words concerning the formulae for the simple transformation of coordinates

Zusammenfassung Der Verfasser bringt zun?chst die verschiedenen Formeln, die für einfache Koordinatentransformationen, d. h. zur Umrechnung von zwei unver?nderlich miteinander verbundenen Punkten ohne Wechsel des Referenzellipsoides, angewendet werden, in Erinnerung und empfiehlt dann die Formeln (4) und (5) mit den Verbesserungsausdrücken (9), wobei die Bezeichnungenr, s, t, q durch die Gleichungen (6) und (8) definiert sind. Diese Formeln sind trotz ihrer Einfachheit genauer als diejenigen vonHelmert undHristow, denn füre=0 stellen sie die genauen sph?rischen Formeln (2) und (3) dar. Die Verformung der geschlossenen Polygone, entsprechend den ?nderungen der Krümmung des Ellipsoids, ist schon fühlbar durch die Glieder mite ²α² und macht eine erh?hte formelle Genauigkeit trügerisch.

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Resumen Después de recordar las diferentes fórmulas aplicadas para las transformaciones sencillas de las coordenadas, es decir, para el desplazamiento de puntos invariablemente ligados, sin cambiar el elipsoide de referencia, el autor recomienda las fórmulas. (4) y (5) con los términos correctivos (9), en que las cantidaderr, s, t, q, están definidas por las ecuaciones (6) y (8). Estas fórmulas, a pesar de su sencillez, son más precisas que las deHelmert yHristow, porque parae=0 son las fórmulas esféricas exactas (2) y (3). Las deformaciones de los poligonos cerrados, debidas a las variaciones de curvatura del elipsoide, es ya sensible por los términos en e² σ² y hace, en consecuencia, illusoria una precisión superior

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Résumé Après avoir rappelé les différentes formules appliquées pour les transformations simples des coordonnées, c'est-à-dire pour le déplacement de points invariablement liés, sans changer l'ellipso?de de référence, l'auteur recommande les formules (4) et (5) avec les termes correctifs (9), dont les termesr, s, t, q sont définis par les équations (6) et (8). Ces formules, malgré leur simplicité, sont plus précises que celles d'Helmert etHristow, car poure=0 ce sont les formules sphériques exactes (2) et (3). La déformation des polygones fermés, due aux variations de courbure de l'ellipso?de, est déjà sensible par les termes en e² σ², et rend en conséquence illusoire une précision formelle supérieure.

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Sommario Dopo richiamate le varie formule fin qui proposte per la trasformazione delle coordinate sull'ellissoide in un moto rigido sulla superficie dello stesso, l'autore raccomanda le formule (4) et (5) con i termini correttivi (9), i cui coefficientir, s, t, q, sono definiti dalle equazioni (6) ed (8). Queste formule, malgrado la loro semplicità, sono più precise di quelle diHelmert e diHristov, in quanto pere=0 esse forniscono le formule sferiche esatte (2) e (3). La deformazione dei poligoni chiusi, dovute alle variazioni nella curvatura dell'ellisoide, si rende già sensibile nei termini in e² σ², e rende illusoria una maggiore precisione formale.

     

A comparison of models in inertial surveying

The output of an inertial measuring unit contains the combined effect of vehicle acceleration, accelerations due to the reference system, gravitational attraction, calibration and alignment errors, and measuring noise. The separation of individual effects from the total output is the task of modelling. Differences in the existing models are mainly due to the treatment of system errors and of the anomalous gravity field. The paper discusses the state space formulation as a general approach to represent errors of a dynamic system and describes its application to the modelling of an inertial system. Complications due to the effects of the anomalous gravity field are discussed and possible solutions are indicated. Finally, the models in the existing inertial survey systems are compared and implementation requirements for survey applications are outlined.

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Sommaire Les mesures effectuées par l’unité de mesure inertielle continnent les effets de l’accélération du véhicule et de celle due au système de référence, de l’attraction gravitationnelle, des erreurs de calibrage et d’alignement, et finalement du bruit de fond. La séparation de chacun de ces effets sur les mesures est le sujet de la modélisation. Les différences dans les modèles existant sont principalement dues au traitement du système d’erreurs et des anomalies du champ de gravité. La communication discute de la formulation du vector d’erreurs comme approche générale pour la représentation d’erreurs dans un système dynamique et décrit son application dans la modélisation d’un système inertiel. Les complications dues aux effets des anomalies du champ de gravité sont discutées et des solutions possibles sont indiquées. Enfin, les modèles dans les présents systèmes inertiels d’arpentage sont comparés et les exigences pour les applications en arpentage sont soulignées.

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Presented at the 2nd International Symposium on Inertial Technology for Surveying and Geodesy, Banff, Canada, June 1–5, 1981.     

A Function Calculator as applied to Geodesy

Summary The range of computation in normal calculators can be extended to functions by providing an usual machine both with a storage unit containing approximate values of functions for arguments in rough steps and factors of interpolation and a device for transferring the values from the storage unit into the calculator proper. Then values of function for any argument may be computed by direct or inverse interpolation from the values stored. Accuracy depends on the number and distribution of the stored values. If usual trigonometric functions are concerned, five-place sometimes even six-place accuracy may be obtained by storing no more than 100 values of function and 100 factors of interpolation. Such a degree of accuracy is sufficient for almost any computation in geodetic operations of lower order, including third-order triangulation. At the Geodetic Institute of the Stuttgart Technische Hochschule a try-out model was developed, with wich the functions sinx, cosx, lanx, cotanx and their inverse functions as well as sec tanx (secant of tangent) and can be computed. As basic machine a hand calculator with Odhner wheels was used. Experiments with the hand try-out calculator showed that the amount of computing erros is only half of that committed in the usual computations by the customary calculators and printed tables of functions. In addition, gain of time was reached in most computations, which amounts to 50 percent in certain problems. Tests also made it clear that the operation of the function calculator even in the actual state of the try-out machine is very simple and can easily be learnt so that also untrained people may operate it. It may be noted that the majority of the persons used in the testing the try-out machine were willing to repeat the computations if so required, by means of the function calculator, but not so with the function tables. Therefore the function calculator appears well suited not only to simplify geodetic computation considerably but also to make it more efficient.

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Zusammenfassung Der Rechenbereich normaler Rechenmaschinen kann dadurch auf Funktionen erweitert werden, dass die Maschine mit einem Speicherwerk, das gen?herte Funktionswerte für grob abgestufte Argumente und Interpolationsfaktoren enth?lt, und einer Einrichtung zur Uebertragung der Werte aus dem Speicherwerk in die Rechenmaschine versehen wird. Die Funktionswerte für beliebige Argumente k?nnen dann durch direkte oder inverse Interpolation aus den gespeicherten Werten berechnet werden. Die Genauigkeit ist abh?ngig von der Anzahl und Verteilung der gespeicherten Grundwerte. Bei den gebr?uchlichen trigonometrichen Funktionen l?sst sich bereits durch Speicherung von nur 100 Funktionswerten und 100 Interpolationsfaktoren eine fünf-teilweise sogar bis sechsstellige Genauigkeit erreichen. Diese Genauigkeit ist für alle Berechnungen der niederen Geod?sie einschliesslich der Triangulation III. Ordnung ausreichend. Im Geod?tischen Institut der Technischen Hochschule Stuttgart wurde eine Versuchsmaschine entwickelt, mit welcher die Funktionen sinx, cosx, tgx, ctgx und ihre Umkehrfunktionen sowie sec tgx (Secans aus Tangens) und berechnet werden k?nnen. Als Grund-maschine wurde eine handbetriebene Sprossenradmaschine verwendet. Die Erprobung ergab, dass die Zahl der durch Unaufmerksamkeit des Rechners bedingten Rechenfehler nur noch halb so gross ist wie bei der üblichen Berechnung mit gew?hnlicher Rechenmaschine und gedruckter Funktionstafel. Ausserdem ergab sich bei den meisten Rechnungen ein betr?chtlicher Zeitgewinn, der bei einer Funktionsdoppelrechenmaschine für bestimmte Aufgaben bis zu 50% betr?gt. Die maschinelle Berechnung von Funktionswerten ist bereits in der vorliegenden Form erheblich einfacher als die Entnahme aus Funktionstafeln, so dass auch ungeschulte Kr?fte eingesetzt werden k?nnen. Die Funktionsrechenmaschine ist demnach geeignet, das geod?tische Rechnen wesentlich zu vereinfachen und wirtschaftlicher zu gestalten.

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Resumen El campo de cálculo en máquinas de calcular normales puede ser ampliado a functiones, proporcionando a la máquina calculadora una unidad-almacén que contenga valores aproximados de funciones para argumentos groseramente escalonados y factores de interpolación, así como un dispositivo para transferir los valores de la unidad-almacén a la calculadora. Entonces pueden ser calculados valores de función para cualquier argumento, por interpolación directa o inversa de los valores almacenados. La precisión depende del número y distribución de los valores almacenados. Cuando se trata de funciones trigonométricas usuales, puede lograrse una precisión del órden de la quinta cifra y en ocasiones de la sexta cifra, con solo el almaceneje de 100 valores de función y de 100 factores de interpolación. Tal grado de precisión es suficiente para cuaquier cálculo en operaciones geodésicas de órden inferior, incluyendo la triangulación de 3^er órden. En el Instituto Geodésico de la ?Technischen Hochschule Stuttgart? fué desarrollado una máquina de ensayo, con la que pueden ser calculadas las funciones sen ϕ, cos ϕ, tang ϕ, cotang ϕ y sus funciones inversas, así como sectang ϕ (secante de tangente) y . Como máquina básica fué empleada una calculadora a mano con ruedas Odhner. Las experiencias realizadas con esta calculadora demostraron que el número de errores de cálculo es solo la mitad de los cometidos en los cálculos corrientes mediante las máquinas de calcular usuales y tablas impresas de funciones. Además, se consiguió una ganancia de tiempo en la mayoria de los cálculos, que llegó a alcanzar el 50 por ciento en ciertos problemas. El cálculo mecánico de valores de funciones es notablemente más sencillo en la forma actual que el manejo de tablas de funciones y puede ser fácilmente aprendido y llevado a cabo por personas sin práctica. La máquina de calcular funciones es, por lo tanto, adecuada, no solo para simplificar notablemente el cálculo geodésico sino también para hacerlo más eficiente.

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Résumé Le domaine d’emploi des machines à calculer normales peut s’étendre à des fonctions quelconques si l’on équipe la machine d’une ?mémoire?, contenant les valeurs approchées de la fonction pour des valeurs largement échelonnées de l’argument et des facteurs d’interpolation, et d’un dispositif permettant de reporter ces valeurs de la ?mémoire? dans la machine. Les valeurs de la fonction pour des arguments quelconques peuvent être calculées par interpolation directe ou inverse à partir des valeurs enregistrées. La précision dépend du nombre et de la répartition de ces valeurs enregistrées. Pour les fonctions trigonométriques usuelles, avec 100 valeurs de la fonction et 100 facteurs d’interpolation, on arrive déjà à la précision de la cinquième ou même de la sixième décimale. Cette précision suffit pour tous les calculs de la géodésie courante, y compris la triangulation de 3^e ordre. A l’Institut Géodésique de l’Ecole Supérieure Technique de Stuttgart, on a établi une machine expérimentale, qui permet de calculer les fonctions sinx, cosx, tgx, ctgx, et les fonctions inverses ainsi que sec tgx (sécante à partir de la tangente) et . Comme machine on a utilisé une machine à main du type roue à dents saillantes. L’expérience a montré que le nombre des erreurs de calcul d?es à l’inattention du calculateur n’était que la moitié de celui constaté dans le calcul usuel avec une machine normale et les tables des fonctions. On a obtenu en outre, pour la plupart des calculs, un gain de temps apréciable, atteignant 50% pour certains problèmes, avec une machine double. Le calcul à la machine des fonctions est, dès maintenant, sous cette forme, sensiblement plus simple que l’interpolation à partir des tables, si bien que l’on peut y employer du personnel peu confirmé. La machine à calculer les fonctions permet donc de simplifier notablement les calculs géodésiques et de les rendre plus économiques.

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Sommario Le possibilità di una normale macchina calcolatrice sono suscettibili di venire estese al calcolo delle funzioni, abbinando alla macchina un’unità-magazzino contenente i valori approssimati di funzioni per opportuni intervalli, unitamente ai coefficienti per l’interpolazione, e ad un congegno per transportare i valori stessi dal magazzino alla macchina calcolatrice vera e propria. I valori della funzione per un argomento qualunque possono allora venir calcolati per interpolazione. La precisione dipende dal numero e dalla distribuzione dei valori immagazzinati. Se si tratta di funzioni trigonometriche, si può raggiungere una precisione di cinque cifre od anche di sei cifre immagazzinando non più di 100 valori della funzione e 100 coefficienti per l’interpolazione. Tale precisione è sufficiente per la maggior parte dei calcoli topografici, inclusa la triangolazione di terzo ordine. All’Istituto Geodetico del Politecnico di Stoccarda è stato costruito un modello siffatto, con il quale è possibile il calcolo dei valori delle funzioni sinx, cosx, tgx, ctgx e funzioni inverse, come pure di sec tgx (secante della tangente). La macchina calcolatrice originaria è una Odhner. Experienze effettuate con questo modello a mano hanno mostrato che gli errori di calcolo sono solo la metà di quelli commessi nelle ordinarie operazioni a mano eseguite da un calcolatore mediante tavole delle funzioni a stampa. Di più, il risparmio di tempo è risultato, in alcuni casi, del 50%. Prove effettuate hanno dimostrato inoltre che l’impiego della macchina cosi modificata risulta molto semplice, e che questo è alla portata anche di personale non specialmente istruito.

     

From kinematical geodesy to inertial positioning

WhenH. Moritz (1967, 1971) studied “kinematical geodesy” for the purpose of separation of gravitation and inertia, especially within combined accelerometer-gradiometer systems, it was hard to believe that within five years time inertial survey systems would be available, exactly operating according to his theoretical design. Here, we attempt to give a geodetic introduction into the fundamental equation of inertial positioning materialized by inertial survey systems with emphasis on a careful error model, including 36 parameters of type time interval, initial positions, initial gravity, varying acceleration, varying gravity gradients, accelerometer bias, accelerometer random uncertainty, accelerometer non-orthogonality, initial misalignment angles, accelerometer scale factor uncertainty. The notion of “multipoint” boundary value problem and initial value problem of inertial positioning is reviwed. So-called “post-mission” adjustment techniques for inertial surveys are discussed.

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Sommaire QuandH. Moritz (1967, 1971) a étudié la géodésie cinématique dans le but de séparer la gravitation et l’inertie, spécialement en combinant accéléromètres et gradiomètres, il était difficile de croire qu’en cinq ans les systèmes d’arpentage inertiels seraient disponibles et fonctionneraient exactement selon ses prévisions théoriques. Ici, nous allons tenter de donner une introduction géodésique à l’équation fondamentale du positionnement inertiel, matérialisée par un système d’arpentage inertiel en soulignant l’importance d’un modèle d’erreur incluant 36 paramètres du genre intervalle de temps, positions initiales, gravité initiale, accélération variable, gradient de la gravité variable, déviation des accéléromètres, incertitude aléatoire des accéléromètres, non-orthogonalité des accéléromètres, angles initiaux des défauts d’alignement, incertitude du facteur d’échelle des accéléromètres. La notion de problème “multipoint” aux limites et du problème de la valeur initiale du positionnement inertiel y est revue. Les techniques de compensation “après la mission” y sont discutées.

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Presented at the 2nd International Symposium on Inertial Technology for Surveying and Geodesy, Banff, Canada, June 1–5, 1981.     

Long geodesics on the ellipsoid

Summary This article examines the practical application of formulae for computing long lines on the ellipsoid. The main aim is to eliminate the successive approximation generally required. For the inverse problem, this is achieved by the method ofE. M. Sodano, Army Map Service, U.S.A. An adaptation of a method produced byG. T. McCaw is used for the direct problem. Results are given of five practical examples, including two which extend halfway round the world. Construction of further special tables is recommended to simplify the computations required by a problem which has an ever increasing application.

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Zusammenfassung Der Verfasser—ein bekannter Fachmann auf diesem Gebiet—untersucht kritisch die von verschiedenen Geod?ten angewandten oder vorgeschlagenen Verfahren zur Berechnung sehr langer geod?tischer Linien.

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Resumen El autor, especialista bien conocido en la cuestión, examina y discute los differentes métodos utilizados o preconizados por diferentes geodestas para el cálculo de lineas geodésicas de gran longitud en la superficie terrestre.

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Résumé L'auteur, spécialiste bien connu de la question, examine et discute les différentes méthodes utilisées ou préconisées par différents Géodésiens, pour le calcul des lignes géodésiques de grande longueur à la surface de la terre.

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Riassunto L'Autore, specialista ben noto dell'argomento, esamina e discute i diversi metodi utilizzati o proposti dai differenti Geodeti per il calcolo delle geodetiche lunghe sulla superficie terrestre.

     

Azimuth determination by equatorial stars

Summary Difficulties in the determination of precise azimuth from observations on Polaris at high latitudes suggested an investigation of azimuth determination from other stars. A proposed method for determining azimuth by observing the time of crossing of stars in the vertical plane through the reference object is discussed theoretically, and results of a field test of the method are given.

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Zusammenfassung Genaue Azimutbestimmungen mit Hilfe des Polarsterns sind in h?heren Breiten schwierig. Der Verfasser untersucht daher die Azimutbestimmung mit Hilfe anderer Sterne. Der Aufsatz er?rtert die Theorie eines Messverfahrens, bei dem die Durchgangszeiten von Sternen durch die Referenz-Lotebene beobachtet werden. Ergebnisse von Versuchsmessungen werden mitgeteilt.

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Resumen La dificultad de efectuar determinaciones precisas de azimut con la estrella polar, han conducido al autor a estudiar esta determinación con otras estrellas. El artículo discute la teoría de un método de determinación por observación del instante de pasos de estrellas por el plano vertical de la referencia y presenta resultados experimentales.

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Résumé La difficulté des déterminations précises d'azimuth sur l'étoile polaire, aux hautes latitudes, ont amené l'auteur à étudier cette détermination sur d'autres étoiles. L'article discute la théorie d'une méthode de détermination par observation de l'instant de passage des étoiles dans le plan vertical de la référence et présente des résultats expérimentaux.

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Riassunto La difficoltà di effettuare determinazioni precise d'azimut con la Polare, ad alte latitudini, ha indotto l'Autore a studiare tale determinazione con altre stelle. L'articolo tratta la teoria di un metodo di determinazione con osservazione dell'istante di passaggio delle stelle nel piano verticale di riferimento e presenta alcuni risultati sperimentali.

     

On the weight function in astronomical levelling with areally distributed deviation-of-the-vertical stations

Summary Consideration of the sources of error of the astronomical levelling appears to lead to an error or weight function of the form (6), possibly in some cases the more general expression (7). The coefficients must in every single instance be empirically determined from the material itself; here we primarily make use of the triangle closure errors in combination with the demand that the mean error μ₀ of the unit of weight be the same, independent of the size of the triangle.—Application of this procedure to the material from Finland (255 stations of deviation of the vertical, combined into 337 triangles) can be regarded as a confirmation of expression (6) with ε=±0″.30, κ=±0″.010/km, μ₀=±6.7 cm (s ₀=31.6 km). The coefficients are between themselves so similar, that their combined effect can hardly be distinguished from a purely cubic function, which therefore was used as a base for the computation of the geoid.—On the other hand, bothDe Graaff-Hunter's material from Czecho-Slovakia [3] and that ofLitschauer from Austria [8] lead to purely quadratic functions of error, a result which can be interpreted so, that in these cases the coefficient of the biquadratic interpolation term is so small, that it cannot be statistically demonstrated.

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Zusammenfassung Eine Betrachtung der Fehlerquellen des astronomischen Nivellements scheint auf eine Fehler- oder Gewichtsfunktion von der Form (6), evtl. in gewissen F?llen auf den allgemeineren Ausdruck (7) zu führen. Die Koeffizienten sind auf empirischem Wege aus dem Material selbst zu bestimmen; hierbei bieten sich in erster Linie die Dreiecksschlussfehler in Kombination mit der Forderung, dass der mittlere Fehler μ₀ der Gewichtseinheit von der Gr?sse des Dreiecks unabh?ngig sein muss. —Die Anwendung der Methode auf das finnische Material (255 Lotabweichungsstationen, zu 337 Dreiecken verbunden) kann als eine Best?tigung der Formel (6) gedeutet werden, mit ε=±0″.30, κ=±0″.010/km. μ₀=±6.7 cm (s _o=31.6 km). Die beiden Glieder sind einander so nahe gleich, dass ihre summe sich kaum von einer rein kubischen Funktion unterscheidet, und diese wurde daher der Geoidberechnung zu Grunde gelegt.—Dagegen führen sowohlDe Graaff-Hunters Material aus der Tscheckoslovakei [3] wie auchLitschauers Daten aus ?sterreich [8] auf rein quadratische Fehlerfunktionen, ein Ergebnis, das wohl dahin zu deuten ist, dass in diesen F?llen der Koeffizient des biquadratischen Interpolationsgliedes so klein ist, dass er sich nicht statistisch nachweisen l?sst.

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Resumen El estudio de las causas de error en la nivelación astronómica conduce a un error de la forma (6) o de la forma más general (7) en la función de los pesos. En cada caso los coeficientes deben ser deducidos empíricamente de los resultados numéricos; se parte aquí del criterio de cierre de los triángulos y el del valor del error medio de la unidad de peso que debe ser independiente de las dimensiones del triángulo. La aplicación de este método a los resultados finlandeses (355 estaciones de desviaciones para 337 triángulos) puede considerase como una confirmación de la expresión (6) con . Los ceficientes son tan idénticos entre sí que su efecto combinado no puede distinguirse sino dificilmente de una función cúbica, que se ha utilizado para el cálculo del geoide. Los resultados del Dr.De Graaff-Hunter en Checoeslovaquia y de Mr.Litschauer en Austria dan los valores del 2° grado, que puede interpretarse diciendo que el término bicuadrático no es significativamente diferente de cero.

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Résumé L'étude des causes d'erreur dans le nivellement astronomique amène à une erreur de la forme (6) ou de la forme plus générale (7) dans la fonction des poids. Dans chaque cas les coefficients doivent être tirés empiriquement des résultats numériques; on se base ici sur le criterium de fermeture de triangles et la valeur de l'erreur moyenne de l'unité de poids qui doit être indépendante des dimensions du triangle. L'application de cette méthode aux résultats Finlandais (255 stations de déviations pour 337 triangles) peut être considérée comme une confirmation de l'expression (6) avec ε=±0″.30 κ=±0″.010/km Les coefficients sont tellement identiques entre eux que leur effet combiné ne peut que difficilement se distinguer d'une fonction cubique que l'on a donc utilisée pour le calcul du géo?de. Les résultats du DrDe Graaff-Hunter en Tchécoslovaquie et deM. Litschauer en Autriche, donnent des valeurs du 2^e degré, ce qui peut s'interpréter en disant que le terme biquadratique n'y est plus significantivement différent de zéro.

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Sommario Lo studio delle cause di errore nella livellazione astronomica conduce ad un errore della forma (6) e della forma più generale (7) nella funzione dei pesi. In ciascun caso i coefficienti devono essere dedotti empiricamente dai risultati numerici; qui ci si basa sul criterio di chiusura dei triangoli ed il valore dell'errore medio dell'unità di peso che deve essere indipendente dalle dimensioni del triangolo. L'applicazione di questo metodo ai risultati finlandesi (255 stazioni di deviazione per 337 triangoli) può essere considerato come una conferma dell'espressione (6) con I coefficienti sono talmente identici tra di loro che il loro effetto combinato non può che difficilmente distinguersi dalla funzione cubica che é stata utilizzata per il calcolo del geoide. I risultati del Dr.De Graaff-Hunter in Cecoslovacchia e del Sig.Litschauer in Austria, forniscono dei valori del secondo ordine, ciò che può interpretarsi dicendo che il termine biquadratico non é significativamente differente dallo zero.